Bueno solo tengo la duda de por qué es \( -bB \) y no \( +bB \) y también por qué \( -bC \) y no \( +bC \) en
\( g(f(x))=aBx^2-bBx+C+c B \)
de donde \( \boxed{aB=9} \)
y \( f(g(x))=aB^2x^2-bBx+2aBCx+aC^2-bC+c \)
de donde \( \boxed{aB^2=9} \)
Error mío. No puse suficiente atención al escribir, mil disculpas.
Y bueno haciendo los cálculos teniendo en cuenta que
\( f(x)=ax^2+bx+c \) y \( g(x)=Bx+C \)
me da
\( g(f(x))=aBx^2+bBx+C+c B \)
y \( f(g(x))=aB^2x^2+bBx+2aBCx+aC^2+bC+c \)
Tienes razón. Edité mi mensaje con rojo para que no quede el error.
y pues resolviendo todo me da que \( B=1 \), \( b=-6 \), y cuando igualo los términos independientes a 1, es decir:
\( c+C=1 \) y \( aC^{2}+bC+c=1 \) (*)
tengo dos soluciones para \( C \)
El problema tiene única solución, así que si te queda alguna variable libre es porque olvidaste usar alguna condición.
Ahora sí hagamos todo el detalle de \( f(g(x))=g(f(x))=9x^2-6x+1 \).
1.- De los términos con \( x^2 \):
(1) \( aB=9 \)
(2) \( aB^2=9 \)
Dividiendo ambas expresiones llegamos a que \( \boxed{B=1} \), y reemplazando en (1): \( \boxed{a=9} \).
2.- De los términos con \( x \):
(3) \( bB=-6 \)
(4) \( 2aBC+bB=-6 \)
Usando que \( B=1 \) en (3) obtenemos: \( \boxed{b=-6} \)
Reemplazando \( B=1 \), \( a=9 \) y \( b=-6 \) en (4) obtenemos: \( \boxed{C=0} \)
3.- De los términos sin \( x \) ni \( x^2 \):
(5) \( C+cB=1 \)
(6) \( aC^2+c+bC=1 \)
De (6) (o de (5)) obtenemos que \( \boxed{c=1} \).
Luego, debe cumplirse que un polinomio sea \( x \) y el otro \( 9x^2-6x+1 \).
