Autor Tema: Función continua... o no. Métrica curiosa.

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01 Abril, 2016, 10:59 pm
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Samir M.

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Este es un ejercicio que me ha parecido muy interesante repasando algo de topología.

Enunciado.

Sean \( d(x,y) = |x-y| \) y \( d_*(x,y) = \text{min}(|x-y|, 1-|x-y|) \) distancias en \( X = [0,1) \) (que el lector animado adjunte en un comentario bajo este hilo la prueba de que realmente son distancias). i) Sea \( f(x) = x \) definida como \( f : (X,d) \to (\mathbb{R},d) \). Demostrad que \( f \) es continua. ii) Sea ahora \( f(x) = x \) definida como \( f:(X,d_*) \to (\mathbb{R},d) \). ¿Es \( f \) continua en \( a = 0 \)?
    _____

Solución.

i) Es cuasitrivial, basta recurrir a las múltiples definiciones de continuidad y aplicarla tal cual.

ii) Este es más interesante. Para intuir si la función es continua o no, podemos estudiar la métrica sobre la que está definida. Observemos que para la distancia \( d_* \) en \( [0,1) \) los números \( 0,999999 \)... están muy próximos a los de la forma \( 0.000000 \)... (o de forma más concreta, la \( B(0,\epsilon) \) tiene puntos cerca del \( 0 \) y del \( 1 \), con lo que las imágenes de esos puntos están en conjuntos distintos) lo que sugiere que hay una discontintuidad, y que por tanto no es continua.  En efecto, empecemos fijándonos en que las bolas son de la forma \( [0,r)  \) y además \(  (1-r,1) \)con \( r>0 \).
La idea consiste en comprobar que \( \forall \ \delta > 0 \ \exists x \in X : d_*(x,0) < \delta \) pero \( d(x,0) \geq \epsilon \). En particular, sea \( \epsilon = 0,1 \). Veamos que \( \nexists \delta : f (B(0,\delta)) \subset f(B,(0,0.1))  \). Si Cogemos \( x \in (1-\delta, 1) \cap [0,1, 1)  \) se tiene que \( d_* (x,0) < \delta  \) pero \( d(x,0)  = |x-0| = |x| \geq 0.1 \) Luego \( f \) no es continua.

Un comentario del autor del artículo donde vi esto decía: 'Desde luego que \( 0,1 \) no tiene poderes mágicos, cualquier otro número pequeño habría sido válido en la demostración'  ;D. Esta distancia a mí personalmente me resulta curiosa. Por ejemplo, es bien conocida la función de Dirichlet por no ser precisamente continua. De forma más precisa, sea
\( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ \ f(x)=\begin{cases} 1 & \text{si } x \in \mathbb{Q}  \\0 & \text{si } x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} \end{cases} \) Bajo la distancia usual \( x_n = \sqrt{2}/n \to  x = 0 \) pero \( f(x_n) = 0 \not \to f(x) = 1 \) luego \( f \) no es continua en \( 0 \) (ni en ningún otro punto).

Sin embargo, si le definimos ahora la siguiente distancia:

\( d(x,y)= \begin{cases}  |x-y| \ & \text{si }& x-y \in \mathbb{Q} \\ 1 + |x-y| & \text{si}& x-y \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}\end{cases} \)

entonces ahora \( x_n \cancel{\to}0 \). Como toda sucesión \( x_n \to 0 \) debe ser racional a partir de cierto término \( f \) debe ser continua en cero, y lo mismo se aplica en el resto de puntos (sería interesante que intentarais aportar un comentario con una demostración formal de este hecho, y si alguien lo intenta y no le sale que lo comente que aporto la mía). Entonces, ¿La función de Dirichlet es continua o no?  ::)

Pd: otro comentario que me pareció genial de este autor es: 'Si realmente hubiera justicia en el mundo, debiera tenerse, para funciones integrables, \( \displaystyle \lim_{n \to \infty}{\int_0^1 f_n} = \int_0^1 f \)

Saludos.
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02 Abril, 2016, 01:35 pm
Respuesta #1

Piockñec

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Samir, ¿la \( d_* \) es una distancia? Porque si una distancia debe cumplir \( d_*(x,y)=0\Leftrightarrow{}x=y \), si tomamos \( x=1,y=0 \), obtenemos \( d(1,0)=0 \)

No leí el intervalo de definición, SÍ es una distancia :) Qué interesante el ejercicio, gracias por compartirlo!

02 Abril, 2016, 04:36 pm
Respuesta #2

Samir M.

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Cómo enganchan las mates, cuanto más se adentra uno más campos quiere abarcar :) De nada, a ti por leerlo!
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03 Abril, 2016, 01:03 am
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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Es tarde:

No será \(  x \in (1-\delta,1) \cup [0,1'1)  \)

En otro casso podría pasar \(  (1-\delta,1) \cap [0,1'1) = \emptyset  \)

Si usamos la definición de límite, dado \(  \epsilon = \dfrac{1}{2}  \) entonces  dado \(  \delta  \leq \epsilon   \) no  se cumplirá por:


\(  f(B(0,\delta)) = [0,\delta) \cup (1-\delta, 1)  \) que nunca estará dentro de \(  [0, \delta) \subset [0, \epsilon)  \)

03 Abril, 2016, 02:11 pm
Respuesta #4

Samir M.

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Es que es \( x \in (1-\delta, 1) \cap [(0,1), 1) \) o sea, \( x \in (1-\delta, 1) \cap [\frac{1}{10}, 1) \). Ya lo siento, pero es que no sé cómo ponerlo en latex para que no resulte confuso, o sea, para que se aprecie bien.
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03 Abril, 2016, 08:59 pm
Respuesta #5

Juan Pablo Sancho

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El error fue mío era tarde y no estaba bien despierto creía que  era otra cosa.

04 Abril, 2016, 11:25 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Enunciado.

Sean \( d(x,y) = |x-y| \) y \( d_*(x,y) = \text{min}(|x-y|, 1-|x-y|) \) distancias en \( X = [0,1) \) (que el lector animado adjunte en un comentario bajo este hilo la prueba de que realmente son distancias). i) Sea \( f(x) = x \) definida como \( f : (X,d) \to (\mathbb{R},d) \). Demostrad que \( f \) es continua. ii) Sea ahora \( f(x) = x \) definida como \( f:(X,d_*) \to (\mathbb{R},d) \). ¿Es \( f \) continua en \( a = 0 \)?

Un comentario sobre este ejercicio.

Una forma de "visualizarlo" es considerar la aplicación:

\( f:[0,1)\longrightarrow{}S^1\subset R^2 \)

\( f(t)=(cos(2\pi t),sin(2\pi t)) \)

que enrosca el intervalo \( [0,1) \) sobre la circunferencia. Es una aplicación continua y biyectiva; sin embargo su inversa no es continua. Dicho de otra manera la topología de la circunferencia traslada al intervalo \( [0,1) \) mediante la inversa de la aplicación no es la misma que la topología usual en tal intervalo. El motivo es claro: los puntos \( 0 \) y \( 1 \) son el mismo en la circunferencia (\( cos(0)=cos(2\pi), \quad sin(0)=sin(2\pi) \)) y por tanto los puntos próximos a \( 1 \) están próximos a \( 0 \) cuando enroscamos \( [0,1) \) sobre la circunferencia, pero no con la topología usual, no cuando desenroscamos.

Citar
Esta distancia a mí personalmente me resulta curiosa. Por ejemplo, es bien conocida la función de Dirichlet por no ser precisamente continua. De forma más precisa, sea
\( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ \ f(x)=\begin{cases} 1 & \text{si } x \in \mathbb{Q}  \\0 & \text{si } x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} \end{cases} \) Bajo la distancia usual \( x_n = \sqrt{2}/n \to  x = 0 \) pero \( f(x_n) = 0 \not \to f(x) = 1 \) luego \( f \) no es continua en \( 0 \) (ni en ningún otro punto).

Sin embargo, si le definimos ahora la siguiente distancia:

\( d(x,y)= \begin{cases}  |x-y| \ & \text{si }& x-y \in \mathbb{Q} \\ 1 + |x-y| & \text{si}& x-y \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}\end{cases} \)

entonces ahora \( x_n \cancel{\to}0 \). Como toda sucesión \( x_n \to 0 \) debe ser racional a partir de cierto término \( f \) debe ser continua en cero, y lo mismo se aplica en el resto de puntos (sería interesante que intentarais aportar un comentario con una demostración formal de este hecho, y si alguien lo intenta y no le sale que lo comente que aporto la mía). Entonces, ¿La función de Dirichlet es continua o no?  ::)

Si \( x_n\to a \) (con esa especial distancia) entonces \( d(x_n,a)<1/2 \) para \( n\geq n_0 \) y por tanto necesariamente \( x_n-a \) tiene que ser racional (en otro caso la distancia es mayor que uno).

Entonces dado \( x_n\to a \):

- Si \( a \) es racional, \( f(a)=1 \). Para \( n\geq n_0 \) se tiene que \( x_n-a \) es racional y \( x_n=a+x_n-a \) es racional y por tanto \( f(x_n)=1 \) para \( n\geq n_0. \) Es decir: \( f(x_n)=1\to 1=f(a). \)

- Si \( a \) es irracional, \( f(a)=0 \). Para \( n\geq n_0 \) se tiene que \( x_n-a \) es itracional y \( x_n=a+x_n-a \) es irracional (suma de irracional y racional) y por tanto \( f(x_n)=0 \) para \( n\geq n_0. \) Es decir: \( f(x_n)=0\to 0=f(a). \)

Se tiene continuidad secuencial: es continua.

Saludos.

04 Abril, 2016, 02:35 pm
Respuesta #7

Samir M.

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Muy buen comentario, hace mucho más intuitivo el problema. Para completar el ejercicio ahí va una prueba de que \( d_* \) es una métrica:

Las primeras dos propiedades usuales en la definición de una métrica son triviales. Veamos la de la desigualdad triangular:

\( \begin{align*}d_*(x,z) = \min  \{ d(x,z), 1 - d(x,z) \} &\leq \min  \{ d(x,y) + d(y,z), 1 - d(x,z) \} \\ &\leq  \min  \{ d(x,y), 1 - d(x,z) \}  + \min  \{ d(y,z), 1 - d(x,z) \} \\ &\leq \min  \{ d(x,y), 1 - (d(x,y) - d(y,z)) \} + \min  \{ d(y,z), 1 -(d(y,z) - d(x,y))  \} \\&\leq  \min  \{ d(x,y), 1 - d(x,y)  \} + \min  \{ d(y,z), 1 - d(y,z)  \} = d_* (x,y) + d_* (y,z)  \end{align*}  \)
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