[cristianoceli]

Hola tengo dudas con este ejercicio

Demostrar que en general esta afirmación es falsa "Si \( l_1 \| l_2 \) son paralelas, entonces \( l_1 \) y \( l_2 \) admiten una perpendicular común" es en general falso en geometría neutral

Ejemplo (Dar todos los detalles)

Ses \( H =\{h,L\} \) el plano hiperbólico donde los puntos \( h=\{(x,y) \in{\mathbb{R^2}}  | y >0\} \) y las rectas \( \in{L} \) son:

\( _al =\{(a,y)\in{h} | y>o\}  \) , \( a\in{\mathbb{R}} \)

\( _0l_r = \{(x,y)\in{h} | (x-c)^2+y^2=r^2 , y>0 \} \) , \( c \in{\mathbb{R}} , r>0 \)

Demostrar: \( _0l  \) y \( _1l_1 \) son paralelas en \( H \), pero no admiten una perpendicular común

La indicación que me han dado es  que demuestre en \( H \) que las únicas rectas perpendiculares a \( _0l \) son las rectas \( _0l_r \) , \( r>0 \)

ii) Demostrar \( _0l_r \) intersecta a , \( l_1 \) si y solo si \( r<2 \) y en este caso el punto de intersección es

\( P = (\displaystyle\frac{r^2}{2}, \sqrt[ ]{r^2 - \displaystyle\frac{r^4}{4}}) , (r<2) \)

[geómetracat]

La clave para resolver fácilmente estas cosas es recordar que el modelo del semiplano superior es conforme. Esto quiere decir que los ángulos en el espacio hiperbólico son los mismos que los ángulos medidos como si fuera geometría euclídea. Como la perpendicularidad solo depende de ángulos, lo puedes pensar igual que en geometría euclídea. Es decir, dos líneas hiperbólicas son perpendiculares en este modelo si o bien una es una línea vertical y la otra una media circunferencia con centro en el eje de abscisas que cortan formando un ángulo de 90° (esto debería resolver la indicación) o bien son dos medias circunferencias que se cortan ortogonalmente.

El segundo punto es simplemente tomar las dos ecuaciones y despejar.

[cristianoceli]

La clave para resolver fácilmente estas cosas es recordar que el modelo del semiplano superior es conforme. Esto quiere decir que los ángulos en el espacio hiperbólico son los mismos que los ángulos medidos como si fuera geometría euclídea. Como la perpendicularidad solo depende de ángulos, lo puedes pensar igual que en geometría euclídea. Es decir, dos líneas hiperbólicas son perpendiculares en este modelo si o bien una es una línea vertical y la otra una media circunferencia con centro en el eje de abscisas que cortan formando un ángulo de 90° (esto debería resolver la indicación) o bien son dos medias circunferencias que se cortan ortogonalmente.

El segundo punto es simplemente tomar las dos ecuaciones y despejar.

Voy a intentar hacer el i para ver si con tus indicaciones me sale.

Para ii me complica el hecho del si y solo si

[Luis Fuentes]

Hola

Para ii me complica el hecho del si y solo si

En el segundo si al resolver la ecuación te sale como solución:

\( P = (\displaystyle\frac{r^2}{2}, \sqrt[ ]{r^2 - \displaystyle\frac{r^4}{4}}) \)

ten en cuenta que la raíz sólo tiene sentido si \( r\leq 2 \) (no existen raíces de números negativos) y que los puntos con ordenada cero están excluidos del plano hiperbólico.

Saludos.

[cristianoceli]

Hola, para ii) tengo claro la forma que tiene \( _ol_r \) pero no tengo claro la forma que tiene \( l_1 \)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, para ii) tengo claro la forma que tiene \( _ol_r \) pero no tengo claro la forma que tiene \( l_1 \)

Saludos.

Revisa un poco como tienes colocados los subíndices y definidas las rectas; yo creo que tienes alguna errata. Por ejemplo dices:

\( _0l_r = \{(x,y)\in{h} | (x-c)^2+y^2=r^2 , y>0 \} \)

¿Pero quien es \( c \)?.

Saludos.

[cristianoceli]

Hola

Hola, para ii) tengo claro la forma que tiene \( _ol_r \) pero no tengo claro la forma que tiene \( l_1 \)

Saludos.

Revisa un poco como tienes colocados los subíndices y definidas las rectas; yo creo que tienes alguna errata. Por ejemplo dices:

\( _0l_r = \{(x,y)\in{h} | (x-c)^2+y^2=r^2 , y>0 \} \)

¿Pero quien es \( c \)?.

Saludos.

Simplemente seria la coordenada del eje x. No cometí error en transcribir pero quizás el profesor si

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Simplemente seria la coordenada del eje x. No cometí error en transcribir pero quizás el profesor si

Saludos

¿Pero entonces exactamente qué rectas estamos intersecando? ¿Las del dibujo? En ese caso \( r \) tomaría a unos valores concretos.

Saludos.

[cristianoceli]

Hola

Simplemente seria la coordenada del eje x. No cometí error en transcribir pero quizás el profesor si

Saludos

¿Pero entonces exactamente qué rectas estamos intersecando? ¿Las del dibujo? En ese caso \( r \) tomaría a unos valores concretos.

Saludos.

Creo que la recta \( _0l_r \) debe tener la forma

\( _0l_r = \{(x,y)\in{h} | (x-0)^2+y^2=r^2 , y>0 \} \) , \( 0 \in{\mathbb{R}} , r>0 \) pues así satisface los puntos
\( P = (\displaystyle\frac{r^2}{2}, \sqrt[ ]{r^2 - \displaystyle\frac{r^4}{4}}) , (r<2) \) (además el ejercicio esta escrito a mano y c se parece mucho a 0, y supuse que era c)

¿Pero entonces sigo teniendo dudas de la forma de \( _1l_1 \) debe ser \( x=\displaystyle\frac{r^2}{2} \)?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 ¡Buf! Tenías una colección de pequeñas erratas que hacían complicado entender lo que pedía el ejercicio.

 En realidad te definen:

\( \color{red}_c\color{black}l_r = \{(x,y)\in{h} | (x-c)^2+y^2=r^2 , y>0 \} \)

 y tienes que analizar la intersección de \( _1l_1 \) con \( _0l_r \):

\( _0l_r = \{(x,y)\in{h} | x^2+y^2=r^2 , y>0 \} \)

\( _1l_1 = \{(x,y)\in{h} | (x-1)^2+y^2=1 , y>0 \}=\{(x,y)\in{h} | x^2+y^2=2x , y>0 \} \)

Así que tenemos que resolver el sistema:

\( x^2+y^2=r^2 \)
\( x^2+y^2=2x \)

de donde \( 2x=r^2 \), es decir \( x=\dfrac{r^2}{2} \) y despejando y en la primera ecuación:

\( y=\sqrt{r^2-x^2}=\sqrt{r^2-\dfrac{r^4}{4}} \)

Saludos.