[andres_z]

Hola, no entiendo lo que significan las siguientes preguntas:

Describa el conjunto cociente \( \mathbb{Z}/\equiv{} \) cuando \( n=3,2,1 \)

Pruebe que \( |\mathbb{Z}/\equiv{}| \) tiene \( n \) elementos

¿Que es "\( \mathbb{Z}/\equiv{} \)"?

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, no entiendo lo que significan las siguientes preguntas:

Describa el conjunto cociente \( \mathbb{Z}/\equiv{} \) cuando \( n=3,2,1 \)

Pruebe que \( |\mathbb{Z}/\equiv{}| \) tiene \( n \) elementos

¿Que es "\( \mathbb{Z}/\equiv{} \)"?

Gracias

Esa pregunta tiene que tener algún texto introductorio previo que explique a que se refiere con la relación \( \equiv. \)

Supongo que se refiere a la relación de congruencia: fijado un natural \( n \) definimos la relación en \( \mathbb{Z} \):

\( a\equiv b\quad \Longleftrightarrow{}\quad b-a \) es divisible por \( n \)

Se llama la relación de congruencia módulo \( n \) y es de equivalencia.

Ahora ya tienen sentido las preguntas que apuntabas.

Saludos.

[andres_z]

Hola,

Hola

Hola, no entiendo lo que significan las siguientes preguntas:

Describa el conjunto cociente \( \mathbb{Z}/\equiv{} \) cuando \( n=3,2,1 \)

Pruebe que \( |\mathbb{Z}/\equiv{}| \) tiene \( n \) elementos

¿Que es "\( \mathbb{Z}/\equiv{} \)"?

Gracias

Esa pregunta tiene que tener algún texto introductorio previo que explique a que se refiere con la relación \( \equiv. \)

Supongo que se refiere a la relación de congruencia: fijado un natural \( n \) definimos la relación en \( \mathbb{Z} \):

\( a\equiv b\quad \Longleftrightarrow{}\quad b-a \) es divisible por \( n \)

Se llama la relación de congruencia módulo \( n \) y es de equivalencia.

Ahora ya tienen sentido las preguntas que apuntabas.

Saludos.

Perdon, se me paso poner eso 

Sigo sin entender el conjunto de los enteros seguido de la barra y el simbolo de relación de congruencia "\( \mathbb{Z}/\equiv{} \)"

¿que significa? veo 2 operadores juntos y no se que hacer (la barra "/" y el "\( \equiv{} \)")

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

Sigo sin entender el conjunto de los enteros seguido de la barra y el simbolo de relación de congruencia "\( \mathbb{Z}/\equiv{} \)"

¿que significa? veo 2 operadores juntos y no se que hacer (la barra "/" y el "\( \equiv{} \)")

Esto es algo general sobre relaciones de equivalencias, que debería de haberte explicado antes de proponer el ejercicio.

Cuando se define una relación de equivalencia \( R \) en un conjunto \( X \), automáticamente se tiene una partición asociada de \( X \), es decir una familia de subconjuntos disjuntos de \( X \) cuya unión es \( X \). Dicho de manera menos técnica tenemos clasificados los elementos de \( X \) en varios grupos.

Cada uno de esos grupos, de esos subconjuntos, corresponde a elementos relacionados entres si por la relación dada y se llama clase de equivalencia. A un elemento cualquiera de una clase se le llama representante de la clase y metido entre corchetes suele usarse para designar la clase entera. Y al conjunto de clases se le llama conjunto cociente y se denota por \( X/R \).

Por ejemplo, si en el conjunto de palabras \( X=\{AMOR,AVE,BOCA,BURRO,BUEY,CASA\} \) establecemos la relación "empezar por la misma letra", se formarían tres clases de equivalencia:

- Las palabras que empiezan por \( A \), \( \{AMOR,AVE\} \).
- Las palabras que empiezan por \( B \), \( \{BOCA,BURRO,BUEY\} \).
- Las palabras que empiezan por \( C \), \( \{CASA\} \).

La primera clase puede denotarse como \( [AMOR] \) o \( [AVE] \). Es decir \( [AMOR] \) sería el conjunto de todas las palabras de \( X \) que empizan por la misma letra que \( AMOR \): \( [AMOR]=\{AMOR,AVE\} \).

El conjunto cociente sería:

\( \{[AMOR],[BOCA],[CASA]\}=\{\{AMOR,AVE\},\{BOCA,BURRO,BUEY\},\{CASA\}\} \)

Intenta ahora resolver tu ejercicio.

Saludos.

[andres_z]

Hola, muchas gracias por la explicación.

El conjunto cociente para \( n=1 \) es: \( \{[1]\} = \{\{...,-2,-1,0,1,2,...\}\} = \{\mathbb{Z}\} \)
El conjunto cociente para \( n=2 \) tendría que ser: \( \{[2]\} = \{\{...,-4,-2,0,2,4,...\}\} \), sin embargo esto no cumple que la unión de las clases de equivalencia sean \( \mathbb{Z} \)
Tiene que existir otro conjunto (pueden ser mas de uno) tal que la intersección unión de  \( \{...,-4,-2,0,2,4,...\} \) con \( X \) sea  \( \mathbb{Z} \).

Un posible conjunto seria \( X = \{...,-3,-1,1,3,...\} \), ya que \( \{...,-4,-2,0,2,4,...\} \cup{} X  = \mathbb{Z} \). Pero \( X \) tendría que tener una clase de equivalencia, digamos \( [1] \), \( [3] \) o \( [-1] \), etc. El problema es que no veo la relación que tiene ese conjunto \( (X) \) con \( a\equiv{b} \) si \( a-b \) es divisible por \( 2 \), ya que ningun elemento de \( X \) es divisible por \( 2 \).
Se que \( \{[2],[1]\} = \{\{...,-4,-2,0,2,4,...\}, \{...,-3,-1,1,3,...\}\} \) cumple con lo pedido, pero no le veo sentido al \( [1] \)

¿Alguien sabe que estoy haciendo mal?

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, muchas gracias por la explicación.

El conjunto cociente para \( n=1 \) es: \( \{[1]\} = \{\{...,-2,-1,0,1,2,...\}\} = \{\mathbb{Z}\} \)

Bien.

El conjunto cociente para \( n=2 \) tendría que ser: \( \{[2]\} = \{\{...,-4,-2,0,2,4,...\}\} \), sin embargo esto no cumple que la union de las clases de equivalencia sean \( \mathbb{Z} \)
Tiene que existir otro conjunto (pueden ser mas de uno) tal que la intersección de  \( \{...,-4,-2,0,2,4,...\} \) con \( X \) sea  \( \mathbb{Z} \).

Donde dices intersección querías decir unión. Pero si, falta otra clase de equivalencia.

Un posible conjunto seria \( X = \{...,-3,-1,1,3,...\} \), ya que \( \{...,-4,-2,0,2,4,...\} \cup{} X  = \mathbb{Z} \).

¡Si, buena idea!

Pero \( X \) tendría que tener una clase de equivalencia, digamos \( [1] \), \( [3] \) o \( [-1] \), etc.

Tendría que SER una clase de equivalencia.

El problema es que no veo la relación que tiene ese conjunto \( (X) \) con \( a\equiv{b} \) si \( a-b \) es divisible por \( 2 \), ya que ningun elemento de \( X \) es divisible por \( 2 \).

Pero es que los elementos de una misma clase de equivalencia no tienen porque ser divisibles por dos. Lo que debe de ser divisible por dos es la diferencia entre dos elementos de la misma clase (para que estén relacionados entre si).


Entonces en el conjunto de impares:

\( \{\ldots,-5,-3,-1,1,3,5,\ldots\}=\{2k+1|k\in \mathbb{Z}\} \)

cumple que la diferencia de dos de sus elementos es siempre divisible por dos:

\( (2a+1)-(2b+1)=2(a-b) \)

Saludos.

[andres_z]

Hola,

Pero es que los elementos de una misma clase de equivalencia no tienen porque ser divisibles por dos. Lo que debe de ser divisible por dos es la diferencia entre dos elementos de la misma clase (para que estén relacionados entre si).


Entonces en el conjunto de impares:

\( \{\ldots,-5,-3,-1,1,3,5,\ldots\}=\{2k+1|k\in \mathbb{Z}\} \)

cumple que la diferencia de dos de sus elementos es siempre divisible por dos:

\( (2a+1)-(2b+1)=2(a-b) \)

Saludos.

Muchas gracias, me quedo claro.

Para \( n=3 \) el conjunto cociente es: \( \{[3],[2],[1]\} = \{\{3k|k\in{\mathbb{Z}}\},\{3k-1|k\in{\mathbb{Z}}\},\{3k-2|k\in{\mathbb{Z}}\}\} \)

Para la demostración de:

Pruebe que \( |\mathbb{Z}/\equiv{}| \) tiene \( n \) elementos

Esta claro que el cardinal del conjunto cociente es \( n \), según los ejemplos...

Se cumple que \( \mathbb{Z} = \bigcup\limits_{i=0}^{n-1} \{3k-i|k\in{\mathbb{Z}}\} \), como va de \( 0 \) a \( n-1 \) son \( n \) uniones...

¿pero como escribo una demostración que sea matemáticamente aceptable? me cuesta mucho demostrar cosas... ¿algunos tips?

Gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

Esta claro que el cardinal del conjunto cociente es \( n \), segun los ejemplos...

Se cumple que \( \mathbb{Z} = \bigcup\limits_{i=0}^{n-1} \{\color{red}3k\color{black}-i|k\in{\mathbb{Z}}\} \), como va de \( 0 \) a \( n-1 \) son \( n \) uniones...

¿pero como escribo una demostración que sea matematicamente aceptable? me cuesta mucho demostrar cosas... ¿algunos tips?

En lo que he marcado en rojo supongo que quisiste poner \( nk \).

Fíjate que estás afirmando que tus clases son \( [0],[1],[2],\ldots,[n-1] \).

Entonces tienes que probas dos cosas:

1) que todo número \( m\in \mathbb{Z} \) está en alguna clase \( [r] \) con \( 0\leq r<n \); es decir que \( m \) está relacionado con algún elemento \( r \) entre \( 0 \) (incluido) y \( n \). Basta que uses el Teorema de la División Eucídea.

2) que los elementos \( 0,1,2\ldots,n-1 \) efectivamente definen clases distintas, que no están relacionados entre si.

Saludos.

[andres_z]

Hola,

Esta claro que el cardinal del conjunto cociente es \( n \), segun los ejemplos...

Se cumple que \( \mathbb{Z} = \bigcup\limits_{i=0}^{n-1} \{\color{red}3k\color{black}-i|k\in{\mathbb{Z}}\} \), como va de \( 0 \) a \( n-1 \) son \( n \) uniones...

¿pero como escribo una demostración que sea matematicamente aceptable? me cuesta mucho demostrar cosas... ¿algunos tips?

En lo que he marcado en rojo supongo que quisiste poner \( nk \).

Lo he escrito bien en papel pero lo he pasado mal al foro... 

1) Todo número \( m \in{} [m]  \) tal que \(  m-r = n\cdot{q} \Rightarrow{} m\equiv{r} \Rightarrow{} [m] = [r] \), con \( m,n,q,r \in{\mathbb{Z}} \)

2) El elemento \( a \in{} \mathbb{Z} \) define una clase \( [a] \) tal que \( n-a \) es divisible por \( n \Longleftrightarrow{} n-a = q\cdot{n}+r \Longleftrightarrow{} r+a = 0 \Rightarrow{}a=-r \), entonces \( [a]=[-r]=[r] \), y como al dividir un número entre \( n \) hay \( n \) restos posibles, hay \( n \) clases diferentes.

¿Esto lo prueba?

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

1) Todo numero \( m \in{} [m]  \) tal que \(  m-r = n\cdot{q} \Rightarrow{} m\equiv{r} \Rightarrow{} [m] = [r] \), con \( m,n,q,r \in{\mathbb{Z}} \)

Más o menos. Pero no está muy bien escrito. Empiezas diciendo todo número \( m\in [m] \) (lo cuál no aporta mucho porque un número siempre está en su clase), luego sigues con un "tal que" como si de esos números quisieras seleccionar los que cumplen una determinada propiedad; cuando realmente para cualquiera de ellos puedes hacer el argumento.

Entonces mejor algo así:

1. Dado cualquier número entero \( m \), por el algoritmo de la división sabemos que existe un entero \( q \) y un entero \( r \) con \( 0\leq r<n \) \( tal que m=nq+r \). Por tanto \( m-r=nq \) es múltiplo de \( n \) y así \( m\equiv r \), es decir, \( m\in [r] \) con \( 0\leq r<n. \)

2) El elemento \( a \in{} \mathbb{Z} \) define una clase \( [a] \) tal que \( n-a \) es divisible por \( n \Longleftrightarrow{} n-a = q\cdot{n}+r \Longleftrightarrow{} r+a = 0 \Rightarrow{}a=-r \), entonces \( [a]=[-r]=[r] \), y como al dividir un numero entre \( n \) hay \( n \) restos posibles, hay \( n \) clases diferentes.

Aquí no entiendo lo que estás haciendo. En el punto (1) hemos probado que cualquier número entero \( m \) está en alguna clase del conjunto \( [0],[1],\ldots,[n-1] \). Entonces simplemente te quedaría por probar que esas clases son diferentes.

Entonces simplemente dadas \( [a],[b] \), con \( 0\leq a<b<n \) se tiene que \( 0<b-a<n-0=n \) y por tanto \( b-a \) no puede ser múltiplo de \( n \); así \( a \) y \( b \) no están relacionados, no están en la misma clase.

Saludos.

P.D. Estás descuidando el uso de tildes... revísalo, por favor.