[MatematicaMente]

Buenos días, dejo aquí mi segundo post. Como en el primero que deje, tengo algunas dificultades a la hora de intentar imaginarme, en este caso, un subespacio afín.

Sabiendo que:
Sea el espacio afín (A,V,f) donde A=conjunto de puntos, V=espacio vectorial asociado, f=aplicación.
Una vez fijado un punto p en A (de manera que 'convertimos' a p en el vector cero), entonces ya tendríamos 'construido' un espacio vectorial V cuyos vectores parten de dicho vector cero (punto p, origen) y sus extremos serían los distintos puntos de A.

Mi duda es la siguiente:
Si tenemos un espacio afín con origen en el punto p (p=vector cero), entonces ¿cualquier subespacio afín contenido en dicho espacio afín tiene que contener a dicho vector cero ó p? ¿O puede tomar como vector cero un nuevo punto?

Gracias!

[Carlos Ivorra]

Algunos matices:

Sea el espacio afín (A,V,f) donde A=conjunto de puntos, V=espacio vectorial asociado, f=aplicación.
Una vez fijado un punto p en A (de manera que 'convertimos' a p en el vector cero), entonces ya tendríamos 'construido' un espacio vectorial V cuyos vectores parten de dicho vector cero (punto p, origen) y sus extremos serían los distintos puntos de A.

Lo de "ya tenemos construido" suena equívoco. Tienes un espacio afín cuando tienes un conjunto de puntos A, un espacio vectorial V y una suma de punto más vector. Entonces, cuando fijas un punto p en A, lo que obtienes es una biyección \( A\longrightarrow V \) dada por \( x\mapsto \vec{px} \). Puedes pensar que así has construido un espacio vectorial, porque ahora puedes considerar como vectores los puntos de A, pero quizá verías más claramente todo si mantuvieras la distinción entre puntos y vectores, y entendieras que a cada punto x lo puedes determinar mediante el único vector (el vector de posición) que te dice cómo moverte de p a x. Más que dotar de estructura de espacio vectorial al conjunto de puntos (que puedes verlo así) es más natural pensar que para cada punto tienes un vector que te lleva al punto desde el origen prefijado.

Si tenemos un espacio afín con origen en el punto p (p=vector cero),

Eso es más capcioso. Un espacio afín no tiene origen. Un espacio afín es lo que tienes cuando fijas un conjunto de puntos, un espacio vectorial y una suma mixta. En un espacio afín puedes considerar cualquier punto como origen de coordenadas, pero eso no es parte de la estructura de espacio afín, sino algo ajeno a ella, de modo que en cualquier momento puedes cambiar un origen por otro y sigues teniendo el mismo espacio afín.

entonces ¿cualquier subespacio afín contenido en dicho espacio afín tiene que contener a dicho vector cero ó p?

No tiene por qué. El concepto de subespacio afín depende únicamente de la estructura de espacio afín, luego en particular no depende de qué punto hayas decidido tomar como origen de coordenadas si es que decides fijar uno. Si tú piensas en un origen de coordenadas y yo pienso en otro, ambos estaremos de acuerdo en cuáles son los subespacios afines del espacio afín que estamos considerando, porque éstos dependen del espacio afín, y no de nada que queramos añadir al espacio afín, como es un origen de coordenadas.

¿O puede tomar como vector cero un nuevo punto?

Es que en principio no hay necesidad de elegir ningún punto como vector cero. Si quieres elegir un sistema de referencia en el subespacio, podrás tomar cualquiera de sus puntos como origen, pero que un subconjunto sea un subespacio afín no depende para nada de que te decidas a seleccionar un punto o que no lo hagas. Eso da igual.

Más concretamente, si (A, V, +) es un espacio afín, un subespacio afín es cualquier terna (B, W, +') donde B es un subconjunto de A, W es un subespacio vectorial de V y +' es la restricción de + a \( B\times W \), lo cual exige que la suma de un punto de B y un vector de W sea de nuevo un punto de B.

En todo esto no interviene para nada ninguna elección de un origen de coordenadas.

[Weip]

No, no tiene porqué. Imagina el caso de una recta: un punto de la recta será un subespacio afín de la recta y no tiene porqué ser el cero. De todas formas aclarar que esta pregunta solo tiene sentido una vez hemos fijado una referencia. Sino, a priori no hay coordenadas en tu espacio afín.

Edito: Parece que ya han publicado una respuesta mucho más completa que la mía. Bueno el foro me va un poco mal así que...

[MatematicaMente]

Gracias por las respuestas!
Corregidme si me equivoco, por favor:

Lo de "ya tenemos construido" suena equívoco. Tienes un espacio afín cuando tienes un conjunto de puntos A, un espacio vectorial V y una suma de punto más vector.

Pero entonces, ¿Cómo sería tu representación gráfica de espacio afín?, es decir, ¿De qué manera te lo imaginas tú?

Y otra pregunta, si la aplicación es una suma de punto más vector eso significa que si fijamos un punto p como origen de coordenadas y establecemos una base, cada punto x\in{A} tendría como coordenadas las de su respectivo vector \vec{px}?(De manera que en un espacio afín las coordenadas de un punto y el vector que va desde el origen hasta él sean las mismas, y por lo tanto tengamos que especificar cúando hablamos de un punto y cuando de un vector)

Entonces, cuando fijas un punto p en A, lo que obtienes es una biyección \( A\longrightarrow V \) dada por \( x\mapsto \vec{px} \). Puedes pensar que así has construido un espacio vectorial, porque ahora puedes considerar como vectores los puntos de A, pero quizá verías más claramente todo si mantuvieras la distinción entre puntos y vectores, y entendieras que a cada punto x lo puedes determinar mediante el único vector (el vector de posición) que te dice cómo moverte de p a x. Más que dotar de estructura de espacio vectorial al conjunto de puntos (que puedes verlo así) es más natural pensar que para cada punto tienes un vector que te lleva al punto desde el origen prefijado.

Eso es más capcioso. Un espacio afín no tiene origen. Un espacio afín es lo que tienes cuando fijas un conjunto de puntos, un espacio vectorial y una suma mixta. En un espacio afín puedes considerar cualquier punto como origen de coordenadas, pero eso no es parte de la estructura de espacio afín, sino algo ajeno a ella, de modo que en cualquier momento puedes cambiar un origen por otro y sigues teniendo el mismo espacio afín.

En mis apuntes me dan como definición de espacio afín:
Espacio afín, terna (A,V,f) con A=conjunto puntos, V=espacio vectorial asociado al espacio afín y f=aplicación f:AXA------->V tal que (p,q)--->f(p,q)=\vec{pq} es una biyección y
2) Para cualesquiera p,q,r de A se tiene que \vec{pq}+\vec{qr}=\vec{pr}

Por lo tanto yo considero estas dos propiedades como parte de la definición de manera que fijar un punto p formaría parte de la 'construcción' de un espacio afín, pero tras tu aclaración lo veo más como propiedad que cumple, tal que fijando un punto p cualquiera de A, la aplicación relaciona cualquier punto de A con un único vector (pues es biyectiva) de manera que existe un único camino desde el punto p fijado hasta cualquier punto de A.
De alguna manera esto me hace equivocarme pues me hace pensar que hay que fijar un punto obligatoriamente para identificar a cada punto de A con un vector de V, de forma que al referirnos a cualquier punto x de A nos refiramos a su vez (equivalentemente) al vector \vec{px}...pero aquí ya veo que me he desviado de la definición y de todo...
Sin embargo, si fijamos un punto p \in{A} y establecemos una base, por la propiedad 1) ¿se daría lo que acabo de decir? Si la respuesta es que sí, habría que aclarar cúando hablamos de vector y cuando de punto, ya que las coordenadas de ambos serían las mismas, ¿no?

No tiene por qué. El concepto de subespacio afín depende únicamente de la estructura de espacio afín, luego en particular no depende de qué punto hayas decidido tomar como origen de coordenadas si es que decides fijar uno. Si tú piensas en un origen de coordenadas y yo pienso en otro, ambos estaremos de acuerdo en cuáles son los subespacios afines del espacio afín que estamos considerando, porque éstos dependen del espacio afín, y no de nada que queramos añadir al espacio afín, como es un origen de coordenadas.

Esto me hace bastante lío ya que en un espacio vectorial fijabamos el vector nulo \vec{0} como origen de coordenadas y ahora se fija un punto.
¿Podría entender esto como que el vector nulo puede verse a su vez además de como vector de módulo cero, como punto (ya que un vector de módulo cero es eso, un punto))?
De tal manera que si quisiese tomar una base en el espacio afín eligiría dos puntos no alineados con el punto que he fijado como origen y sus correspondientes vectores (que obtendría a partir de la aplicación +) serían la base. (Es decir, la base siempre se obtiene del espacio vectorial, pero esta vez como nos encontramos en el espacio afín habrá que tomar dichos vectores a partir de los puntos de A)

*Me estoy dando cuenta de que hay dos maneras de entender el espacio (tanto vectorial como afín) y que si las mezclas es cuando te lías.
Estaría la forma abstracta en la que no hay un origen ni una base y por lo tanto no se pueden relacionar los vectores con sus coordenadas. Y la forma analítica en la que ya fijamos un origen de coordenadas, una base y podemos trabajar con los vectores.

Es que en principio no hay necesidad de elegir ningún punto como vector cero. Si quieres elegir un sistema de referencia en el subespacio, podrás tomar cualquiera de sus puntos como origen, pero que un subconjunto sea un subespacio afín no depende para nada de que te decidas a seleccionar un punto o que no lo hagas. Eso da igual.

Más concretamente, si (A, V, +) es un espacio afín, un subespacio afín es cualquier terna (B, W, +') donde B es un subconjunto de A, W es un subespacio vectorial de V y +' es la restricción de + a \( B\times W \), lo cual exige que la suma de un punto de B y un vector de W sea de nuevo un punto de B.

En todo esto no interviene para nada ninguna elección de un origen de coordenadas.

En mi definición de subespacio afín me hablan de los sistemas de ecuaciones lineales COMPATIBLES. De manera que las soluciones de estos sistemas tienen estructura de espacio afín.
-Si el sistema es HOMOGÉNEO, dice (mi libro) que el conjunto de soluciones tiene estructura de espacio vectorial (ya que contiene al vector nulo (0,...,0)) y esto conlleva a que además tenga estructura de espacio afín ya que por una propiedad que no acabo de comprender, todo espacio vectorial V, se puede dotar de estructura de espacio afín. Pero bueno, lo doy por hecho ahora.
En el siguiente punto es donde me surgen dudas:
-Si el sistema es NO HOMOGÉNEO, dice que el conjunto de soluciones tendrá estructura de espacio afín, pero no de espacio vectorial ya que no contiene al vector nulo.
Sin embargo, si el sistema es compatible no homogéneo, el conjunto de resultados qué serán ¿puntos?, ¿vectores?. No entiendo este último punto ni el por qué.

Lo que si entiendo es que después dice, que su espacio vectorial asociado será el conjunto de soluciones de su sistema homogéneo asociado (porque ya sí contendrá al (0,...,0)).

[Carlos Ivorra]

Antes que nada, empiezo por aquí:

En mis apuntes me dan como definición de espacio afín:
Espacio afín, terna (A,V,f) con A=conjunto puntos, V=espacio vectorial asociado al espacio afín y f=aplicación f:AXA------->V tal que (p,q)--->f(p,q)=\vec{pq} es una biyección y
2) Para cualesquiera p,q,r de A se tiene que \vec{pq}+\vec{qr}=\vec{pr}

Yo estaba considerando en todo momento una definición equivalente, pero distinta, sin caer en la cuenta de que podías estar considerando otra. A partir de aquí me ceñiré a la tuya para no liarte.

Pero entonces, ¿Cómo sería tu representación gráfica de espacio afín?, es decir, ¿De qué manera te lo imaginas tú?

Ya hablamos de esto en otro hilo, pero quizá no afinamos tanto. Un espacio afín, por ejemplo, de dimensión 2, es un plano, pero un plano sin que haya venido nadie a ponerle ejes y coordenadas. El espacio vectorial asociado V está ahí, pero no en forma de ejes ni de coordenadas. La ausencia de ejes y coordenadas no te impide hablar de vectores. Si unes dos puntos con una flecha tienes un vector (sin necesidad de pensar en coordenadas ni nada de eso) y dos vectores dibujados en dos lugares distintos del plano son el mismo vector si transportando uno paralelamente a sí mismo puedes superponerlo al otro.

Si tienes dos vectores dibujados en el plano, puedes sumarlos transportándolos a un mismo origen y aplicando la ley del paralelogramo. Para ello no necesitas fijar ningunas coordenadas. También puedes multiplicar un vector por un número haciéndolo más largo o más corto, y cambiando su sentido si el número es negativo.

Lo más importante que tienes que pensar es esto: si tú y yo vemos el mismo plano afín y nos enseñan dos vectores y nos piden que los sumemos, o que los multipliquemos por números, los dos obtendremos el mismo resultado sin necesidad de considerar ningunos ejes o, si pese a todo, te empeñas en considerarlos, lo que obtendrás será lo mismo que obtendré yo sin considerarlos, o lo que obtendrías si consideraras otros ejes distintos. Los ejes no hacen falta para nada a la hora de sumar o multiplicar vectores.

Por eso, un plano afín tiene asociado un espacio vectorial, pero no una elección de un origen o de una base de vectores: porque las operaciones vectoriales las puede hacer cualquiera que entienda los conceptos geométricos básicos de paralelismo, etc. sin necesidad de pintar unos ejes.

Y otra pregunta, si la aplicación es una suma de punto más vector eso significa que si fijamos un punto p como origen de coordenadas y establecemos una base, cada punto x\in{A} tendría como coordenadas las de su respectivo vector \vec{px}?(De manera que en un espacio afín las coordenadas de un punto y el vector que va desde el origen hasta él sean las mismas, y por lo tanto tengamos que especificar cúando hablamos de un punto y cuando de un vector)

No te preocupes si no quieres por la definición alternativa en términos de la suma de punto más vector. Mejor que te aclares con una definición en lugar de barajar dos. De todos modos, si quieres ir por ahí, nuevamente sucede que no necesitas coordenadas para nada a la hora de sumar puntos y vectores:

Si te dan un punto en un plano y un vector en otra parte del plano, transportas el vector hasta que su origen esté en el punto dado y el extremo del vector transportado es la suma. Esto lo puedes hacer sin necesidad de elegir orígenes, bases, o ejes.

En mis apuntes me dan como definición de espacio afín:
Espacio afín, terna (A,V,f) con A=conjunto puntos, V=espacio vectorial asociado al espacio afín y f=aplicación f:AXA------->V tal que (p,q)--->f(p,q)=\vec{pq} es una biyección y
2) Para cualesquiera p,q,r de A se tiene que \vec{pq}+\vec{qr}=\vec{pr}

Por lo tanto yo considero estas dos propiedades como parte de la definición de manera que fijar un punto p formaría parte de la 'construcción' de un espacio afín, pero tras tu aclaración lo veo más como propiedad que cumple, tal que fijando un punto p cualquiera de A, la aplicación relaciona cualquier punto de A con un único vector (pues es biyectiva) de manera que existe un único camino desde el punto p fijado hasta cualquier punto de A.

Cambio lo que te decía antes para adaptarme a tu definición:

En la definición de espacio afín ya tienes dado un espacio vectorial (ya está "construido", antes de que elijas ningún origen o ninguna base o sistema de ejes). Ese espacio vectorial lo "ve" cualquiera que vea un plano, sin necesidad de elegir arbitrariamente ejes, y consiste en lo que te he explicado antes: un vector es un par de puntos haciendo abstracción de su posición en el plano, de modo que dos pares de puntos (ordenados, con un origen y un destino) son el mismo vector si uno se puede transportar hasta superponerse al otro.

Ahora, cuando fijas un punto p como origen, puedes hacer corresponder a cada punto x el vector \( \vec{px} \) y, recíprocamente, cada vector \( \vec v \) se expresa de forma única como \( \vec v=\vec{px} \), para cierto punto p, luego cada punto queda determinado por un vector (su vector de posición) y viceversa.

De alguna manera esto me hace equivocarme pues me hace pensar que hay que fijar un punto obligatoriamente para identificar a cada punto de A con un vector de V, de forma que al referirnos a cualquier punto x de A nos refiramos a su vez (equivalentemente) al vector \vec{px}...pero aquí ya veo que me he desviado de la definición y de todo...

Eso es cierto. Necesitas fijar un punto obligatoriamente para identificar a cada punto de A con un vector de V, pero no es menos cierto que no es  obligatorio fijar ningún punto ni identificar puntos con vectores. Por ejemplo, un subespacio afín de (A, V, f) puede definirse (cambio la definición de antes para adaptarme a tu definición de espacio afín) como una terna (B, W, g) donde B es un subconjunto de A, W es un subespacio de V y g es la restricción de f a \( B\times B \), de modo que el vector asociado a dos puntos de B tiene que ser un vector de W.

Por ejemplo, si piensas en un plano (sin ejes, refrena tu obsesión por pintar ejes), cualquier recta es un subespacio afín, porque los vectores asociados a cada par de puntos de una recta forman un subespacio vectorial. Por ejemplo, si tomas un par de la forma (p,p), donde p es cualquier punto de la recta, entonces su vector asociado es el vector \( \vec 0 \), y esto no depende de ninguna elección de un origen en el plano. El vector \( \vec 0 \) puedes verlo "en todas partes" como una flecha que parte de un punto cualquiera y acaba en ese mismo punto cualquiera.

Sin embargo, si fijamos un punto p \in{A} y establecemos una base, por la propiedad 1) ¿se daría lo que acabo de decir? Si la respuesta es que sí, habría que aclarar cúando hablamos de vector y cuando de punto, ya que las coordenadas de ambos serían las mismas, ¿no?

No sé muy bien a qué te refieres con "lo que acabo de decir". Si fijas un punto, a cada punto del plano le puedes asociar un vector, y si además fijas una base, a cada vector (luego también a cada punto) le puedes asociar unas coordenadas. Las coordenadas de un punto x son por definición las del vector \( \vec{px} \), donde p es el origen que has fijado arbitrariamente.

En general, si dices (4, 7) eso no te determina ningún punto ni ningún vector, salvo que aclares que te refieres al vector que tiene tales coordenadas en tal base, o al punto que tiene tales coordenadas desde tal origen y en tal base.

Pero es lógico que así sea: si piensas en un plano sin más (sin ejes, un plano afín) y te digo (4, 7), ¿eso a qué punto representa? ¡a ninguno!, no mientras no fijes unos ejes, sin ejes, tienes igualmente un plano afín, pero sus puntos y sus vectores no están determinados por coordenadas.

Esto me hace bastante lío ya que en un espacio vectorial fijabamos el vector nulo \vec{0} como origen de coordenadas y ahora se fija un punto.

En un espacio vectorial el \( \vec 0 \) está determinado desde un principio, en un espacio afín sólo tienes puntos que determinan vectores, pero no hay ningún origen privilegiado. Esto es lógico. Si miras un plano, ¿qué tiene un punto que no tenga otro? El concepto de plano afín es más fiel al concepto geométrico de plano que el de espacio vectorial, porque en los planos no hay ningún punto destacado, como en los espacios afines, al contrario que en los espacios vectoriales.

¿Podría entender esto como que el vector nulo puede verse a su vez además de como vector de módulo cero, como punto (ya que un vector de módulo cero es eso, un punto))?

Yo diría más bien, que, en un plano afín, el vector nulo es la clase de todos los pares de puntos de la forma (p, p), para cualquier punto p, con lo que el vector nulo está "en todas partes", al igual que cualquier otro vector. Si dibujas una flecha en el plano, ese mismo vector puedes dibujarlo en cualquier otra parte, trasladándolo paralelamente a sí mismo. Lo que obtienes es el mismo vector puesto en otro sitio. Y no necesitas ejes ni coordenadas para trasladar un vector.

De tal manera que si quisiese tomar una base en el espacio afín eligiría dos puntos no alineados con el punto que he fijado como origen y sus correspondientes vectores (que obtendría a partir de la aplicación +) serían la base. (Es decir, la base siempre se obtiene del espacio vectorial, pero esta vez como nos encontramos en el espacio afín habrá que tomar dichos vectores a partir de los puntos de A)

En principio, en el espacio vectorial V hay bases, como en todo espacio vectorial, pero si lo que quieres es visualizar esas bases, tienes que tener en cuenta que un vector se "visualiza" como un par (ordenado) de puntos que puedes dibujar en cualquier parte del plano. Entonces, para visualizar una base, tienes que fijar tres puntos, tal y como dices.

*Me estoy dando cuenta de que hay dos maneras de entender el espacio (tanto vectorial como afín) y que si las mezclas es cuando te lías.

Hilando fino, el concepto matemático que recoge la idea geométrica de espacio es el de espacio afín y no el de espacio vectorial, porque éste supone que existe un punto privilegiado (el \( \vec 0 \)) y en el espacio no hay puntos privilegiados. Un espacio vectorial recoge más bien la noción de "traslación". La palabra "vector" significa en latín "transportador". Tú te empeñas en querer ver a un vector como algo que te informa de la posición de un punto, y eso es pervertir las cosas: un vector es algo que te informa sobre cómo trasladarte de un punto a otro. Así el vector \( \vec 0 \) representa la traslación consistente en partir de un punto y quedarte en él sin moverte. Cuando fijas un punto como origen, es lo mismo hablar de un punto que de una traslación, porque cada traslación te lleva a un único punto desde el origen prefijado.

Pero convendría que pensaras así: los vectores NO representan puntos del espacio, sino traslaciones de un punto a otro del espacio. Existe un vector \( \vec 0 \) distinguido del resto porque existe la traslación nula que consiste en no moverte que es distinta de las otras, mientras que no existe ningún punto distinguido del resto en un plano o en el espacio.

Estaría la forma abstracta en la que no hay un origen ni una base y por lo tanto no se pueden relacionar los vectores con sus coordenadas. Y la forma analítica en la que ya fijamos un origen de coordenadas, una base y podemos trabajar con los vectores.

Más o menos, pero sigues "tirando para el monte". En un espacio afín puedes trabajar puntos y vectores sin necesidad de fijar ningún origen y ninguna base. Por ejemplo, puedes definir la recta que pasa por dos puntos distintos p y q como la formada por todos los puntos de la forma

\( p+\lambda \vec{pq} \) con \( \lambda\in \mathbb R \)

y esto es una afirmación que involucra puntos y vectores y que no requiere haber fijado ningún origen ni ninguna base en el espacio afín. Y puedes probar que por dos puntos pasa una única recta, o que dos rectas distintas en un plano se cortan en un punto o son paralelas, y muchas más cosas trabajando con puntos y vectores ni necesidad alguna de fijar un origen y una base. Sin necesidad de tratar con los puntos y los vectores a través de coordenadas. Tienes mono de coordenadas, pero se puede vivir bastante bien sin ellas. Está bien usarlas cuando conviene, pero no debes depender de ellas hasta el punto de sufrir síndrome de abstinencia.   

En mi definición de subespacio afín me hablan de los sistemas de ecuaciones lineales COMPATIBLES. De manera que las soluciones de estos sistemas tienen estructura de espacio afín.
-Si el sistema es HOMOGÉNEO, dice (mi libro) que el conjunto de soluciones tiene estructura de espacio vectorial (ya que contiene al vector nulo (0,...,0)) y esto conlleva a que además tenga estructura de espacio afín ya que por una propiedad que no acabo de comprender, todo espacio vectorial V, se puede dotar de estructura de espacio afín.

Todo eso es correcto, y lo que no entiendes es sencillo: si tienes un espacio vectorial V, puedes tomar como conjunto de puntos a A = V, y definir la aplicación que a cada par de puntos p y q les asigna el vector \( \vec{pq}=q-p \), lo cual es correcto porque los "puntos" son en realidad vectores y se pueden restar. El resultado es un espacio afín.

Pero bueno, lo doy por hecho ahora.
En el siguiente punto es donde me surgen dudas:
-Si el sistema es NO HOMOGÉNEO, dice que el conjunto de soluciones tendrá estructura de espacio afín, pero no de espacio vectorial ya que no contiene al vector nulo.
Sin embargo, si el sistema es compatible no homogéneo, el conjunto de resultados qué serán ¿puntos?, ¿vectores?. No entiendo este último punto ni el por qué.

Todo esto hay que entenderlo en el contexto de \( \mathbb R^n \) como espacio afín. Esto supone olvidarte parcialmente de la estructura de espacio vectorial, es decir, considerar como puntos los elementos de \( \mathbb R^n \) viéndolos a todos por igual, sin distinguir el (0,...,0) de los demás, y luego aparte considerar que el vector asociado a dos puntos es la resta de ambos, considerando ahora sí la estructura vectorial.

Si ahora consideras el conjunto de soluciones de un sistema lineal no necesariamente homogéneo, vemos que éste forma un subespacio afín de \( \mathbb R^n \). Mira el caso de una única ecuación \( x+y=1 \) en el plano. Las soluciones forman un espacio afín porque puedes fijar un espacio vectorial \( W=\{(x, y)\in \mathbb R^2\mid x+y=0\} \) de \( \mathbb R^2 \) de modo que dos soluciones cualesquiera del sistema p y q cumplen que \( \vec{pq}=q-p\in W \). Geométricamente, el conjunto de soluciones es una recta, y las rectas son los subespacios afines de \( \mathbb R^2 \).

Estamos viendo a \( \mathbb R^2 \) como espacio afín y las soluciones de la ecuación son puntos de \( \mathbb R^2 \), un conjunto de puntos de \( \mathbb R^2 \) que forman un subespacio afín (pero no un subespacio vectorial, necesariamente).

Lo que si entiendo es que después dice, que su espacio vectorial asociado será el conjunto de soluciones de su sistema homogéneo asociado (porque ya sí contendrá al (0,...,0)).

Claro, en mi ejemplo, el espacio vectorial asociado es W.

[MatematicaMente]

En primer lugar, reconozco mi enfermiza obsesión por las coordenadas, no se de donde viene
Simplemente quiero ver la diferencia entre la información que obtenemos cuando trabajamos con coordenadas y cuando trabajamos abstractamente sin ellas.
Ahí vamos de nuevo:

Ya hablamos de esto en otro hilo, pero quizá no afinamos tanto. Un espacio afín, por ejemplo, de dimensión 2, es un plano, pero un plano sin que haya venido nadie a ponerle ejes y coordenadas. El espacio vectorial asociado V está ahí, pero no en forma de ejes ni de coordenadas. La ausencia de ejes y coordenadas no te impide hablar de vectores. Si unes dos puntos con una flecha tienes un vector (sin necesidad de pensar en coordenadas ni nada de eso) y dos vectores dibujados en dos lugares distintos del plano son el mismo vector si transportando uno paralelamente a sí mismo puedes superponerlo al otro.

Si tienes dos vectores dibujados en el plano, puedes sumarlos transportándolos a un mismo origen y aplicando la ley del paralelogramo. Para ello no necesitas fijar ningunas coordenadas. También puedes multiplicar un vector por un número haciéndolo más largo o más corto, y cambiando su sentido si el número es negativo.

Lo más importante que tienes que pensar es esto: si tú y yo vemos el mismo plano afín y nos enseñan dos vectores y nos piden que los sumemos, o que los multipliquemos por números, los dos obtendremos el mismo resultado sin necesidad de considerar ningunos ejes o, si pese a todo, te empeñas en considerarlos, lo que obtendrás será lo mismo que obtendré yo sin considerarlos, o lo que obtendrías si consideraras otros ejes distintos. Los ejes no hacen falta para nada a la hora de sumar o multiplicar vectores.

Por eso, un plano afín tiene asociado un espacio vectorial, pero no una elección de un origen o de una base de vectores: porque las operaciones vectoriales las puede hacer cualquiera que entienda los conceptos geométricos básicos de paralelismo, etc. sin necesidad de pintar unos ejes.

Tiendo a pensar en el espacio vectorial como un 'lugar' en el que los vectores se encuentran libres, no existe concepto de posición como bien has dicho, de manera que los vectores pueden desplazarse de acá para allá siendo un vector \vec{v} el mismo vector en cualquier parte del espacio vectorial.
Sin embargo en el espacio afín, tiendo a pensar que SÍ existe concepto de posición por 'culpa' de los puntos, de manera que, por ejemplo, un subespacio vectorial de dimensión 2 (una recta) se diferenciará en el espacio afín dependiendo del lugar en el que lo fijemos.
Es decir, la recta será diferente si la fijamos en  un punto p, que si la fijamos en un punto q del espacio afín. (Las rectas serán paralelas pero esta vez a diferencia del espacio vectorial en el que dicha recta que sería un subespacio vectorial sería la misma más arriba o más abajo, en este caso dará lugar a dos rectas en posiciones diferentes)
Espero haberme explicado bien, simplemente entiendo que en un espacio afín fijando un punto y tomando un subespacio vectorial desplazado hacia dicho punto tendremos, por ejemplo, por el ejemplo anterior, dos rectas, diferenciadas por su posición. (Es decir, en el espacio afín SÍ existirá concepto de posición).

De manera que en un espacio afín si tenemos un ejercicio en el que, dado un sistema coordenado en el que tenemos una recta r (la cual hemos obtenido fijando un punto p y desplazando hasta p el subespacio W) y una recta l (obtenida fijando un punto q y desplazando hasta q un subespacio W') podremos calcular el punto de corte de dichas rectas (si W\neq{W'}) obteniendo como resultado las coordenadas de dicho punto, es decir su posición exacta.

Si te dan un punto en un plano y un vector en otra parte del plano, transportas el vector hasta que su origen esté en el punto dado y el extremo del vector transportado es la suma. Esto lo puedes hacer sin necesidad de elegir orígenes, bases, o ejes.

Entendido. Si llevase a cabo dicha operación (de manera gráfica, en un folio) en la que dado un punto p y un vector \vec{v} desplazo \vec{v} hasta colocar su origen en p, entonces marcaría el extremo de \vec{v}, llamémoslo q, como el resultado de dicha suma punto mas vector, de manera que no he necesitado más datos, ni ejes ni nada.
Pero si quisiese conocer la posición exacta de la suma p+\vec{v}, es decir, de q, necesitaría de un origen y una base para hallar sus coordenadas (respecto de dicho origen y dicha base), de manera que si se me diese un folio coordenado (con el sistema de referencias que me interesa, con un determinado origen y una determinada base) sabría señalar el punto q sin necesidad de desplazar \vec{v} hasta p. ¿No?

Ahora, cuando fijas un punto p como origen, puedes hacer corresponder a cada punto x el vector \( \vec{px} \) y, recíprocamente, cada vector \( \vec v \) se expresa de forma única como \( \vec v=\vec{px} \), para cierto punto p, luego cada punto queda determinado por un vector (su vector de posición) y viceversa.

(*)Entonces, ¿en un sistema coordenado en el que se ha fijado un punto p y una cierta base, cualquier punto x tendrá como coordenadas las mismas que las de su respectivo vector de posición \vec{px}?

Eso es cierto. Necesitas fijar un punto obligatoriamente para identificar a cada punto de A con un vector de V, pero no es menos cierto que no es  obligatorio fijar ningún punto ni identificar puntos con vectores. Por ejemplo, un subespacio afín de (A, V, f) puede definirse (cambio la definición de antes para adaptarme a tu definición de espacio afín) como una terna (B, W, g) donde B es un subconjunto de A, W es un subespacio de V y g es la restricción de f a \( B\times B \), de modo que el vector asociado a dos puntos de B tiene que ser un vector de W.

Por ejemplo, si piensas en un plano (sin ejes, refrena tu obsesión por pintar ejes), cualquier recta es un subespacio afín, porque los vectores asociados a cada par de puntos de una recta forman un subespacio vectorial.

Esto es justo a lo que me refería al principio. Veo la diferencia entre subespacio vectorial y subespacio afín como...
- W un subespacio vectorial (por ejemplo de dimensión 2, una recta 'móvil').
- r=p+W una recta 'inmóvil' gracias a p.
De manera que si defino la recta s=q+W. Tendré una recta diferente pero paralela a la anterior. (Pero diferente. Porque el fijar un punto hace que exista ya concepto de posición, las cosas con las que trabajamos se fijan).

Las coordenadas de un punto x son por definición las del vector \( \vec{px} \), donde p es el origen que has fijado arbitrariamente.

Creo que esto me responde afirmativamente a (*).
Veo que le he dado vueltas a lo mismo pero variando la pregunta...

Hilando fino, el concepto matemático que recoge la idea geométrica de espacio es el de espacio afín y no el de espacio vectorial, porque éste supone que existe un punto privilegiado (el \( \vec 0 \)) y en el espacio no hay puntos privilegiados.

¿Punto privilegiado porque tiene que estar contendio en todos los subespacios vectoriales de un espacio vectorial?

Cuando fijas un punto como origen, es lo mismo hablar de un punto que de una traslación, porque cada traslación te lleva a un único punto desde el origen prefijado.

Es decir, cuando fijamos un punto p como origen (no una base) nos podremos referir a cualquier punto x del plano afín por su vector \vec{px}, pues 'es lo mismo hablar de un punto que de una traslación' (traslación'='vector). ¿No?

Más o menos, pero sigues "tirando para el monte". En un espacio afín puedes trabajar puntos y vectores sin necesidad de fijar ningún origen y ninguna base. Por ejemplo, puedes definir la recta que pasa por dos puntos distintos p y q como la formada por todos los puntos de la forma

\( p+\lambda \vec{pq} \) con \( \lambda\in \mathbb R \)

y esto es una afirmación que involucra puntos y vectores y que no requiere haber fijado ningún origen ni ninguna base en el espacio afín. Y puedes probar que por dos puntos pasa una única recta, o que dos rectas distintas en un plano se cortan en un punto o son paralelas, y muchas más cosas trabajando con puntos y vectores ni necesidad alguna de fijar un origen y una base. Sin necesidad de tratar con los puntos y los vectores a través de coordenadas.

Tienes mono de coordenadas, pero se puede vivir bastante bien sin ellas. Está bien usarlas cuando conviene, pero no debes depender de ellas hasta el punto de sufrir síndrome de abstinencia.   

 

Dices que se puede probar que por ejemplo dos rectas distintas en un plano se cortan en un punto. Pero para saber en qué punto se cortan habrá que conocer la posición de dichas rectas en el plano afín y para ello será necesario de un sistema coordenado (origen y base), de tal manera que al hacer un sistema de ecuaciones lineales se nos devuelva como resultado las coordenadas del punto de corte.
Si no contásemos con un sistema coordenado entonces, ¿Qué nos devuelve el sistema de ecuaciones? Si las rectas son paralelas entonces sus subespacios vectoriales son iguales. Y si no son iguales los subespacios vectoriales de ambas rectas entonces se cortan en un punto del plano.
¿Sería así de simple la demostración? Pero entonces no sabremos cual es el punto de corte.
Osea, dependiendo de si trabajamos o no con un sistema coordenado la información será más o menos específica.

(Pero para saber el punto de corte exacto será necesaria ademas de una base un punto origen de coordenadas para conocer la posición de los puntos hasta los que se trasladan los subespacios vectoriales para determinar las rectas, ¿no?)

Todo eso es correcto, y lo que no entiendes es sencillo: si tienes un espacio vectorial V, puedes tomar como conjunto de puntos a A = V, y definir la aplicación que a cada par de puntos p y q les asigna el vector \( \vec{pq}=q-p \), lo cual es correcto porque los "puntos" son en realidad vectores y se pueden restar. El resultado es un espacio afín.

Sigo sin entender esto. ¿Como puedes tomar como conjunto de puntos A un espacio vectorial cuyos elementos son vectores?

Todo esto hay que entenderlo en el contexto de \( \mathbb R^n \) como espacio afín. Esto supone olvidarte parcialmente de la estructura de espacio vectorial, es decir, considerar como puntos los elementos de \( \mathbb R^n \) viéndolos a todos por igual, sin distinguir el (0,...,0) de los demás, y luego aparte considerar que el vector asociado a dos puntos es la resta de ambos, considerando ahora sí la estructura vectorial.

Si ahora consideras el conjunto de soluciones de un sistema lineal no necesariamente homogéneo, vemos que éste forma un subespacio afín de \( \mathbb R^n \). Mira el caso de una única ecuación \( x+y=1 \) en el plano. Las soluciones forman un espacio afín porque puedes fijar un espacio vectorial \( W=\{(x, y)\in \mathbb R^2\mid x+y=0\} \) de \( \mathbb R^2 \) de modo que dos soluciones cualesquiera del sistema p y q cumplen que \( \vec{pq}=q-p\in W \). Geométricamente, el conjunto de soluciones es una recta, y las rectas son los subespacios afines de \( \mathbb R^2 \).

Estamos viendo a \( \mathbb R^2 \) como espacio afín y las soluciones de la ecuación son puntos de \( \mathbb R^2 \), un conjunto de puntos de \( \mathbb R^2 \) que forman un subespacio afín (pero no un subespacio vectorial, necesariamente).

Si lo anterior no lo entendí, esto menos...
Creo que si entiendo lo anterior, será más fácil. Lo daré vueltas...

Gracias! Me estás siendo de nuevo de gran ayuda

[Carlos Ivorra]

En primer lugar, reconozco mi enfermiza obsesión por las coordenadas, no se de donde viene

Te viene de que pensar en vectores sin pensar que "son coordenadas" es una forma de abstracción, y nadie nace abstayendo. Es normal.

Tiendo a pensar en el espacio vectorial como un 'lugar' en el que los vectores se encuentran libres, no existe concepto de posición como bien has dicho, de manera que los vectores pueden desplazarse de acá para allá siendo un vector \vec{v} el mismo vector en cualquier parte del espacio vectorial.

Pues yo más bien diría que eso es justamente un espacio afín. Tienes puntos fijos y vectores libres, que puedes dibujarlos en cualquier parte. En cambio, un espacio vectorial tiene el vector cero en un sitio, y ahí se queda para siempre. Y todos los vectores "salen" de ese vector 0. Están fijos.

Sin embargo en el espacio afín, tiendo a pensar que SÍ existe concepto de posición por 'culpa' de los puntos, de manera que, por ejemplo, un subespacio vectorial de dimensión 2 (una recta) se diferenciará en el espacio afín dependiendo del lugar en el que lo fijemos.

Sí, pero son los puntos los que tienen una posición fija. Los vectores son libres. Precisamente porque tienes muchos puntos y puedes hacer que un vector pueda salir de cualquier punto es por lo que los vectores se pueden mover. En un espacio vectorial no tiene sentido hablar de un mismo vector en posiciones distintas, porque no tienes puntos para fijar posiciones. No sé si el decir que las rectas tienen dimensión 2 es un lapsus o es que algo se me escapa.

Es decir, la recta será diferente si la fijamos en  un punto p, que si la fijamos en un punto q del espacio afín. (Las rectas serán paralelas pero esta vez a diferencia del espacio vectorial en el que dicha recta que sería un subespacio vectorial sería la misma más arriba o más abajo, en este caso dará lugar a dos rectas en posiciones diferentes)

Claro, en un espacio afín dos rectas paralelas son dos rectas distintas. No son la misma recta, pero dos vectores paralelos de la misma longitud y sentido son EL MISMO vector. Los vectores son libres, las rectas no. En un espacio vectorial, sencillamente no hay rectas paralelas. Todas las rectas pasan por 0.

Espero haberme explicado bien, simplemente entiendo que en un espacio afín fijando un punto y tomando un subespacio vectorial desplazado hacia dicho punto tendremos, por ejemplo, por el ejemplo anterior, dos rectas, diferenciadas por su posición. (Es decir, en el espacio afín SÍ existirá concepto de posición).

Cierto, pero para puntos, rectas, etc. NO para vectores, pues un mismo vector lo puedes representar en posiciones distintas. En un espacio vectorial no existe el concepto de posición, pero eso no significa que puedas mover los vectores, sino todo lo contrario, que no tienes a dónde moverlos. Todos los vectores "salen del 0".

De manera que en un espacio afín si tenemos un ejercicio en el que, dado un sistema coordenado en el que tenemos una recta r (la cual hemos obtenido fijando un punto p y desplazando hasta p el subespacio W) y una recta l (obtenida fijando un punto q y desplazando hasta q un subespacio W') podremos calcular el punto de corte de dichas rectas (si W\neq{W'}) obteniendo como resultado las coordenadas de dicho punto, es decir su posición exacta.

Luego entro en esto.

Entendido. Si llevase a cabo dicha operación (de manera gráfica, en un folio) en la que dado un punto p y un vector \vec{v} desplazo \vec{v} hasta colocar su origen en p, entonces marcaría el extremo de \vec{v}, llamémoslo q, como el resultado de dicha suma punto mas vector, de manera que no he necesitado más datos, ni ejes ni nada.
Pero si quisiese conocer la posición exacta de la suma p+\vec{v}, es decir, de q, necesitaría de un origen y una base para hallar sus coordenadas (respecto de dicho origen y dicha base), de manera que si se me diese un folio coordenado (con el sistema de referencias que me interesa, con un determinado origen y una determinada base) sabría señalar el punto q sin necesidad de desplazar \vec{v} hasta p. ¿No?

De acuerdo con todo excepto con lo de relacionar coordenadas con posición exacta. Eso es mono. Luego entro en ello.

(*)Entonces, ¿en un sistema coordenado en el que se ha fijado un punto p y una cierta base, cualquier punto x tendrá como coordenadas las mismas que las de su respectivo vector de posición \vec{px}?

Como tú misma observas más abajo, sí.

Esto es justo a lo que me refería al principio. Veo la diferencia entre subespacio vectorial y subespacio afín como...
- W un subespacio vectorial (por ejemplo de dimensión 2, una recta 'móvil').

No. Es una recta fija, porque no tienes puntos a donde moverla. Tiene que pasar por 0 necesariamente.

- r=p+W una recta 'inmóvil' gracias a p.

Sí, esta recta está fija, pero con la diferencia de que puedes considerar otras rectas paralelas a ella, cosa que en un espacio vectorial no tiene sentido. (En realidad sí tiene sentido, pero cuando mueves rectas en un espacio vectorial estás tácitamente considerándolo como espacio afín.)

De manera que si defino la recta s=q+W. Tendré una recta diferente pero paralela a la anterior. (Pero diferente. Porque el fijar un punto hace que exista ya concepto de posición, las cosas con las que trabajamos se fijan).

Claro. En un espacio afín las rectas están fijas, pero puedes moverlas a rectas paralelas. En un espacio vectorial las rectas están fijas porque no puedes moverlas.

Las coordenadas de un punto x son por definición las del vector \( \vec{px} \), donde p es el origen que has fijado arbitrariamente.

Creo que esto me responde afirmativamente a (*).

Sí.

Hilando fino, el concepto matemático que recoge la idea geométrica de espacio es el de espacio afín y no el de espacio vectorial, porque éste supone que existe un punto privilegiado (el \( \vec 0 \)) y en el espacio no hay puntos privilegiados.

¿Punto privilegiado porque tiene que estar contendio en todos los subespacios vectoriales de un espacio vectorial?

Por ejemplo por eso, y más en general, porque puedes distinguirlo de todos los demás por muchas propiedades. Por ejemplo, el 0 es el único vector que cumple 0+0=0. En cambio, todos los puntos de un espacio afín son iguales. No hay ninguno que puedas decir que es distinto de los demás por algún motivo, como el que te acabo de poner como ejemplo para el 0 de un espacio vectorial.

Es decir, cuando fijamos un punto p como origen (no una base) nos podremos referir a cualquier punto x del plano afín por su vector \vec{px}, pues 'es lo mismo hablar de un punto que de una traslación' (traslación'='vector). ¿No?

Sí.

Dices que se puede probar que por ejemplo dos rectas distintas en un plano se cortan en un punto. Pero para saber en qué punto se cortan habrá que conocer la posición de dichas rectas en el plano afín y para ello será necesario de un sistema coordenado (origen y base), de tal manera que al hacer un sistema de ecuaciones lineales se nos devuelva como resultado las coordenadas del punto de corte.
Si no contásemos con un sistema coordenado entonces, ¿Qué nos devuelve el sistema de ecuaciones? Si las rectas son paralelas entonces sus subespacios vectoriales son iguales. Y si no son iguales los subespacios vectoriales de ambas rectas entonces se cortan en un punto del plano.
¿Sería así de simple la demostración? Pero entonces no sabremos cual es el punto de corte.
Osea, dependiendo de si trabajamos o no con un sistema coordenado la información será más o menos específica.

(Pero para saber el punto de corte exacto será necesaria ademas de una base un punto origen de coordenadas para conocer la posición de los puntos hasta los que se trasladan los subespacios vectoriales para determinar las rectas, ¿no?)

Bien, entro ya en lo que he pospuesto ya dos veces. Vamos a ver si realmente hacen falta coordenadas para dar posiciones exactas. Considero el plano afín cuyo conjunto de puntos es

\( A=\{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x+y+z=5\} \).

Así, por ejemplo, \( (1,2,2) \) es un punto, pero \( (1,1,1) \) NO es un punto (de mi plano afín).

El espacio vectorial es \( V=\{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x+y+z=0\} \).

Así, por ejemplo, \( (2,-2,0) \) no es un punto, pero sí que es un vector, mientras que \( (1,1,3) \) es un punto y no un vector, y \( (1,1,1) \) ni es un punto ni es un vector.

La aplicación \( A\times A\longrightarrow V \) es la dada por \( ((x,y,z),(x',y',z'))=(x'-x,y'-y,z'-z) \).

Así tenemos un plano afín. Observa que \( (2,2,1) \) es un punto de A determinado exactamente, pero no tenemos ningunas coordenadas para este punto, porque no hemos fijado ningún origen en A ni ninguna base en V. Desde luego, si te está pasando por la cabeza considerar que sus coordenadas son (2, 2, 1) olvídalo, porque un vector de un plano tiene DOS coordenadas, luego eso no pueden ser coordenadas, ya que son tres números.

Ahora consideremos una recta en A. Por ejemplo, la dada por el punto (2,2,1) y el vector director (1,1,-2). Sus puntos son los de la forma

\( (2,2,1)+\lambda (1,1,-2) \) para todo \( \lambda\in \mathbb R \).

Ahora consideremos otra recta, por ejemplo la formada por los puntos de la forma

\( (1,0,4)+\mu (0,1,-1) \).

Vamos a calcular su intersección. Tiene que ser un punto de la forma

\( (2,2,1)+\lambda (1,1,-2)=(1,0,4)+\mu (0,1,-1) \)

O, equivalentemente \( 2+\lambda = 1 \), \( 2+\lambda =\mu  \), \( 1-2\lambda = 4-\mu \).

La primera ecuación nos da \( \lambda = -1 \), la segunda \( \mu = 1 \), y la tercera ecuación se cumple, como no podría ser de otro modo. Concluimos que la intersección es exactamente \( (2,2,1)-(1,1,-2)=(1,1,3) \).

Ahora te toca meditar: Hemos obtenido exactamente la intersección de dos rectas ¡¡¡¡Sin coordenadaaaaas!!!!   


Ahora vamos a resolver el problema tomando coordenadas.

Seleccionamos como origen de coordenadas un punto cualquiera, por ejemplo (2,2,1), que está en la primera recta, lo cual simplifica las cosas. Y como base de \( V \) tomamos (1,1,-2) y (0,1,-1).

Entonces el punto (2,2,1) tiene coordenadas (0,0), mientras que las coordenadas de (1,0,4) son las que cumplen

\( (1,0,4)=(2,2,1)+\alpha (1,1,-2)+\beta (0,1,-1) \).

Resolviendo sale \( (\alpha,\beta)=(-1,-1) \).

Por lo tanto, la primera recta pasa por el punto de coordenadas (0,0) y vector director (1,0), mientras que la segunda pasa por (-1,-1) y tiene vector director (0,1).

Las coordenadas de los puntos de la primera recta son \( \lambda (1,0) \) y las coordenadas de los puntos de la segunda son \( (-1,-1)+\mu(0,1) \).

Las coordenadas de la intersección son de la forma \( (\lambda, 0)=(-1,-1+\mu) \), luego \( \lambda = -1 \), \( \mu = 1 \). Concluimos que la intersección es el punto de coordenadas (-1,0). ¿Y cuál es exactamente el punto de coordenadas (-1, 0)? Pues \( (2,2,1)-(1,1,-2)+0(0,1,-1) = (1,1,3) \), que es el mismo que habíamos obtenido antes sin considerar coordenadas.   ¡¡Ta chaaaaaaaan!!     

Medita sobre esto.

Sigo sin entender esto. ¿Como puedes tomar como conjunto de puntos A un espacio vectorial cuyos elementos son vectores?

Pues he aquí otra cosa importante que debes asimilar: los puntos y los vectores no llevan marcado en la cara lo que son. En el ejemplo que te he puesto antes (2,2,1) era un punto (pero no un vector) y (2,-2,0) era un vector (pero no un punto). Podría ponerte un ejemplo algo más sofisticado en el que (2,2,1) fuera un vector (pero no un punto) y (2,-2,0) fuera un punto (pero no un vector). Para ello habría que definir operaciones distintas de las de sumar componente a componente.

Los conceptos de punto y vector no son absolutos, sino relativos: cualquier cosa puede ser un punto y cualquier cosa puede ser un vector. Punto es todo lo que cumple las propiedades que la definición de espacio afín pide para los puntos y vector es cualquier cosa que cumpla las propiedades que la definición de espacio afín pide para los vectores.

Entonces, volviendo a tu objeción, si tienes un espacio vectorial V, cuyos objetos pueden ser pares, ternas, funciones, polinomios, elefantes, fichas de dominó, lo que sean, nada te impide definir un espacio afín diciendo "a partir de ahora, lo que eran vectores pasan a ser puntos", aunque también seguirán siendo vectores, y así, en \( \mathbb R^2 \), puedes considerar que \( (1,2) \) hace el papel de punto, y a la vez, hace el papel de vector. Pero son como dos personajes de una película interpretados por el mismo actor. Si son personajes distintos y simplemente es que la película es de bajo presupuesto, a todos los efectos debes considerarlos distintos (para entender bien la película).

Igual que te he puesto un ejemplo en el que ciertas ternas como (2,1,2) eran puntos y otras como (2,-2,0) eran vectores, no hay problema en poner un ejemplo en el que todas las ternas sean puntos y todas las ternas sean vectores, pero en cada momento deberás tener claro si estamos considerando una terna como punto o como vector.

Todo esto hay que entenderlo en el contexto de \( \mathbb R^n \) como espacio afín. Esto supone olvidarte parcialmente de la estructura de espacio vectorial, es decir, considerar como puntos los elementos de \( \mathbb R^n \) viéndolos a todos por igual, sin distinguir el (0,...,0) de los demás, y luego aparte considerar que el vector asociado a dos puntos es la resta de ambos, considerando ahora sí la estructura vectorial.

Si ahora consideras el conjunto de soluciones de un sistema lineal no necesariamente homogéneo, vemos que éste forma un subespacio afín de \( \mathbb R^n \). Mira el caso de una única ecuación \( x+y=1 \) en el plano. Las soluciones forman un espacio afín porque puedes fijar un espacio vectorial \( W=\{(x, y)\in \mathbb R^2\mid x+y=0\} \) de \( \mathbb R^2 \) de modo que dos soluciones cualesquiera del sistema p y q cumplen que \( \vec{pq}=q-p\in W \). Geométricamente, el conjunto de soluciones es una recta, y las rectas son los subespacios afines de \( \mathbb R^2 \).

Estamos viendo a \( \mathbb R^2 \) como espacio afín y las soluciones de la ecuación son puntos de \( \mathbb R^2 \), un conjunto de puntos de \( \mathbb R^2 \) que forman un subespacio afín (pero no un subespacio vectorial, necesariamente).

Si lo anterior no lo entendí, esto menos...
Creo que si entiendo lo anterior, será más fácil. Lo daré vueltas...

Vale, mejor que asimiles primero lo anterior, porque tal vez entonces no necesite escribir un rollo largo para aclarar esto. Si no, lo escribo.

[MatematicaMente]

Buenos días Carlos, siento haberme demorado tanto en responder. He tenido una semana bastante ocupada y a parte he estado meditando bien sobre el tema.
Me he estado releyendo tanto el primer post sobre espacio vectorial como los mensajes de este segundo post, muchas veces. Y creo y espero haber llegado a comprender bien el asunto.
He hecho un breve resumen de lo que en definitiva abarcan mis dos publicaciones, corrígeme si me equivoco, por favor:
Allá vamos:

En cuanto a un espacio vectorial descarto la idea de imaginarme los vectores a su libre albedrío por el espacio. El hecho de llamarse vectores libres me hacía imaginarme equivocadamente, que cada vector podía encontrarse desperdigado por el espacio, mientras que mi idea ahora es que en el espacio vectorial TODOS los vectores 'parten' o 'nacen' del vector cero (que es un punto, ya que es un vector con módulo cero, longitud nula).
Este vector cero es un elemento 'privilegiado' como bien dices, del espacio vectorial, pues tiene una serie de propiedades que lo hacen diferente al resto de vectores, una de ellas, que todos subespacios vectoriales de un espacio vectorial lo contienen.

Como siempre, me apetece hablar un poco de coordenadas:
Para las operaciones con vectores, estas no son necesarias.
Pero si quisiésemos conocer las coordenadas de los vectores de un espacio vectorial simplemente:
1) Elegiríamos un origen de coordenadas que será nuestro vector cero.
2) Elegiríamos los vectores de la base, de la cual dependerán las coordenadas del resto de vectores del espacio vectorial. Dependiendo de la base que se tome, cada vector tendrá unas coordenadas diferentes.
Pero siempre prevalecerán las componentes de los vectores, estas siempre serán las mismas sea cual sea la base que tomemos para describir las coordenadas de los vectores. (Las componentes de un vector no tendrán nada que ver, en definitiva con sus coordenadas).

Podríamos decir que las componentes de un vector van en los 'genes' de cada vector mientras que las coordenadas sería como la ropa que llevan dependiendo del lugar en el que se encuentren.

(La no-diferenciación entre componentes y coordenadas de un vector han sido la causa de la gran mayoría de mis malentendidos. Llamaba coordenadas a ambas cosas sabiendo que eran dos cosas diferentes pero siendo incapaz de encontrar la diferencia, ni el nombre para cada una de ellas. COORDENADAS\( \neq{COMPONENTES} \))

Me sigue gustando la siguiente representación para espacio vectorial:
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Vector_space_illust.svg/220px-Vector_space_illust.svg.png

Pero una representación más fiel sería a mi entender (a estas alturas) un punto, que representaría al vector cero de donde parten los demás vectores, y (en el caso de encontrarnos por ejemplo en un espacio vectorial de dimensión dos), todas las infinitas flechas que existen saliendo de dicho punto, de manera que cubrirían el plano. Generarían el plano.


En cuanto a un espacio afín, y siguiendo utilizando el ejemplo de que nos encontramos en dimensión dos (plano afín), un plano (plano, no plano afín, plano asecas) sería por ejemplo una pared que se extiende hacia el infinito en sus dos direcciones, formada por infinitos puntos, los cuales tienen la misma 'importancia' uno de otro, no se diferencian entre sí por nada en concreto como ocurría en el espacio con el vector nulo.
Lo que ocurre es que a partir de la aplicación +, podemos hacer corresponder un vector determinado a dos puntos del plano afín. Esta pared infinita, junto con la aplicación que relaciona puntos y vectores y el espacio vectorial correspondiente dan lugar al plano afín.

En un plano afín, cuando fijamos un punto p por la aplicación +, obtenemos una biyección tal que a cada punto x del plano le corresponde un vector \( \vec{v} \). Dado que hemos convertido nuestro punto fijo p en el origen (0,...,0) (siendo (0,...,0) las COMPONENTES del punto que coinciden con las COMPONENTES del vector nulo. He aquí la relación entre las componentes de puntos y vectores las cuales son equivalentes al fijar un punto en el plano afín), entonces x=\( \vec{px} \).
(Y NO HEMOS TOMADO UNA BASE NI HEMOS HABLADO DE COORDENADAS!)

Me pregunto si, en el caso de establecer un origen y una base en el plano afín, ocurrirá como con las componentes de puntos y vectores. Es decir, me pregunto si coincidirán COORDENADAS de puntos y sus vectores correspondientes (los que van desde el origen fijado hasta dicho punto).

Pues yo más bien diría que eso es justamente un espacio afín. Tienes puntos fijos y vectores libres, que puedes dibujarlos en cualquier parte. En cambio, un espacio vectorial tiene el vector cero en un sitio, y ahí se queda para siempre. Y todos los vectores "salen" de ese vector 0. Están fijos.

Por lo tanto, cada vez que queramos crear por ejemplo una recta en el plano habrá que fijar un punto p como origen o vector cero para desplazar hasta ahí el subespacio vectorial y así crear la recta. Se fija el punto p como el (0,...,0) ya que todo espacio (subespacio) vectorial 'necesita' de ese vector nulo para existir, para 'nacer' de él.
Por ello me pregunto si podríamos considerar que en un espacio (plano, en este caso) afín se considerarán tantos origenes (o vectores cero) como subespacios afínes (rectas) hemos creado. (Pues para cada recta que creemos en el plano afín habrá que fijar un punto como origen).
 

Sí, pero son los puntos los que tienen una posición fija. Los vectores son libres. Precisamente porque tienes muchos puntos y puedes hacer que un vector pueda salir de cualquier punto es por lo que los vectores se pueden mover. En un espacio vectorial no tiene sentido hablar de un mismo vector en posiciones distintas, porque no tienes puntos para fijar posiciones. No sé si el decir que las rectas tienen dimensión 2 es un lapsus o es que algo se me escapa.

Básicamente, y teniendo en cuenta mi modelo de representación de espacio vectorial adjunto a este mensaje, lo que se haría cada vez que fijemos un punto p para crear una recta en el plano afín desplazando hasta p el subespacio vectorial de turno, será 'coger la imagen del espacio vectorial y centrar su origen o vector cero en p'. Y esto se hará tantas veces como construcciones hagamos, de rectas, planos, etc...
¿no?

De aquí me surge otra pregunta. En el caso de que todo lo que haya escrito sea correcto, habremos fijado tantos orígenes como 'construcciones' hemos hecho, de rectas, etc...
Pero no hay que confundir estos orígenes (que son simplemente vectores nulos, necesarios para desplazar los subespacios vectoriales) con el origen de coordenadas característico de un sistema coordenado (el cual, sólo puede existir uno).
En el caso de que queramos tener un plano coordenado lo que haremos será fijar, independientemente de todo el trabajo elaborado en nuestro espacio afín, de rectas, etc..., un punto y una base, de manera que  tendríamos unos ejes de coordenadas que se intersecarán en el origen de coordenadas elegido.
Dependiendo de la base que tomemos (no del origen de coordenadas), las coordenadas de los vectores que podamos tomar en cualquier parte del plano (en el cual hemos creador rectas, por ejemplo) quedarán determinadas por dicha base, 'transportando' cualquier vector, por ejemplo de una recta (recta=p+W, vector=\( \vec{px} \))al origen de coordenadas.
¿Las componentes de un vector y sus coordenadas en base canónica son iguales? Si esto es afirmativo, entonces esta será la principal (o única) conexión entre las componentes y las coordenadas de un vector.
Si conociésemos entonces las componentes de un vector, y quisiésemos saber cuales son sus coordenadas en una determinada base, dado que las componentes y sus coordenadas en base canónica son iguales, simplemente haríamos la matriz cambio de base, considerando dichas componentes como coordenadas en base canónica, no siendo necesaria ninguna transformación de componentes a base canónica. ¿no?

También añado que, por todo lo anterior, en cualquier momento se puede cambiar el origen de coordenadas y la base por otros diferentes y seguir teniendo el mismo espacio afín.
Podríamos verlo de la siguiente manera.
Tengo una pared infinita en la cual dibujo rectas (infinitas) unas paralelas, otras que se cortan.
Por otra parte cojo varios papeles vegetales infinitos (semitransparentes) y les dibujo a cada uno unos ejes coordenados diferentes, (con un origen y una base diferentes).
Encima de mi pared superpongo los papeles vegetales infinitos.
Lo único que variarán serán las coordenadas de cualquier vector que pueda tomar de mi pared infinita, cualquier vector sacado de mis rectas (por cierto, cualquier vector que escoja de una determinada recta que cree, deberá siempre partir del punto p fijado para crear dicha recta, ¿no?) lo colocare con su origen en el origen de coordenadas y así hallaré sus coordenadas.
Pero ponga el papel vegetal que ponga, el dibujo de mi pared infinita (es decir mi plano afín) será siiiiiempre el mismo.

En un espacio vectorial no existe el concepto de posición, pero eso no significa que puedas mover los vectores, sino todo lo contrario, que no tienes a dónde moverlos. Todos los vectores "salen del 0".

Dicho vector 0 será el punto p fijado en cada caso para crear un subespacio afín, ¿no?

(Ya lo he preguntado antes, pero por si acaso )

De acuerdo con todo excepto con lo de relacionar coordenadas con posición exacta. Eso es mono. Luego entro en ello.

Llegados hasta este punto, ahora relaciono las COMPONENTES con la posición, en vez de las coordenadas con la posición. ¿También me equivoco?


(¡A ver si ahora me he creado una adicción a las componentes en vez de a las coordenadas!)

(*)Entonces, ¿en un sistema coordenado en el que se ha fijado un punto p y una cierta base, cualquier punto x tendrá como coordenadas las mismas que las de su respectivo vector de posición \vec{px}?

Y además sus componentes quedarán fijas independientemente del sistema de coordenadas con el que trabajemos. ¿no?

Bien, entro ya en lo que he pospuesto ya dos veces. Vamos a ver si realmente hacen falta coordenadas para dar posiciones exactas. Considero el plano afín cuyo conjunto de puntos es

\( A=\{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x+y+z=5\} \).

Así, por ejemplo, \( (1,2,2) \) es un punto, pero \( (1,1,1) \) NO es un punto (de mi plano afín).

El espacio vectorial es \( V=\{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x+y+z=0\} \).

Así, por ejemplo, \( (2,-2,0) \) no es un punto, pero sí que es un vector, mientras que \( (1,1,3) \) es un punto y no un vector, y \( (1,1,1) \) ni es un punto ni es un vector.

La aplicación \( A\times A\longrightarrow V \) es la dada por \( ((x,y,z),(x',y',z'))=(x'-x,y'-y,z'-z) \).

Así tenemos un plano afín. Observa que \( (2,2,1) \) es un punto de A determinado exactamente, pero no tenemos ningunas coordenadas para este punto, porque no hemos fijado ningún origen en A ni ninguna base en V. Desde luego, si te está pasando por la cabeza considerar que sus coordenadas son (2, 2, 1) olvídalo, porque un vector de un plano tiene DOS coordenadas, luego eso no pueden ser coordenadas, ya que son tres números.

No entiendo por qué las componentes de un vector del plano pueden tener tres números. ¿Esto es porque situamos el punto en un espacio afín de dimensión tres, pero estamos considerando un subespacio afín de dimensión dos (un plano afín dentro de un espacio afín)?
Si la respuesta es afirmativa, entonces las componentes tanto de un vector como de un punto no nos informarán sobre la dimensión del espacio afín al que pertenecen, simplemente nos informarán de la dimensión del espacio vectorial que se ha tenido en cuenta (pues podemos considerar un vector de un espacio vectorial de dimensión tres y querer trabajar simplemente sobre un subespacio vectorial de dimensión dos generado por dicho vector).

Sería como encontrarnos en una habitación (dimensión tres) con sus paredes infinitas, y considerar o trabajar simplemente con un plano de esa habitación. (Por ejemplo, con una pared), de manera que los elementos con los que trabajamos tendrán tres componentes (pero dos coordenadas).

Ahora vamos a resolver el problema tomando coordenadas.

Seleccionamos como origen de coordenadas un punto cualquiera, por ejemplo (2,2,1), que está en la primera recta, lo cual simplifica las cosas. Y como base de \( V \) tomamos (1,1,-2) y (0,1,-1).

Vaya, aquí me has desmontado. ¿Cómo sabes cual es el punto (2,2,1), para ello tendrás que saber cual es el (0,0,0)?
¿Cuando miramos hacia un plano afín vemos entonces los puntos definidos por sus componentes, o las componentes se les otorgan más tarde?...En el caso de que cada punto lleve consigo sus componentes, ¿con que criterios se les han otorgado dichas componentes?


El resto prefiero dejarlo para más tarde, una vez aclarado todo lo anterior.

Gracias!

[Carlos Ivorra]

Buenos días Carlos, siento haberme demorado tanto en responder. He tenido una semana bastante ocupada y a parte he estado meditando bien sobre el tema.

Tranquila. Más ocupado estoy yo.

Me he estado releyendo tanto el primer post sobre espacio vectorial como los mensajes de este segundo post, muchas veces. Y creo y espero haber llegado a comprender bien el asunto.

Vas bien.

En cuanto a un espacio vectorial descarto la idea de imaginarme los vectores a su libre albedrío por el espacio. El hecho de llamarse vectores libres me hacía imaginarme equivocadamente, que cada vector podía encontrarse desperdigado por el espacio, mientras que mi idea ahora es que en el espacio vectorial TODOS los vectores 'parten' o 'nacen' del vector cero (que es un punto, ya que es un vector con módulo cero, longitud nula).

La idea de que los vectores libres están desperdigados por el espacio es correcta, pero sólo tiene sentido cuando piensas en un espacio afín. En un espacio afín puedes distinguir entre vectores fijos (pares ordenados de puntos, que no forman un espacio vectorial) y vectores libres (clases de equivalencia de vectores o, más llanamente, vectores que puedes dibujar en cualquier punto del espacio como origen) que forman un espacio vectorial. Pero si sólo piensas en los vectores libres sin tener en cuenta el conjunto de puntos, entonces no tiene sentido decir que puedes moverlos de un punto a otro.

Este vector cero es un elemento 'privilegiado' como bien dices, del espacio vectorial, pues tiene una serie de propiedades que lo hacen diferente al resto de vectores, una de ellas, que todos subespacios vectoriales de un espacio vectorial lo contienen.

Correcto.

Como siempre, me apetece hablar un poco de coordenadas:

Voy preparando la metadona, pues. 

Para las operaciones con vectores, estas no son necesarias.
Pero si quisiésemos conocer las coordenadas de los vectores de un espacio vectorial simplemente:
1) Elegiríamos un origen de coordenadas que será nuestro vector cero.
2) Elegiríamos los vectores de la base, de la cual dependerán las coordenadas del resto de vectores del espacio vectorial. Dependiendo de la base que se tome, cada vector tendrá unas coordenadas diferentes.
Pero siempre prevalecerán las componentes de los vectores, estas siempre serán las mismas sea cual sea la base que tomemos para describir las coordenadas de los vectores. (Las componentes de un vector no tendrán nada que ver, en definitiva con sus coordenadas).

Esta idea es buena, pero hay que matizarla. Ahora empiezas a distinguir entre componentes y coordenadas, y todo lo que dices es correcto, salvo un ligero matiz: y es que un vector no tiene por qué tener componentes (pero cuando los vectores tienen componentes, entonces es como dices). Me explico:

El término "componentes" se aplica, en principio, a los elementos de conjuntos como \( \mathbb R^2, \mathbb R^3 \), etc. Un elemento de \( \mathbb R^3 \) es una terna \( (x, y, z) \) con tres componentes, que coinciden con sus tres coordenadas respecto de la base canónica de \( \mathbb R^3 \). Sin embargo, puedes considerar otras bases y sus coordenadas ya no tendrán nada (o poco) que ver con las componentes.

Más aún, si consideramos el ejemplo de plano afín que te puse en mi otro mensaje, sus puntos eran algunos de los elementos de \( \mathbb R^3 \), luego cada punto estaba determinado por tres componentes igualmente, y lo mismo valía para los vectores. Sobre ese ejemplo, todo lo que dices es correcto.

El matiz es que casi cualquier cosa puede ser un elemento de un espacio vectorial o de un espacio afín, sin necesidad de que sean n-tuplas determinadas por n componentes. Pero eso ya es subir un buen peldaño en el proceso de abstracción, y no sé si es buen momento para hacerlo.

Ejemplo raro

Llama \( C^1(\mathbb R^2) \) al conjunto de todas las funciones \( f:\mathbb R^2\longrightarrow \mathbb R \) de clase \( C^1 \), es decir, que admiten derivadas parciales continuas. Llama V al conjunto de todas las aplicaciones \( v:C^1(\mathbb R^2)\longrightarrow \mathbb R \) que cumplen:

• \( v(\alpha f+\beta g)=\alpha v(f)+\beta v(g) \)
• \( v(fg)=v(f)g(0,0)+f(0,0)v(g) \)

Puede probarse que forman un espacio vectorial de dimensión 2, y que una base la forman las funciones
\(
v_1(f)=\left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,0)},\qquad v_2(f)=\left.\dfrac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,0)}
 \)

¿Cuáles son aquí las componentes de \( v_1 \)? El concepto no tiene sentido. Tienes vectores, puedes fijar bases y considerar coordenadas respecto a las bases que fijes, pero no hay componentes.

[cerrar]

Podríamos decir que las componentes de un vector van en los 'genes' de cada vector mientras que las coordenadas sería como la ropa que llevan dependiendo del lugar en el que se encuentren.

No exactamente. Admitiendo que tenemos componentes, en efecto, son sus genes, pero las coordenadas no dependen del lugar donde esté el vector, sino del color del cristal de las gafas con que lo miras. Para cambiar de coordenadas no tienes que mover el vector, sino cambiar tus gafas por otras de otro color. (No tienes que mover el vector, sino cambiar el origen del sistema de referencia o la base considerada, pero el vector no cambia de sitio. De hecho, es que un vector libre no tiene un sitio fijo.)

(La no-diferenciación entre componentes y coordenadas de un vector han sido la causa de la gran mayoría de mis malentendidos. Llamaba coordenadas a ambas cosas sabiendo que eran dos cosas diferentes pero siendo incapaz de encontrar la diferencia, ni el nombre para cada una de ellas. COORDENADAS\( \neq{COMPONENTES} \))

Correcto. Un poco más en general, se trataba de diferenciar lo que es el vector en sí, como objeto matemático (que si es una terna es lo mismo que considerar sus componentes) de lo que son sus coordenadas en una base dada.

Me sigue gustando la siguiente representación para espacio vectorial:
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Vector_space_illust.svg/220px-Vector_space_illust.svg.png

Nada que objetar.

Pero una representación más fiel sería a mi entender (a estas alturas) un punto, que representaría al vector cero de donde parten los demás vectores, y (en el caso de encontrarnos por ejemplo en un espacio vectorial de dimensión dos), todas las infinitas flechas que existen saliendo de dicho punto, de manera que cubrirían el plano. Generarían el plano.

Bueno, yo diría que la figura que citas ilustra precisamente eso.

En cuanto a un espacio afín, y siguiendo utilizando el ejemplo de que nos encontramos en dimensión dos (plano afín), un plano (plano, no plano afín, plano asecas) sería por ejemplo una pared que se extiende hacia el infinito en sus dos direcciones, formada por infinitos puntos, los cuales tienen la misma 'importancia' uno de otro, no se diferencian entre sí por nada en concreto como ocurría en el espacio con el vector nulo.
Lo que ocurre es que a partir de la aplicación +, podemos hacer corresponder un vector determinado a dos puntos del plano afín. Esta pared infinita, junto con la aplicación que relaciona puntos y vectores y el espacio vectorial correspondiente dan lugar al plano afín.

De acuerdo. Sólo un matiz muy puntilloso: cuando dice que un plano es como una pared, ya estás dando por hecho que es más que un mero conjunto de puntos, como pudiera ser una nube de polvo, donde cada punto va a la suya sin relación con los demás, sino que son puntos "dispuestos" en forma de plano, y la geometría implícita que hace que un plano sea un plano y no un conjunto de puntos sin relación entre sí es la geometría afín, de modo que al añadir los vectores libres no estás realmente incorporando nada nuevo, sino explicitando la geometría del plano, sin introducir nada arbitrario, como un sistema de referencia que ya no depende del plano, sino de tu capricho de elegir tal o cual punto como origen y tal o cual base.

En un plano afín, cuando fijamos un punto p por la aplicación +, obtenemos una biyección tal que a cada punto x del plano le corresponde un vector \( \vec{v} \). Dado que hemos convertido nuestro punto fijo p en el origen (0,...,0) (siendo (0,...,0) las COMPONENTES del punto que coinciden con las COMPONENTES del vector nulo. He aquí la relación entre las componentes de puntos y vectores las cuales son equivalentes al fijar un punto en el plano afín), entonces x=\( \vec{px} \).
(Y NO HEMOS TOMADO UNA BASE NI HEMOS HABLADO DE COORDENADAS!)

¡No! aquí te has descarriado. En mi ejemplo yo tomé un sistema de coordenadas cuyo origen tenía obviamente coordenadas (0,0), pero sus componentes no eran (0,0), ni siquiera, (0, 0, 0), sino (2,2,1). Éstas son las componentes del origen, y no coinciden con las componentes del vector nulo, que eran (0, 0, 0).

Me pregunto si, en el caso de establecer un origen y una base en el plano afín, ocurrirá como con las componentes de puntos y vectores. Es decir, me pregunto si coincidirán COORDENADAS de puntos y sus vectores correspondientes (los que van desde el origen fijado hasta dicho punto).

Como te decía, los puntos de un espacio afín no necesitan ser n-tuplas, luego no tienen por qué tener componentes, pero si las tienen (como en el ejemplo que te puse en el mensaje anterior) no tiene por qué haber ninguna relación. Por ejemplo, el punto de componentes (1,0,4) se correspondía, respecto del origen elegido, con el vector de componentes (-1,-2,3), cuyas coordenadas (tanto del punto como del vector) eran (-1,-1).

Por lo tanto, cada vez que queramos crear por ejemplo una recta en el plano habrá que fijar un punto p como origen o vector cero para desplazar hasta ahí el subespacio vectorial y así crear la recta. Se fija el punto p como el (0,...,0) ya que todo espacio (subespacio) vectorial 'necesita' de ese vector nulo para existir, para 'nacer' de él.

Aquí ya me pierdo. Ante todo (y sin entrar en filosofías) no es buena idea que pienses en crear rectas. La geometría, tal y como se concibe en la matemática moderna, se piensa mejor en términos platónicos: un plano afín tiene de salida las rectas que tiene, y tú no creas ninguna. Te limitas a determinarlas con puntos y vectores.

Resulta muy artificial que digas que para determinar una recta en el plano afín tienes que fijar un vector cero y no sé qué más.

Una recta afín queda determinada si fijas un punto \( p \) y un vector director \( \vec v \), y entonces los puntos de la recta son los de la forma \( p+\lambda \vec v \), cuando \( \lambda \) varía en los números reales. Ahí no te inventas ningún vector 0 ni nada parecido.

Por ello me pregunto si podríamos considerar que en un espacio (plano, en este caso) afín se considerarán tantos origenes (o vectores cero) como subespacios afínes (rectas) hemos creado. (Pues para cada recta que creemos en el plano afín habrá que fijar un punto como origen).

Aquí sí que ya necesitas un litro de café, por lo menos.    Una recta es un cierto conjunto de puntos, y no tienes que fijar ningún origen en ella. Es verdad que puedes determinarla por un punto y un vector, y entonces puedes tomar un sistema de referencia de la recta tomando ese punto como origen, pero también puedes no hacerlo. Por otro lado, vector 0 sólo hay uno y nada más que uno (en un plano afín prefijado) lo mires como lo mires. Fijar un origen y una base te determina un sistema de referencia de plano, pero no necesitas fijar ningún origen para describir una recta. Puedes describir cualquier recta sin fijar ningún origen en el espacio o incluso puedes describir TODAS las rectas mediante las coordenadas de sus puntos respecto de UN MISMO sistema de referencia en el plano, con el mismo origen invariable (teniendo en cuenta que la recta puede pasar por el origen o no).

Básicamente, y teniendo en cuenta mi modelo de representación de espacio vectorial adjunto a este mensaje, lo que se haría cada vez que fijemos un punto p para crear una recta en el plano afín desplazando hasta p el subespacio vectorial de turno, será 'coger la imagen del espacio vectorial y centrar su origen o vector cero en p'. Y esto se hará tantas veces como construcciones hagamos, de rectas, planos, etc...
¿no?

No es buena idea pensarlo así. No es cierto que traslades subespacios vectoriales. Eso presupone que los espacios vectoriales están en algún lugar del plano, y no es así. Cuando fijas un origen de coordenadas, automáticamente puedes localizar a todos los vectores haciendo que salgan de ese punto, pero eso depende de tu elección caprichosa del origen. Sin embargo, sin fijar ningún origen de coordenadas, tú puedes describir una recta del plano fijando uno de sus puntos y un vector director. Pero no puedes decir que para obtener esa recta has trasladado nada. ¿Dónde se supone que estaba tu subespacio vecgtorial antes de trasladarlo? Si no fijas un origen (y no necesitas hacerlo para describir una recta), tu subespacio vectorial no estaba en ninguna parte del plano en particular. Aquí te vuelve a traicionar tu mono de coordenadas.

De aquí me surge otra pregunta. En el caso de que todo lo que haya escrito sea correcto, habremos fijado tantos orígenes como 'construcciones' hemos hecho, de rectas, etc...
Pero no hay que confundir estos orígenes (que son simplemente vectores nulos, necesarios para desplazar los subespacios vectoriales) con el origen de coordenadas característico de un sistema coordenado (el cual, sólo puede existir uno).

Esto son disparates, hasta la última frase donde recuperas la cordura. Nada de orígenes ni de vectores nulos. Una recta está determinada por un punto (que no es origen de nada) y un vector no nulo. La palabra "origen" sólo tiene sentido en relación a un sistema de referencia, y, como bien dices al final, una vez fijado un sistema coordenado, sólo hay un origen (igual que sólo hay un vector nulo, tanto antes como después de fijar un sistema coordenado, y que es siempre el mismo), y puedes describir todas las rectas respecto de dicho sistema coordenado. Los orígenes y vectores nulos que ves te los hace ver tu mono.

En el caso de que queramos tener un plano coordenado lo que haremos será fijar, independientemente de todo el trabajo elaborado en nuestro espacio afín, de rectas, etc...,

¡Es que no hay ningún trabajo! Las rectas están ahí y no hay que hacer ningún trabajo, ni trasladar nada para ello.

un punto y una base, de manera que  tendríamos unos ejes de coordenadas que se intersecarán en el origen de coordenadas elegido.
Dependiendo de la base que tomemos (no del origen de coordenadas), las coordenadas de los vectores que podamos tomar en cualquier parte del plano (en el cual hemos creador rectas, por ejemplo) quedarán determinadas por dicha base, 'transportando' cualquier vector, por ejemplo de una recta (recta=p+W, vector=\( \vec{px} \))al origen de coordenadas.

Aquí no te sigo bien, pero no me gusta mucho cómo suena lo que dices.

¿Las componentes de un vector y sus coordenadas en base canónica son iguales?[/color] Si esto es afirmativo, entonces esta será la principal (o única) conexión entre las componentes y las coordenadas de un vector.

Aquí tocas un punto importantísimo, y deberías meditar sobre esto, hasta estar segura de que tienes bien clara la idea siguiente: en un espacio vectorial:

¡¡¡¡¡no tiene por qué haber ninguna base canónica!!!!

Un ejemplo es el que te puse en mi mensaje anterior. ¿Cúal es la base canónica del espacio V?

\( V=\{(x, y, z)\in \R^3\mid x+y+z=0\} \).

El espacio V ¡¡¡no tiene base canónica!!!  Por eso hay muchos contextos en los que, al trabajar con espacios vectoriales, es importante no hacer referencia a ninguna base en particular, porque a veces no hay ninguna base especialmente simple que podamos tomar como canónica. Lo que razones en \( \mathbb R^n \) prescindiendo de que este espacio tiene una base canónica será válido en cualquier otro espacio vectorial de dimensión n, pero si usas de forma destacada la base canónica, entonces ya no tienes garantías de que puedas hacer lo mismo en cualquier otro espacio (salvo que tu uso de la base canónica sea gratuito y prescindible).

Por ejemplo, en \( \mathbb R^n \) puedes definir la orientación positiva como la orientación de la base canónica, pero no es cierto que en un espacio vectorial cualquiera puedas definir de ningún modo una orientación positiva. Simplemente tienes bases con una orientación y bases con la orientación opuesta, pero nada te permite decir cuáles son las positivas y cuáles las negativas.

Si conociésemos entonces las componentes de un vector, y quisiésemos saber cuales son sus coordenadas en una determinada base, dado que las componentes y sus coordenadas en base canónica son iguales, simplemente haríamos la matriz cambio de base, considerando dichas componentes como coordenadas en base canónica, no siendo necesaria ninguna transformación de componentes a base canónica. ¿no?

La matriz de cambio de base está definida para dos bases cualesquiera, y no importa para nada si hay o no hay bases canónicas. En el ejemplo del mensaje anterior consideré la base de V dada por (1,1,-2) y (0,1,-1). Sería un buen ejercicio que consideres cualquier otra base (que seguro que no será canónica, porque no hay) y calcules la matriz de cambio de base, que será 2 x 2.

También añado que, por todo lo anterior, en cualquier momento se puede cambiar el origen de coordenadas y la base por otros diferentes y seguir teniendo el mismo espacio afín.

Cierto.

Podríamos verlo de la siguiente manera.
Tengo una pared infinita en la cual dibujo rectas (infinitas) unas paralelas, otras que se cortan.
Por otra parte cojo varios papeles vegetales infinitos (semitransparentes) y les dibujo a cada uno unos ejes coordenados diferentes, (con un origen y una base diferentes).
Encima de mi pared superpongo los papeles vegetales infinitos.
Lo único que variarán serán las coordenadas de cualquier vector que pueda tomar de mi pared infinita, cualquier vector sacado de mis rectas

Esto te ha quedado muy bien. Sólo lo estropea la última frase. Los vectores están ahí. Cada vez que dibujas una flecha en tu pared tienes un vector. No necesitas sacarlos de ninguna recta.

(por cierto, cualquier vector que escoja de una determinada recta que cree, deberá siempre partir del punto p fijado para crear dicha recta, ¿no?) lo colocare con su origen en el origen de coordenadas y así hallaré sus coordenadas.

Tu creacionismo suena tan mal como el que enseñan en algunas universidades estadounidenses. Una recta en \( \mathbb R^2 \) está formada por los puntos que cumplen \( x+3y=5 \). Si tomas dos puntos que cumplan esa ecuación y los restas tienes un vector de esa recta. ¿Cuál sería ahí el punto p fijado para crear esa recta? La recta es la que es, y puedes obtenerla a partir de cualquiera de sus puntos y cualquiera de sus vectores. Si tú fijas un punto y un vector y construyes la recta que determinan, y yo fijo otro punto y otro vector del mismo plano, puede ocurrir que tu recta sea la misma que la mía, aunque los puntos y vectores sean distintos. Entonces ¿quién ha creado la recta, tú o yo? ¿Quién puede reclamar su propiedad? ¿Nos vamos a pelear por ella? ¡No!. La recta no es ni tuya ni mía, porque ni la has construido tú ni la he construido yo. Simplemente estaba ahí y tú te has fijado en uno de sus puntos y uno de sus vectores y yo me he fijado en otro de sus puntos y otro de sus vectores.

Pero ponga el papel vegetal que ponga, el dibujo de mi pared infinita (es decir mi plano afín) será siiiiiempre el mismo.

Correcto, y sus rectas serán siiiiiempre las mismas, sin que puedas preguntarles cuál es el punto y cuál es el vector con el que han sido construidas. Esa pregunta no tiene sentido. Si cuando ves una recta quieres pintarle un punto y una flechita encima, puedes hacerlo, pero eso tienes que ponerlo en tu papel vegetal, y no en la pared, porque son elecciones arbitrarias, al igual que los orígenes y las bases, pero la recta puedes pintarla en la pared, porque está ahí independientemente de lo que tú pintes o construyas o traslades.

En un espacio vectorial no existe el concepto de posición, pero eso no significa que puedas mover los vectores, sino todo lo contrario, que no tienes a dónde moverlos. Todos los vectores "salen del 0".

Dicho vector 0 será el punto p fijado en cada caso para crear un subespacio afín, ¿no?

¡¡No!! El vector 0 es un concepto abstracto. Es la traslación consistente en no moverte. Es tan abstracto como el número 0 entendido como el número que sirve para contar cuando no tienes nada que contar. Puedes dibujarlo en cualquier punto del plano como una flecha que sale y llega al mismo punto. Pero eso no significa que haya muchos vectores 0, sino que el mismo vector 0 (como cualquier otro vector) lo puedes dibujar en cualquier parte, porque es libre.

Y no fijas ningún punto para crear un subespacio afín. Una recta puede describirse a partir de cualquiera de sus puntos y cualquiera de sus vectores no nulos. Pero por el hecho de fijar un punto y un vector no puedes agenciarte el mérito de haber creado la recta, o te las verás conmigo si quieres quitarme la recta que yo construí con otro punto y otro vector y que ha resultado ser la misma.

Llegados hasta este punto, ahora relaciono las COMPONENTES con la posición, en vez de las coordenadas con la posición. ¿También me equivoco?

No, no te equivocas. Si un punto está determinado por unas componentes, entonces cada elección de componentes te determina un punto del espacio, es decir, una posición en el espacio, pero los puntos de un espacio afín no tienen por qué tener componentes.

(¡A ver si ahora me he creado una adicción a las componentes en vez de a las coordenadas!)

Pues un poco de eso sí que hay...   

(*)Entonces, ¿en un sistema coordenado en el que se ha fijado un punto p y una cierta base, cualquier punto x tendrá como coordenadas las mismas que las de su respectivo vector de posición \vec{px}?

Y además sus componentes quedarán fijas independientemente del sistema de coordenadas con el que trabajemos. ¿no?

Sí (supuesto que haya componentes), en el ejemplo del mensaje anterior el punto de componentes (2, 2, 1) tiene siempre esas componentes independientemente de cualquier sistema de referencia que quieras fijar.

No entiendo por qué las componentes de un vector del plano pueden tener tres números. ¿Esto es porque situamos el punto en un espacio afín de dimensión tres, pero estamos considerando un subespacio afín de dimensión dos (un plano afín dentro de un espacio afín)?

Sí, pero eso es secundario. Para fijar un plano afín has de fijar un conjunto de puntos, y dichos puntos pueden estar determinados por números (tres en el ejemplo del mensaje anterior) o de otra forma. Por ejemplo, en el ejemplo raro que te he puesto en el spoiler los puntos eran ciertas funciones definidas sobre funciones y no estaban definidas por números (o componentes) de ningún tipo, sino por un par de propiedades que debían cumplir.

Si la respuesta es afirmativa, entonces las componentes tanto de un vector como de un punto no nos informarán sobre la dimensión del espacio afín al que pertenecen, simplemente nos informarán de la dimensión del espacio vectorial que se ha tenido en cuenta (pues podemos considerar un vector de un espacio vectorial de dimensión tres y querer trabajar simplemente sobre un subespacio vectorial de dimensión dos generado por dicho vector).

Cierto, pero no es necesario que los números necesarios para determinar un punto (si es que un punto se determina mediante números) sean componentes de un vector en un espacio mayor. Cuando es así, es como dices.

[spoiler Ejemplo más raro aún]
Considera una biyección \( f:\mathbb R^+\longrightarrow \mathbb R^2 \). Defino un plano afín de esta manera: los puntos del espacio afín son los números reales positivos \( A=\mathbb R^+ \). Así, un punto es 3, otro punto es 18, etc. (pero -5 no es un punto). Defino como vectores los elementos de \( V=\mathbb R^2 \), y defino el vector asociado a dos puntos \( x, y \) como \( f(x)-f(y) \).

Eso te da un plano afín cuyos puntos tienen una componente, pero es un plano, de dimensión 2.
[/spoiler]

Sería como encontrarnos en una habitación (dimensión tres) con sus paredes infinitas, y considerar o trabajar simplemente con un plano de esa habitación. (Por ejemplo, con una pared), de manera que los elementos con los que trabajamos tendrán tres componentes (pero dos coordenadas).

Correcto, has entendido perfectamente lo que pasa en el ejemplo que te puse. Lo que te digo ahora es que la situación puede ser más general: un punto de un plano puede ser CUALQUIER COSA, determinado por uno, dos tres o 18 números, o por ninguno, como en el primer spoiler. Y dichos números no tienen por qué ser componentes de puntos de ningún espacio afín o vectorial. Por ejemplo, en el último spoiler los puntos eran elementos de \( \mathbb R^+ \), que no es un espacio vectorial o un espacio afín en ningún sentido natural (pero sí que es un plano afín con mi definición).

Vaya, aquí me has desmontado. ¿Cómo sabes cual es el punto (2,2,1), para ello tendrás que saber cual es el (0,0,0)?

¿Qué significa saber cuál es el punto (2, 2,1)? Mis puntos son las ternas cuyas componentes suman 5. Aquí tienes una terna cuyas componentes suman 5. El punto (2,2,1) es el punto (2, 2, 1), ni más ni menos. Si te digo que 2+3=5, ¿me preguntarías cómo sé cuánto es 2? ¿Me dirías que para saber cuánto es 2 tendría que saber cuánto es 0?

¿Cuando miramos hacia un plano afín vemos entonces los puntos definidos por sus componentes, o las componentes se les otorgan más tarde?...En el caso de que cada punto lleve consigo sus componentes, ¿con que criterios se les han otorgado dichas componentes?

Un plano geométrico no tiene componentes ni coordenadas ni nada. Tiene puntos y vectores. Que los puntos de un plano afín puedan ser descritos en términos de componentes es algo que puede pasar, y que puede no pasar. Si miras un punto de una pared ¿qué componentes le encuentras? ¡Ninguna!

Pero es que el ejemplo del mensaje anterior no tiene por puntos los puntos de una pared, sino las ternas de números cuyas componentes suman 5. No hay nada que asignar. Cuando digo que (2, 2, 1) es un punto no he asignado nada a nada. Simplemente, éste es uno de los puntos de mi plano por definición.

El resto prefiero dejarlo para más tarde, una vez aclarado todo lo anterior.

Vale.

[MatematicaMente]

¿Llegará el día en que entienda todo esto?
Buenas noches Carlos.

La idea de que los vectores libres están desperdigados por el espacio es correcta, pero sólo tiene sentido cuando piensas en un espacio afín.

Exactamente. Es decir, como cada par de puntos del plano determinan un vector, sí que tiene sentido pensar que están desperdigados pero en el espacio afín (formado por puntos).

En un espacio afín puedes distinguir entre vectores fijos (pares ordenados de puntos, que no forman un espacio vectorial) y vectores libres (clases de equivalencia de vectores o, más llanamente, vectores que puedes dibujar en cualquier punto del espacio como origen) que forman un espacio vectorial. Pero si sólo piensas en los vectores libres sin tener en cuenta el conjunto de puntos, entonces no tiene sentido decir que puedes moverlos de un punto a otro.

Osea, que un vector fijo sería cualquier vector que podamos determinar en el plano, por ejemplo tomamos p y q como origen y extremo del vector y \( \vec{pq} \) será nuestro vector fijo. (Supongo que se le llama fijo porque esta fijo, valga la redundancia, en p y q). Por lo tanto en un plano afín podemos tener tantos vectores fijos como deseemos simplemente seleccionando dos puntos como origen y extremo de dicho vector.

Y los vectores libres serían los representantes de cada clase de equivalencia formadas, cada una de ellas, por el conjunto de todos los tipos de vectores que hay (sin tener en cuenta un determinado origen y un determinado extremo).
Por lo tanto cada vector fijo tendrá un representante en su clase de equivalencia, el vector libre. Y el conjunto de todos los vectores libres (todos los representantes de todas las clases de equivalencia) darán lugar a un espacio vectorial siempre y cuando se coloquen 'naciendo' del vector nulo.
¿No?

Para las operaciones con vectores, estas no son necesarias.
Pero si quisiésemos conocer las coordenadas de los vectores de un espacio vectorial simplemente:
1) Elegiríamos un origen de coordenadas que será nuestro vector cero.

Que en el caso de tu ejemplo, en el que considerabas como conjunto de puntos una 3-tupla de números, elegiste el (2,2,1).
(Tenía la maldita idea en la cabeza que los puntos de \( \mathbb R^3 \) por ejemplo, se describían con 3 componentes. Ya he asimilado lo que me dijiste de que un punto (mejor dicho, a lo que nos referimos por punto) puede ser cualquier cosa, al igual que un vector.
Tengo la manía de querer imaginármelo todo, y veo que voy a tener que olvidarme de eso...pues hay veces que no es posible.

2) Elegiríamos los vectores de la base, de la cual dependerán las coordenadas del resto de vectores del espacio vectorial. Dependiendo de la base que se tome, cada vector tendrá unas coordenadas diferentes.
Pero siempre prevalecerán las componentes de los vectores, estas siempre serán las mismas sea cual sea la base que tomemos para describir las coordenadas de los vectores. (Las componentes de un vector no tendrán nada que ver, en definitiva con sus coordenadas).

Esta idea es buena, pero hay que matizarla. Ahora empiezas a distinguir entre componentes y coordenadas, y todo lo que dices es correcto, salvo un ligero matiz: y es que un vector no tiene por qué tener componentes (pero cuando los vectores tienen componentes, entonces es como dices). Me explico:

He estado dando por hecho que tanto puntos como vectores tienen componentes porque en todos mis ejercicios aparecen así. Pero gracias por aclararme que no siempre tiene por qué ser así, por si alguna vez me encuentro algo sin componentes y se me viene el mundo encima!

El término "componentes" se aplica, en principio, a los elementos de conjuntos como \( \mathbb R^2, \mathbb R^3 \), etc. Un elemento de \( \mathbb R^3 \) es una terna \( (x, y, z) \) con tres componentes, que coinciden con sus tres coordenadas respecto de la base canónica de \( \mathbb R^3 \).

En clase cuando el profesor se refiere a \( \mathbb R^n \) nos hace entender que \( \mathbb R^n \) es sinónimo de vector en el espacio vectorial de dimensión n, para un n específico.
¿Por qué?

Más aún, si consideramos el ejemplo de plano afín que te puse en mi otro mensaje, sus puntos eran algunos de los elementos de \( \mathbb R^3 \), luego cada punto estaba determinado por tres componentes igualmente, y lo mismo valía para los vectores. Sobre ese ejemplo, todo lo que dices es correcto.

Lo único que hará variar el número de elementos en la tupla serán las coordenadas. Si estamos en \( \mathbb R^3 \) trabajando con puntos y vectores, si queremos conocer sus coordenadas en un espacio vectorial de dimensión 2, la tupla pasará a tener 2 elementos.

El matiz es que casi cualquier cosa puede ser un elemento de un espacio vectorial o de un espacio afín, sin necesidad de que sean n-tuplas determinadas por n componentes. Pero eso ya es subir un buen peldaño en el proceso de abstracción, y no sé si es buen momento para hacerlo.

Pero me lo guardo para que no haya sorpresas más adelante.

Podríamos decir que las componentes de un vector van en los 'genes' de cada vector mientras que las coordenadas sería como la ropa que llevan dependiendo del lugar en el que se encuentren.

No exactamente. Admitiendo que tenemos componentes, en efecto, son sus genes, pero las coordenadas no dependen del lugar donde esté el vector, sino del color del cristal de las gafas con que lo miras. Para cambiar de coordenadas no tienes que mover el vector, sino cambiar tus gafas por otras de otro color. (No tienes que mover el vector, sino cambiar el origen del sistema de referencia o la base considerada, pero el vector no cambia de sitio. De hecho, es que un vector libre no tiene un sitio fijo.)

Justamente eso mismo quería expresar, ha sido un mal ejemplo el del lugar, porque da la sensación de querer decir 'posición', y ya he entendido que la posición la determinan las componentes.

En cuanto a un espacio afín, y siguiendo utilizando el ejemplo de que nos encontramos en dimensión dos (plano afín), un plano (plano, no plano afín, plano asecas) sería por ejemplo una pared que se extiende hacia el infinito en sus dos direcciones, formada por infinitos puntos, los cuales tienen la misma 'importancia' uno de otro, no se diferencian entre sí por nada en concreto como ocurría en el espacio con el vector nulo.
Lo que ocurre es que a partir de la aplicación +, podemos hacer corresponder un vector determinado a dos puntos del plano afín. Esta pared infinita, junto con la aplicación que relaciona puntos y vectores y el espacio vectorial correspondiente dan lugar al plano afín.

De acuerdo. Sólo un matiz muy puntilloso: cuando dice que un plano es como una pared, ya estás dando por hecho que es más que un mero conjunto de puntos, como pudiera ser una nube de polvo, donde cada punto va a la suya sin relación con los demás, sino que son puntos "dispuestos" en forma de plano, y la geometría implícita que hace que un plano sea un plano y no un conjunto de puntos sin relación entre sí es la geometría afín, de modo que al añadir los vectores libres no estás realmente incorporando nada nuevo, sino explicitando la geometría del plano, sin introducir nada arbitrario, como un sistema de referencia que ya no depende del plano, sino de tu capricho de elegir tal o cual punto como origen y tal o cual base.

Interesante observación, gracias!
Es decir, lo que hace disponerse a los puntos en el plano son los vectores fijos que podemos encontrar por cada par de puntos elegidos haya donde vayamos en el plano. Dichos vectores fijos serán 'copias' de los vectores libres o representantes de todas las clases de equivalencia de un espacio vectorial de dimensión dos.

En un plano afín, cuando fijamos un punto p por la aplicación +, obtenemos una biyección tal que a cada punto x del plano le corresponde un vector \( \vec{v} \). Dado que hemos convertido nuestro punto fijo p en el origen (0,...,0) (siendo (0,...,0) las COMPONENTES del punto que coinciden con las COMPONENTES del vector nulo. He aquí la relación entre las componentes de puntos y vectores las cuales son equivalentes al fijar un punto en el plano afín), entonces x=\( \vec{px} \).
(Y NO HEMOS TOMADO UNA BASE NI HEMOS HABLADO DE COORDENADAS!)

¡No! aquí te has descarriado. En mi ejemplo yo tomé un sistema de coordenadas cuyo origen tenía obviamente coordenadas (0,0), pero sus componentes no eran (0,0), ni siquiera, (0, 0, 0), sino (2,2,1). Éstas son las componentes del origen, y no coinciden con las componentes del vector nulo, que eran (0, 0, 0).

Me hago cargo, releyéndolo me doy cuenta que me estaba haciendo un lio a medida que escribía.
Veamos, como me dices más adelante, no creamos una recta en un plano afín, la recta ya está hay, podemos ver infinitas de hecho, formadas por infinitos puntos. Pero dado que no podemos definir una recta el el plano afín simplemente con un subespacio vectorial (ya que podríamos colocar dicho subespacio donde quisiésemos teniendo rectas paralelas) simplemente tendremos que fijar un punto allá donde queramos fijar el subespacio. Pero dará igual cual punto elegir de los infinitos que hay, seguirá siendo correcto.
Hubiese tenido más sentido decir que aquél punto que fijamos para 'trasladar' el subespacio vectorial lo convertimos en el vector nulo (dado que todo subespacio vectorial 'nace' de un vector nulo, por eso) pero el concepto de vector nulo podría decirse que es, como dijiste en uno de los mensajes, la clase de todos los puntos del espacio (plano) afín. Entonces volvemos a lo mismo, podremos elegir entonces cualquier punto como vector nulo.

Me pregunto si, en el caso de establecer un origen y una base en el plano afín, ocurrirá como con las componentes de puntos y vectores. Es decir, me pregunto si coincidirán COORDENADAS de puntos y sus vectores correspondientes (los que van desde el origen fijado hasta dicho punto).

Como te decía, los puntos de un espacio afín no necesitan ser n-tuplas, luego no tienen por qué tener componentes, pero si las tienen (como en el ejemplo que te puse en el mensaje anterior) no tiene por qué haber ninguna relación. Por ejemplo, el punto de componentes (1,0,4) se correspondía, respecto del origen elegido, con el vector de componentes (-1,-2,3), cuyas coordenadas (tanto del punto como del vector) eran (-1,-1).

Ya lo entiendo.
Lo que coincidirá serán las componentes de los puntos en \( \mathbb R^n \) con sus coordenadas en base canónica (en el caso de existir) en \( \mathbb R^n \), para un n dado. ¿no?

Por lo tanto, cada vez que queramos crear por ejemplo una recta en el plano habrá que fijar un punto p como origen o vector cero para desplazar hasta ahí el subespacio vectorial y así crear la recta. Se fija el punto p como el (0,...,0) ya que todo espacio (subespacio) vectorial 'necesita' de ese vector nulo para existir, para 'nacer' de él.

Aquí ya me pierdo. Ante todo (y sin entrar en filosofías) no es buena idea que pienses en crear rectas. La geometría, tal y como se concibe en la matemática moderna, se piensa mejor en términos platónicos: un plano afín tiene de salida las rectas que tiene, y tú no creas ninguna. Te limitas a determinarlas con puntos y vectores.

Resulta muy artificial que digas que para determinar una recta en el plano afín tienes que fijar un vector cero y no sé qué más.

Una recta afín queda determinada si fijas un punto \( p \) y un vector director \( \vec v \), y entonces los puntos de la recta son los de la forma \( p+\lambda \vec v \), cuando \( \lambda \) varía en los números reales. Ahí no te inventas ningún vector 0 ni nada parecido.

Para mi también ha perdido el sentido. Olvidado.

Por ello me pregunto si podríamos considerar que en un espacio (plano, en este caso) afín se considerarán tantos origenes (o vectores cero) como subespacios afínes (rectas) hemos creado. (Pues para cada recta que creemos en el plano afín habrá que fijar un punto como origen).

Dios santo...esto es peor aún.

Básicamente, y teniendo en cuenta mi modelo de representación de espacio vectorial adjunto a este mensaje, lo que se haría cada vez que fijemos un punto p para crear una recta en el plano afín desplazando hasta p el subespacio vectorial de turno, será 'coger la imagen del espacio vectorial y centrar su origen o vector cero en p'. Y esto se hará tantas veces como construcciones hagamos, de rectas, planos, etc...
¿no?

No es buena idea pensarlo así. No es cierto que traslades subespacios vectoriales. Eso presupone que los espacios vectoriales están en algún lugar del plano, y no es así.

Sí, es que pensaba justamente eso, tenía la idea de que el espacio vectorial se encontraba en el plano, exactamente me imaginaba un espacio vectorial centrado en cada punto, tomando cada punto entonces como vector nulo. Vamos, todo lleno de espacios vectoriales, una locura! 
Llega un momento en que uno no sabe que imaginarse ya...
Ahora me imagino el espacio vectorial como el dibujo de siempre que adjunte en el anterior mensaje. Y por otro lado me imagino al plano afín, entendiendo que los puntos que lo forman están dispuestos en el plano gracias a los vectores fijos que podemos localizar allá donde queramos elegir dos pares de puntos.

'Hemos hecho infinitas copias de los vectores libres que dan lugar al espacio vectorial y dichos 'vectores copia' los hemos ido pegando por cada dos puntos que se correspondían con sus orígenes y extremos'
(Es decir, en mi imagen-modelo de espacio vectorial, los vectores que vemos son lo que llamamos vectores libres, ¿no?)
De esta manera, podemos fijar un origen de coordenadas (0,...,0) y una base cualquiera de manera que lo que haríamos será trasladar el espacio vectorial (la imagen) hasta el plano, fijándola en nuestro punto elegido como origen de coordenadas. Y a partir de ahí, a darle coordenadas a todo lo que nos encontremos!

Cuando fijas un origen de coordenadas, automáticamente puedes localizar a todos los vectores haciendo que salgan de ese punto, pero eso depende de tu elección caprichosa del origen.

Entonces, dado que todos los vectores, si fijo un origen de coordenadas, pueden ser localizados haciendo que salgan del origen, no tendría sentido hablar de un vector fijo cualquiera que no tenga origen en (0,...,0), pues no 'nace' en el origen de coordenadas.
Sin embargo para eso están los dos tipos de vectores, los libres y los fijos, pues los libres son los representantes de cualquier vector fijo del plano, de manera que todo vector fijo tendrá su representante con origen en el origen de coordenadas. Y dado que son los mismos, ...ya está.
¿no?
Sin embargo, sin fijar ningún origen de coordenadas, tú puedes describir una recta del plano fijando uno de sus puntos y un vector director. Pero no puedes decir que para obtener esa recta has trasladado nada. ¿Dónde se supone que estaba tu subespacio vecgtorial antes de trasladarlo? Si no fijas un origen (y no necesitas hacerlo para describir una recta), tu subespacio vectorial no estaba en ninguna parte del plano en particular. Aquí te vuelve a traicionar tu mono de coordenadas.

Para entender esto me es muy útil pensar en la idea anterior en color rojo.
Por un lado me confunde el hecho de pensar que todo espacio vectorial (incluidos sus subespacios vectoriales) 'nacen' de un vector nulo que será nuestro origen de coordenadas, (el cual no es necesario para trabajar con el plano afín, lo se  ). Por lo tanto, cada vez que aparece un ejemplo e el que utilizamos un subespacio vectorial como por ejemplo, la descripción de una recta (a través de un punto y subespacio vectorial), mi mente me obliga a pensar que tengo que fijar un origen, un vector nulo. Por lo tanto llego a la locura de pensar que habrá tantos orígenes como rectas...es decir, una burrada de idea.
Pero al introducirme (más bien recordarme y obligarme a repasar) el concepto de vectores libres y vectores fijos, consigo entender el por qué mi idea era tan loca.
No nos hacen falta fijar ochocientos orígenes de coordenadas gracias a que contamos con vectores que pueden desplazarse hasta nuestro punto p. Es decir, vectores libres. Y dado que un vector será el generador de nuestra recta, es por lo que se dice que el subespacio se traslada hasta p, cuando es el vector libre (generador de nuestro subespacio) el que lo hace.

De aquí me surge otra pregunta. En el caso de que todo lo que haya escrito sea correcto, habremos fijado tantos orígenes como 'construcciones' hemos hecho, de rectas, etc...
Pero no hay que confundir estos orígenes (que son simplemente vectores nulos, necesarios para desplazar los subespacios vectoriales) con el origen de coordenadas característico de un sistema coordenado (el cual, sólo puede existir uno).

No quiero ni leerlo porque me lía más.

un punto y una base, de manera que  tendríamos unos ejes de coordenadas que se intersecarán en el origen de coordenadas elegido.
Dependiendo de la base que tomemos (no del origen de coordenadas), las coordenadas de los vectores que podamos tomar en cualquier parte del plano (en el cual hemos creador rectas, por ejemplo) quedarán determinadas por dicha base, 'transportando' cualquier vector, por ejemplo de una recta (recta=p+W, vector=\( \vec{px} \))al origen de coordenadas.

Aquí no te sigo bien, pero no me gusta mucho cómo suena lo que dices.

He dejado de entenderme a estas alturas del mensaje.

¿Las componentes de un vector y sus coordenadas en base canónica son iguales?[/color] Si esto es afirmativo, entonces esta será la principal (o única) conexión entre las componentes y las coordenadas de un vector.

Aquí tocas un punto importantísimo, y deberías meditar sobre esto, hasta estar segura de que tienes bien clara la idea siguiente: en un espacio vectorial:

¡¡¡¡¡no tiene por qué haber ninguna base canónica!!!!

Un ejemplo es el que te puse en mi mensaje anterior. ¿Cúal es la base canónica del espacio V?

\( V=\{(x, y, z)\in \R^3\mid x+y+z=0\} \).

El espacio V ¡¡¡no tiene base canónica!!!  Por eso hay muchos contextos en los que, al trabajar con espacios vectoriales, es importante no hacer referencia a ninguna base en particular, porque a veces no hay ninguna base especialmente simple que podamos tomar como canónica.
Lo que razones en \( \mathbb R^n \) prescindiendo de que este espacio tiene una base canónica será válido en cualquier otro espacio vectorial de dimensión n, pero si usas de forma destacada la base canónica, entonces ya no tienes garantías de que puedas hacer lo mismo en cualquier otro espacio (salvo que tu uso de la base canónica sea gratuito y prescindible).

Por eso en la mayor parte de los ejercicios trabajamos con las componentes de puntos y vectores. (Dado que además, las bases no cambiarán ni manipularán nuestro plano, por lo que no será tan 'útil' trabajar con coordenadas)
La idea sería que las componentes son imperturbables en cualquier situación en la que nos expongamos. Pero las coordenadas implican establecer una base y esto ya haría temblar los cimientos en algunas situaciones incompatibles.

Si conociésemos entonces las componentes de un vector, y quisiésemos saber cuales son sus coordenadas en una determinada base, dado que las componentes y sus coordenadas en base canónica son iguales, simplemente haríamos la matriz cambio de base, considerando dichas componentes como coordenadas en base canónica, no siendo necesaria ninguna transformación de componentes a base canónica. ¿no?

La matriz de cambio de base está definida para dos bases cualesquiera, y no importa para nada si hay o no hay bases canónicas. En el ejemplo del mensaje anterior consideré la base de V dada por (1,1,-2) y (0,1,-1). Sería un buen ejercicio que consideres cualquier otra base (que seguro que no será canónica, porque no hay) y calcules la matriz de cambio de base, que será 2 x 2.

Creo que no me he hecho entender o que no me has entendido bien. Me refería que si tengo un ejercicio en el que sólo me dan las componentes de un vector, por ejemplo, y me preguntan que cuales son sus coordenadas una base B dada. Dado que las componentes de un vector y sus coordenadas en base canónica (en el caso de poder utilizar la base canónica en el ejercicio, de que tenga sentido) son iguales, no nos haría falta hallar las coordenadas del vector en base canónica y después aplicar la matriz cambio de base de Bc a B. Simplemente multiplicaríamos por la matriz cambio de base, directamente, que en este caso será la matriz formada por los vectores de la base B.

(por cierto, cualquier vector que escoja de una determinada recta que cree, deberá siempre partir del punto p fijado para crear dicha recta, ¿no?) lo colocare con su origen en el origen de coordenadas y así hallaré sus coordenadas[/s].

Tu creacionismo suena tan mal como el que enseñan en algunas universidades estadounidenses. Una recta en \( \mathbb R^2 \) está formada por los puntos que cumplen \( x+3y=5 \). Si tomas dos puntos que cumplan esa ecuación y los restas tienes un vector de esa recta. ¿Cuál sería ahí el punto p fijado para crear esa recta? La recta es la que es, y puedes obtenerla a partir de cualquiera de sus puntos y cualquiera de sus vectores. Si tú fijas un punto y un vector y construyes la recta que determinan, y yo fijo otro punto y otro vector del mismo plano, puede ocurrir que tu recta sea la misma que la mía, aunque los puntos y vectores sean distintos. Entonces ¿quién ha creado la recta, tú o yo? ¿Quién puede reclamar su propiedad? ¿Nos vamos a pelear por ella? ¡No!. La recta no es ni tuya ni mía, porque ni la has construido tú ni la he construido yo. Simplemente estaba ahí y tú te has fijado en uno de sus puntos y uno de sus vectores y yo me he fijado en otro de sus puntos y otro de sus vectores.

Totalmente de acuerdo, no ha tenido ningún sentido. Ya voy viendo la luz, o eso espero...
 

En un espacio vectorial no existe el concepto de posición, pero eso no significa que puedas mover los vectores, sino todo lo contrario, que no tienes a dónde moverlos. Todos los vectores "salen del 0".

Dicho vector 0 será el punto p fijado en cada caso para crear un subespacio afín, ¿no?

¡¡No!! El vector 0 es un concepto abstracto. Es la traslación consistente en no moverte. Es tan abstracto como el número 0 entendido como el número que sirve para contar cuando no tienes nada que contar. Puedes dibujarlo en cualquier punto del plano como una flecha que sale y llega al mismo punto. Pero eso no significa que haya muchos vectores 0, sino que el mismo vector 0 (como cualquier otro vector) lo puedes dibujar en cualquier parte, porque es libre.

Y como todos los vectores del espacio vectorial, el vector nulo, ¡Que solo hay uno! existirá como vector fijo en el plano afín tantas veces como queramos (de hecho, tantos puntos como hay en el plano afín, al ser el vector que va de p a p, siendo p cualquier punto del plano afín) y es por eso que fijamos un punto p como vector nulo para 'trasladar' el subespacio vectorial hasta él (pues todo subespacio 'nace' del vector nulo)  y crear describir así una recta.

Un plano geométrico no tiene componentes ni coordenadas ni nada. Tiene puntos y vectores. Que los puntos de un plano afín puedan ser descritos en términos de componentes es algo que puede pasar, y que puede no pasar. Si miras un punto de una pared ¿qué componentes le encuentras? ¡Ninguna!

Pero es que el ejemplo del mensaje anterior no tiene por puntos los puntos de una pared, sino las ternas de números cuyas componentes suman 5. No hay nada que asignar. Cuando digo que (2, 2, 1) es un punto no he asignado nada a nada. Simplemente, éste es uno de los puntos de mi plano por definición.

Entendido.

No te he hecho referencia a los ejemplos de los spoilers que me has hecho porque me liaban un poco, prefiero entender esto con ejemplos más sencillos y luego ir complicándome la vida, si es posible, más aún!

Espero que la cosa este mejorando por momentos porque me da la sensación de que voy a volverme loca

Muchas gracias!