[mazuro]

Hola a todos

Encontrar las funciones \( f \)  y  \( g \)  tal que

\( f(g(x))=g(f(x))=9x^{2}-6x+1 \).

Bueno creo que una función sería la identidad y la otra ella misma... esto por la propiedad de que la composición de una función con su inversa es igual a la composición de la inversa con su función y que da la identidad...

Es posible encontrar otras funciones para \( f \)  y  \( g \) ? 

Muchas gracias, saludos

[mathtruco]

Mi respuesta está malísima, por eso la dejo en spoiler.

Respuesta original (mala)

Otro ejemplo:

    \( f(x)=9x^2-6x \)

    \( g(x)=x+1 \)

Y puedes hallar muchos más.

[cerrar]

[filomates]

Otro ejemplo:

    \( f(x)=9x^2-6x \)

    \( g(x)=x+1 \)

Y puedes hallar muchos más.

Creo que no funciona
\( f(g(x))=f(x+1)=9(x+1)^2 - 6(x+1)=9x^2 + 18x+9-6x-6=9x^2+12x+3 \) que es diferente a lo que propone el enunciado

[mazuro]

Pero hay alguna manera de hallar las funciones? o solo "probando" hasta que salgan...

Muchas gracias, saludos.

[mathtruco]

Tienes razón filomates, por alguna razón sólo leí \( g(f(x)) \) 

P.D. (editado)

Apliquemos fuerza bruta.

Supongamos que \( f \) y \( g \) son polinomios. Recordando que

\( grado(p(q))=grado(p)+grado(q) \) es claro que uno de los polinomios tiene grado 2 y el otro grado 1. Luego, sin pérdida de generalidad escribimos

    \( f(x)=ax^2+bx+c \)    y    \( g(x)=Bx+C \).

Haciendo las cuentas (espero no equivocarme al transcribir),

    \( g(f(x))=aBx^2{\color{red}+}bBx+C+c B \)

de donde \( \boxed{aB=9} \)

y   \( f(g(x))=\color{red}aB^2x^2+(2aBC+bB)x+aC^2+c+bC \)

de donde \( \boxed{aB^2=9} \)

De los dos resultados encerrados: \( B=1 \).

Siguiendo este procedimiento (con paciencia y buena letra) llegamos a que, efectivamente, \( g(x)=x \)   y   \( f(x)=9x^2-6x+1 \).

Faltaría argumentar porqué \( f \) y \( g \) deben ser polinomios, pero no veo cómo, aunque me parece que es la única opción.

[mazuro]

Hola, muchas gracias.

Bueno solo tengo la duda de por qué es \( -bB \)  y no  \( +bB \) y también por qué \( -bC \)  y no  \( +bC \)  en

    \( g(f(x))=aBx^2-bBx+C+c B \)

de donde \( \boxed{aB=9} \)

y   \( f(g(x))=aB^2x^2-bBx+2aBCx+aC^2-bC+c \)

de donde \( \boxed{aB^2=9} \)

Y bueno haciendo los cálculos teniendo en cuenta que

 

    \( f(x)=ax^2+bx+c \)    y    \( g(x)=Bx+C \)

me da

    \( g(f(x))=aBx^2+bBx+C+c B \)

y   \( f(g(x))=aB^2x^2+bBx+2aBCx+aC^2+bC+c \)

y pues resolviendo todo me da que \( B=1 \),  \( b=-6 \),    y cuando igualo los términos independientes a 1, es decir:

\( c+C=1 \)  y  \( aC^{2}+bC+c=1 \)    (*)

tengo dos soluciones para \( C \)

 \( C_{1}=0 \)  y  \( C_{2}=\displaystyle\frac{7}{a} \)   luego \( a\neq{0} \)   

y para \( c \)  sería cualquier valor  ya que se cancela en (*)


Sí es así?      entonces para las funciones que estoy buscando \( a \)  debe ser 9 (es diferente de cero)  y \( c \)  es 1    

Muchas gracias, saludos.

[Gaussito]

En mi opinión creo que son infinitas las funciones que cumplen con lo pedido, y no sólo se limitan a las polinómicas, por ejemplo:

\( f(x)=(9x^2-6x+1)^3 \)

\( g(x)=\sqrt[3]{x} \)

o

\( f(x)=sen(9x^2-6x+1) \)

\( g(x)=arcsen(x) \)

Y así generalizar.

Saludos.

[mazuro]

Hola muchas gracias.

Se generaliza con  \( fof^{-1}=x=f^{-1}of \)  sí?

Muchas gracias, saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

En mi opinión creo que son infinitas las funciones que cumplen con lo pedido, y no sólo se limitan a las polinómicas, por ejemplo:

\( f(x)=(9x^2-6x+1)^3 \)

\( g(x)=\sqrt[3]{x} \)

o

\( f(x)=sen(9x^2-6x+1) \)

\( g(x)=arcsen(x) \)

Y así generalizar.

Saludos.

No. Fíjate que tiene que dar el mismo resultado al componer en los dos sentidos. Tus ejemplos no  lo cumplen.

Saludos.

[Gaussito]

No. Fíjate que tiene que dar el mismo resultado al componer en los dos sentidos. Tus ejemplos no  lo cumplen.

Y para no variar, tienes razón, no sé porqué pensé que era en un sólo sentido.