[Smagh]

Buenas a todos, y feliz año nuevo (un poco atrasado )!!!

Tengo dudas con este límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to{}1}{[(1-x)tan\displaystyle\frac{π}{2}x]} \)

La verdad es que más allá de convertir la expresión \( tan\displaystyle\frac{π}{2}x \) en \( \displaystyle\frac{sen\displaystyle\frac{π}{2}x}{cos\displaystyle\frac{π}{2}x} \) no he logrado mucho más 

No sé como eliminar el coseno del denominador, traté multiplicar por coseno tanto el numerador y el denominador y luego aplicar la fórmula del uno trigonométrico en el denominador para deshacerme del coseno, pero la indeterminación persiste, y al realizar la multiplicación entre el seno y (1-x) solo logré confundirme más.

Cabe destacar que no se me permite aplicar L'Hopital y que el límite si existe y vale \( \displaystyle\frac{2}{π} \)

[Poincaré]

Si no te permiten usar L'Hôpital, ¿qué te permiten usar? ¿Infinitésimos equivalentes?

[Smagh]

Si no te permiten usar L'Hôpital, ¿qué te permiten usar? ¿Infinitésimos equivalentes?

Solo las identidades trigonométricas, y las típicas técnicas de racionalización, factorización, cambio de variable, etc.

[energy]

Vale, entonces tenemos que:

\( \displaystyle\lim_{x \to 1}{f(x)} = \lim_{x \to 0 }{f(x+1)} = \lim_{x \to 0 }{\dfrac{-x\sen\left( \dfrac{\pi}{2} x+ \displaystyle\frac{\pi}{2} \right)}{\cos\left(\dfrac{\pi}{2} x+ \dfrac{\pi}{2}\right)}} \)

y aplicando el seno y coseno de la suma llegarás a:

\( \displaystyle\lim_{x \to 0} {\dfrac{x\cos\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)}{\sen\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)}} \) y sabiendo que \( \displaystyle\lim_{x \to0}{\displaystyle\frac{sen x}{x}}=1 \) multiplicando arriba y abajo por \( \displaystyle\frac{\pi}{2} \) tenemos que el límite es \( \displaystyle\frac{2}{\pi} \)

No se porqué no se me inserta latex en las fracciones grandes D: pero ahí está casi resuelto y la idea

[Poincaré]

No se me ocurre sin aplicar L'Hôpital. Usándolo quedaría así:

\( \displaystyle\lim_{x \to{1}}{(1-x)tan\frac{\pi}{2}x}=\left\{{tan=\frac{sen}{cos}}\right\}=\displaystyle\lim_{x \to{1}}{\frac{1-x}
{\frac{cos\frac{\pi}{2}x}{sen\frac{\pi}{2}x}}}=\left\{{L'Hop.}\right\}=\displaystyle\lim_{x \to{1}}{\frac{-1}{\frac{-\frac{\pi}{2}sen^2\frac{\pi}{2}x-\frac{\pi}{2}cos^2\frac{\pi}{2}x}{sen^2\frac{\pi}{2}x}}}=\left\{{sen^2+cos^2=1}\right\}=\displaystyle\lim_{x \to{1}}{\frac{-1}{\frac{-\frac{\pi}{2}}{sen^2\frac{\pi}{2}x}}}=\frac{2}{\pi} \)

[Smagh]

Vale, entonces tenemos que:

\(  \displaystyle\lim_{x \to 1}{f(x)} = \displaystyle\lim_{x \to 0 }{f(x+1)} =\displaystyle\lim_{x \to 0 }{\displaystyle\frac{-xsen(\displaystyle\frac{\pi}{2} x+ \displaystyle\frac{pi}{2})}{cos(\displaystyle\frac{\pi}{2} x+ \displaystyle\frac{pi}{2})} \)

y aplicando el seno y coseno de la suma llegarás a:

\( \displaystyle\lim_{x \to0}{\displaystyle\frac{xcos(\displaystyle\frac{\}{2}x)}{sen (\displaystyle\frac{\pi}{2})}} \) y sabiendo que \( \displaystyle\lim_{x \to0}{\displaystyle\frac{sen x}{x}}=1 \) multiplicando arriba y abajo por \( \displaystyle\frac{\pi}{2} \) tenemos que el límite es \( \displaystyle\frac{2}{\pi} \)

No se porqué no se me inserta latex en las fracciones grandes D: pero ahí está casi resuelto y la idea

Okay, okay... traté de traducir la fracción  creo que esto fue lo que quisiste decir?

\( \displaystyle\lim_{x \to{}1}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{}0}{f(x+1)} \)\( =\displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{-xsen(\displaystyle\frac{\pi}{2}x+\displaystyle\frac{\pi}{2})}{cos(\displaystyle\frac{\pi}{2} x+\displaystyle\frac{\pi}{2})}} \)

Luego de aplicar el seno y coseno de la suma, respectivamente:

\( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{xsen(\displaystyle\frac{\pi}{2} x)}{sen(\displaystyle\frac{\pi}{2} x)}} \)

A eso es a lo que te referías?

[energy]

Si, pero en el denominador es seno de pi/2 por x

[Poincaré]

Muy interesante esa forma de calcular el límite. Me la apunto 😉

[Smagh]

Si, pero en el denominador es seno de pi/2 por x

Ups, ya he visto el error. MUCHISIMAS gracias  me has aclarado muchísimo. Sin embargo aun así hay que pensar para poderle llegar a la respuesta correcta jaja.

Muy interesante esa forma de calcular el límite. Me la apunto 😉

Si bien L'Hopital es más fácil, estoy en el curso de Cálculo I y como límites se ve antes que derivadas, el profesor nos hace realizarlos así.

[Poincaré]

Yo también aprendí antes a resolverlos así, pero ya después de aprender la regla de LHopital es difícil no caer en la tentación de usarla, es más, ya ni recordaba esa forma... hace ya cuatro años de eso...
Pero muy interesante, gracias