[MainOwner]

Buenas 
¿Cómo podría probar que la curva es esférica, y encontrar la esfera que la contiene?
\( \alpha(t)=(-sen2t+1,cos2t,2sent+2) \)

[mathtruco]

Por alguna razón consideré una esfera con centro en el origen.

Aunque mi respuesta está mala la dejo igual por si alguien ya la leyó 

Spoiler

Si \( \alpha(t)=(x(t),y(t),z(t)) \) pertenece a alguna curva entonces

    \( x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2=r \)

con \( r \) una constante independiente de \( t \) (independiente del ángulo), donde

    \( x(t)=-2*\sin(2t)+1 \)
    \( y(t)=\cos(2t) \)
    \( z(t)=2*\sin(t)+2 \)

Pero en este caso

   \( r(t)=x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2=(-sin(2*t)+1)^2  + (cos(2*t))^2 + (2*sin(t)+2)^2 \)

y así \( r(0)=6 \)  y \( r(\pi/2)=18 \)

por lo que esos puntos no pertenecerían a alguna espera.

[cerrar]

[Carlos Ivorra]

El centro está en el punto (1, -1, 2). Calcula el módulo de \( \alpha(t)-(1, -1, 2) \) y si simplificas, verás que vale 2.

[MainOwner]

¿Cómo obtienes el centro?

[Carlos Ivorra]

¿Cómo obtienes el centro?

He dibujado la curva y he visto a ojo dónde estaba: 

[Abdulai]

¿Cómo podría probar que la curva es esférica, y encontrar la esfera que la contiene?
\( \alpha(t)=(-sen2t+1,cos2t,2sent+2) \)

Reconociendo que se trata de una curva de Viviani sobre una esfera de radio 2. Luego ves cuanto está desplazada llevando la expresión dada a la de la esfera en el origen.  

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas 
¿Cómo podría probar que la curva es esférica, y encontrar la esfera que la contiene?
\( \alpha(t)=(-sen2t+1,cos2t,2sent+2) \)

Puedes calcular cuatro puntos no coplanarios de la curva dando valores a \( t \).

Después el plano mediatriz de uno de ellos con los otros tres. Si realmente es esférica la intersección de los tres planos es el candidato a centro.

Finalmente calcular la distancia de cualquier punto de la curva al candidato a centro y verificar si es constante.

Saludos.

[Abdulai]

Otra forma:  Si la curva es esférica existe un punto  \( P=[a,b,c] \)  tal que  \( \left|\alpha(t)-P\right| \)  es constante para todo t.

\( \left|[1 - \sin(2t), \cos(2t), 2 + 2\sin(t)]-[a,b,c]\right|^2 = 4(a-1)\sin(t)\cos(t) - 4(b+1)\cos^2(t) - 4(c-2)\sin(t) + a^2 - 2a + b^2 + 2b + c^2 - 4c + 10 \)

Claramente esto ocurre para \( a=1\;,\;b=-1\;,\;c=2 \)

[MainOwner]

  Debo ser un poco inútil, pero como obtienes \( 4(a−1)sin(t)cos(t)−4(b+1)cos2(t)−4(c−2)sin(t)+a2−2a+b2+2b+c2−4c+10 \)
gracias

[Abdulai]

Elevás al cuadrado las componentes

\( \left(1-\sin(2t)-a\right)^2=\left(1-a\right)^2-2(1-a)\sin(2t)+\sin^2(2t) \)
\( \left(\cos(2t)-b\right)^2=b^2-2b\cos(2t)+\cos^2(2t) \)
\( \left(2+2\sin t-c\right)^2=(2-c)^2+4(2-c)\sin t+4\sin^2t \)

Las sumás

\(  (1-a)^2+b^2+(2-c)^2-2(1-a)\underbrace{\sin(2t)}_{2\sin t\cos t} + \underbrace{\sin^2(2t)+\cos^2(2t)}_{=1} - 2b\underbrace{\cos(2t)}_{=2\cos^2t-1} + 4(2-c)\sin t + 4\underbrace{\sin^2t}_{1-\cos^2t} \)

y simplificás.


PD.  No lo había hecho a mano, metí la expresión \( \left|\alpha(t)-P\right|^2 \) en el Derive6 y fue lo que devolvió.