[Samir M.]

Este es un ejercicio que me ha parecido muy interesante repasando algo de topología.

Enunciado.

Sean \( d(x,y) = |x-y| \) y \( d_*(x,y) = \text{min}(|x-y|, 1-|x-y|) \) distancias en \( X = [0,1) \) (que el lector animado adjunte en un comentario bajo este hilo la prueba de que realmente son distancias). i) Sea \( f(x) = x \) definida como \( f : (X,d) \to (\mathbb{R},d) \). Demostrad que \( f \) es continua. ii) Sea ahora \( f(x) = x \) definida como \( f:(X,d_*) \to (\mathbb{R},d) \). ¿Es \( f \) continua en \( a = 0 \)?
    _____

Solución.

i) Es cuasitrivial, basta recurrir a las múltiples definiciones de continuidad y aplicarla tal cual.

ii) Este es más interesante. Para intuir si la función es continua o no, podemos estudiar la métrica sobre la que está definida. Observemos que para la distancia \( d_* \) en \( [0,1) \) los números \( 0,999999 \)... están muy próximos a los de la forma \( 0.000000 \)... (o de forma más concreta, la \( B(0,\epsilon) \) tiene puntos cerca del \( 0 \) y del \( 1 \), con lo que las imágenes de esos puntos están en conjuntos distintos) lo que sugiere que hay una discontintuidad, y que por tanto no es continua.  En efecto, empecemos fijándonos en que las bolas son de la forma \( [0,r)  \) y además \(  (1-r,1) \)con \( r>0 \).
La idea consiste en comprobar que \( \forall \ \delta > 0 \ \exists x \in X : d_*(x,0) < \delta \) pero \( d(x,0) \geq \epsilon \). En particular, sea \( \epsilon = 0,1 \). Veamos que \( \nexists \delta : f (B(0,\delta)) \subset f(B,(0,0.1))  \). Si Cogemos \( x \in (1-\delta, 1) \cap [0,1, 1)  \) se tiene que \( d_* (x,0) < \delta  \) pero \( d(x,0)  = |x-0| = |x| \geq 0.1 \) Luego \( f \) no es continua.

Un comentario del autor del artículo donde vi esto decía: 'Desde luego que \( 0,1 \) no tiene poderes mágicos, cualquier otro número pequeño habría sido válido en la demostración'  . Esta distancia a mí personalmente me resulta curiosa. Por ejemplo, es bien conocida la función de Dirichlet por no ser precisamente continua. De forma más precisa, sea
\( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ \ f(x)=\begin{cases} 1 & \text{si } x \in \mathbb{Q}  \\0 & \text{si } x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} \end{cases} \) Bajo la distancia usual \( x_n = \sqrt{2}/n \to  x = 0 \) pero \( f(x_n) = 0 \not \to f(x) = 1 \) luego \( f \) no es continua en \( 0 \) (ni en ningún otro punto).

Sin embargo, si le definimos ahora la siguiente distancia:

\( d(x,y)= \begin{cases}  |x-y| \ & \text{si }& x-y \in \mathbb{Q} \\ 1 + |x-y| & \text{si}& x-y \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}\end{cases} \)

entonces ahora \( x_n \cancel{\to}0 \). Como toda sucesión \( x_n \to 0 \) debe ser racional a partir de cierto término \( f \) debe ser continua en cero, y lo mismo se aplica en el resto de puntos (sería interesante que intentarais aportar un comentario con una demostración formal de este hecho, y si alguien lo intenta y no le sale que lo comente que aporto la mía). Entonces, ¿La función de Dirichlet es continua o no? 

Pd: otro comentario que me pareció genial de este autor es: 'Si realmente hubiera justicia en el mundo, debiera tenerse, para funciones integrables, \( \displaystyle \lim_{n \to \infty}{\int_0^1 f_n} = \int_0^1 f \)

Saludos.

[Piockñec]

Samir, ¿la \( d_* \) es una distancia? Porque si una distancia debe cumplir \( d_*(x,y)=0\Leftrightarrow{}x=y \), si tomamos \( x=1,y=0 \), obtenemos \( d(1,0)=0 \)

No leí el intervalo de definición, SÍ es una distancia Qué interesante el ejercicio, gracias por compartirlo!

[Samir M.]

Cómo enganchan las mates, cuanto más se adentra uno más campos quiere abarcar De nada, a ti por leerlo!

[Juan Pablo Sancho]

Es tarde:

No será \(  x \in (1-\delta,1) \cup [0,1'1)  \)

En otro casso podría pasar \(  (1-\delta,1) \cap [0,1'1) = \emptyset  \)

Si usamos la definición de límite, dado \(  \epsilon = \dfrac{1}{2}  \) entonces  dado \(  \delta  \leq \epsilon   \) no  se cumplirá por:


\(  f(B(0,\delta)) = [0,\delta) \cup (1-\delta, 1)  \) que nunca estará dentro de \(  [0, \delta) \subset [0, \epsilon)  \)

[Samir M.]

Es que es \( x \in (1-\delta, 1) \cap [(0,1), 1) \) o sea, \( x \in (1-\delta, 1) \cap [\frac{1}{10}, 1) \). Ya lo siento, pero es que no sé cómo ponerlo en latex para que no resulte confuso, o sea, para que se aprecie bien.

[Juan Pablo Sancho]

El error fue mío era tarde y no estaba bien despierto creía que  era otra cosa.

[Luis Fuentes]

Hola

Enunciado.

Sean \( d(x,y) = |x-y| \) y \( d_*(x,y) = \text{min}(|x-y|, 1-|x-y|) \) distancias en \( X = [0,1) \) (que el lector animado adjunte en un comentario bajo este hilo la prueba de que realmente son distancias). i) Sea \( f(x) = x \) definida como \( f : (X,d) \to (\mathbb{R},d) \). Demostrad que \( f \) es continua. ii) Sea ahora \( f(x) = x \) definida como \( f:(X,d_*) \to (\mathbb{R},d) \). ¿Es \( f \) continua en \( a = 0 \)?

Un comentario sobre este ejercicio.

Una forma de "visualizarlo" es considerar la aplicación:

\( f:[0,1)\longrightarrow{}S^1\subset R^2 \)

\( f(t)=(cos(2\pi t),sin(2\pi t)) \)

que enrosca el intervalo \( [0,1) \) sobre la circunferencia. Es una aplicación continua y biyectiva; sin embargo su inversa no es continua. Dicho de otra manera la topología de la circunferencia traslada al intervalo \( [0,1) \) mediante la inversa de la aplicación no es la misma que la topología usual en tal intervalo. El motivo es claro: los puntos \( 0 \) y \( 1 \) son el mismo en la circunferencia (\( cos(0)=cos(2\pi), \quad sin(0)=sin(2\pi) \)) y por tanto los puntos próximos a \( 1 \) están próximos a \( 0 \) cuando enroscamos \( [0,1) \) sobre la circunferencia, pero no con la topología usual, no cuando desenroscamos.

Esta distancia a mí personalmente me resulta curiosa. Por ejemplo, es bien conocida la función de Dirichlet por no ser precisamente continua. De forma más precisa, sea
\( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ \ f(x)=\begin{cases} 1 & \text{si } x \in \mathbb{Q}  \\0 & \text{si } x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} \end{cases} \) Bajo la distancia usual \( x_n = \sqrt{2}/n \to  x = 0 \) pero \( f(x_n) = 0 \not \to f(x) = 1 \) luego \( f \) no es continua en \( 0 \) (ni en ningún otro punto).

Sin embargo, si le definimos ahora la siguiente distancia:

\( d(x,y)= \begin{cases}  |x-y| \ & \text{si }& x-y \in \mathbb{Q} \\ 1 + |x-y| & \text{si}& x-y \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}\end{cases} \)

entonces ahora \( x_n \cancel{\to}0 \). Como toda sucesión \( x_n \to 0 \) debe ser racional a partir de cierto término \( f \) debe ser continua en cero, y lo mismo se aplica en el resto de puntos (sería interesante que intentarais aportar un comentario con una demostración formal de este hecho, y si alguien lo intenta y no le sale que lo comente que aporto la mía). Entonces, ¿La función de Dirichlet es continua o no? 

Si \( x_n\to a \) (con esa especial distancia) entonces \( d(x_n,a)<1/2 \) para \( n\geq n_0 \) y por tanto necesariamente \( x_n-a \) tiene que ser racional (en otro caso la distancia es mayor que uno).

Entonces dado \( x_n\to a \):

- Si \( a \) es racional, \( f(a)=1 \). Para \( n\geq n_0 \) se tiene que \( x_n-a \) es racional y \( x_n=a+x_n-a \) es racional y por tanto \( f(x_n)=1 \) para \( n\geq n_0. \) Es decir: \( f(x_n)=1\to 1=f(a). \)

- Si \( a \) es irracional, \( f(a)=0 \). Para \( n\geq n_0 \) se tiene que \( x_n-a \) es itracional y \( x_n=a+x_n-a \) es irracional (suma de irracional y racional) y por tanto \( f(x_n)=0 \) para \( n\geq n_0. \) Es decir: \( f(x_n)=0\to 0=f(a). \)

Se tiene continuidad secuencial: es continua.

Saludos.

[Samir M.]

Muy buen comentario, hace mucho más intuitivo el problema. Para completar el ejercicio ahí va una prueba de que \( d_* \) es una métrica:

Las primeras dos propiedades usuales en la definición de una métrica son triviales. Veamos la de la desigualdad triangular:

\( \begin{align*}d_*(x,z) = \min  \{ d(x,z), 1 - d(x,z) \} &\leq \min  \{ d(x,y) + d(y,z), 1 - d(x,z) \} \\ &\leq  \min  \{ d(x,y), 1 - d(x,z) \}  + \min  \{ d(y,z), 1 - d(x,z) \} \\ &\leq \min  \{ d(x,y), 1 - (d(x,y) - d(y,z)) \} + \min  \{ d(y,z), 1 -(d(y,z) - d(x,y))  \} \\&\leq  \min  \{ d(x,y), 1 - d(x,y)  \} + \min  \{ d(y,z), 1 - d(y,z)  \} = d_* (x,y) + d_* (y,z)  \end{align*}  \)

[FedeFrontera]

Buenas noches... qué tal? Me puedes explicar que propiedadas has utilizado de forma detallada... No le veo.
Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas noches... qué tal? Me puedes explicar que propiedadas has utilizado de forma detallada... No le veo.
Gracias.

Sería bueno que indicases EXACTAMENTE en qué punto está tu duda.

Si te refieres a esto:

\( \begin{align*}d_*(x,z) = \min  \{ d(x,z), 1 - d(x,z) \} &\leq \min  \{ d(x,y) + d(y,z), 1 - d(x,z) \} \\ &\leq  \min  \{ d(x,y), 1 - d(x,z) \}  + \min  \{ d(y,z), 1 - d(x,z) \} \\ &\leq \min  \{ d(x,y), 1 - (d(x,y) - d(y,z)) \} + \min  \{ d(y,z), 1 -(d(y,z) - d(x,y))  \} \\&\leq  \min  \{ d(x,y), 1 - d(x,y)  \} + \min  \{ d(y,z), 1 - d(y,z)  \} = d_* (x,y) + d_* (y,z)  \end{align*} \)

1) \( \min  \{ d(x,z), 1 - d(x,z) \} \leq \min  \{ d(x,y) + d(y,z), 1 - d(x,z) \}  \)

Porque \( d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z) \) y si \( a\leq b \) entonces \( min(a,c)\leq min(b,c) \).

2) \( \min  \{ d(x,y) + d(y,z), 1 - d(x,z) \}\leq \min  \{ d(x,y), 1 - d(x,z) \}  + \min  \{ d(y,z), 1 - d(x,z) \} \)

Porque \( min(a+b,c)\leq min(a,c)+min(b,c) \) si \( a,b,c\geq 0 \).

3) \( \min  \{ d(x,y), 1 - d(x,z) \}  + \min  \{ d(y,z), 1 - d(x,z) \}\leq \min  \{ d(x,y), 1 - (d(x,y) - d(y,z)) \} + \min  \{ d(y,z), 1 -(d(y,z) - d(x,y))  \}  \)

Por que \( d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z) \) y entonces \( -d(x,z)\leq -d(x,y)+d(y,z) \); y de nuevo si \( a\leq b \) entonces \( min(a,c)\leq min(b,c) \).

4)  \( \min  \{ d(x,y), 1 - (d(x,y) - d(y,z)) \} + \min  \{ d(y,z), 1 -(d(y,z) - d(x,y))  \} \leq  \min  \{ d(x,y), 1 - d(x,y)  \} + \min  \{ d(y,z), 1 - d(y,z)  \} \)

Porque \( 1 - (d(x,y) - d(y,z))=1-d(x,y)+d(y,z)\leq 1-d(x,y) \) y si \( a\leq b \) entonces \( min(a,c)\leq min(b,c) \). OJO, lo que está en rojo está mal.

Saludos.