¿Llegará el día en que entienda todo esto?
Te estás haciendo preguntas que la mayoría de la gente no se hace. Lo cual no es malo en absoluto, al contrario, pero no es que sea especialmente complicado, sino que tú quieres llegar muy a fondo, e insisto, eso está bien, y no vas mal, creo.
Buenas noches Carlos.
No muy buenas, según las noticias que llegan de París.
No te he hecho referencia a los ejemplos de los spoilers que me has hecho porque me liaban un poco, prefiero entender esto con ejemplos más sencillos y luego ir complicándome la vida, si es posible, más aún!
Me parece muy bien, pero me ayudaría bastante saber qué estás estudiando, para tratar de ajustarme a tu nivel.
Osea, que un vector fijo sería cualquier vector que podamos determinar en el plano, por ejemplo tomamos p y q como origen y extremo del vector y \( \vec{pq} \) será nuestro vector fijo. (Supongo que se le llama fijo porque esta fijo, valga la redundancia, en p y q). Por lo tanto en un plano afín podemos tener tantos vectores fijos como deseemos simplemente seleccionando dos puntos como origen y extremo de dicho vector.
Y los vectores libres serían los representantes de cada clase de equivalencia formadas, cada una de ellas, por el conjunto de todos los tipos de vectores que hay (sin tener en cuenta un determinado origen y un determinado extremo).
Por lo tanto cada vector fijo tendrá un representante en su clase de equivalencia, el vector libre. Y el conjunto de todos los vectores libres (todos los representantes de todas las clases de equivalencia) darán lugar a un espacio vectorial siempre y cuando se coloquen 'naciendo' del vector nulo.
¿No?
Sí.
(Tenía la maldita idea en la cabeza que los puntos de \( \mathbb R^3 \) por ejemplo, se describían con 3 componentes.
Pero eso es verdad. A ver si te voy a hacer dudar de lo que no deberías.
Ya he asimilado lo que me dijiste de que un punto (mejor dicho, a lo que nos referimos por punto) puede ser cualquier cosa, al igual que un vector.
Sí, pero cuando tomas como puntos los elementos de \( \mathbb R^3 \) lo cierto es que cada punto es una terna determinada por tres componentes. Eso no quita para que otros puntos de otros espacios vectoriales o afines no sean en sí mismos n-tuplas.
Tengo la manía de querer imaginármelo todo, y veo que voy a tener que olvidarme de eso...pues hay veces que no es posible.
No creo que tengas que olvidarte de eso. Sólo es cuestión de educar la imaginación.
He estado dando por hecho que tanto puntos como vectores tienen componentes porque en todos mis ejercicios aparecen así. Pero gracias por aclararme que no siempre tiene por qué ser así, por si alguna vez me encuentro algo sin componentes y se me viene el mundo encima!
Eso quiere decir que trabajas únicamente con subespacios de \( \mathbb R^n \), lo cual es un contexto bastante razonable. Por citar un ejemplo ligeramente más general, pero no mucho: considera todos los polinomios de grado \( \leq 2 \). Forman un espacio vectorial de dimensión 3. Uno de ellos sería, por ejemplo, \( 3+5x+2x^2 \). ¿Dirías que sus "componentes" son (3, 5, 2)? No sería descabellado entenderlo así, pero si no habías considerado un caso así, quizá eso amplíe tu concepto de "componentes".
En clase cuando el profesor se refiere a \( \mathbb R^n \) nos hace entender que \( \mathbb R^n \) es sinónimo de vector en el espacio vectorial de dimensión n, para un n específico.
¿Por qué?
Bueno, ahí habría que matizar lo de
el espacio vectorial de dimensión n. El ejemplo de hace dos mensajes era un ejemplo bastante natural (en el sentido de que puede aparecer naturalmente en muchos contextos) de espacio vectorial de dimensión 2 que no es \( \mathbb R^2 \). Otra cosa es que sea "isomorfo" a \( \mathbb R^2 \). En general todo espacio vectorial (sobre \( \mathbb R \)) de dimensión n es isomorfo a \( \mathbb R^n \), lo cual significa (
grosso modo) que todas las propiedades expresables en el lenguaje de los espacios vectoriales que valgan para \( \mathbb R^n \) valen en realidad para todos los espacios vectoriales de dimensión n, pero eso hay que tomarlo con cuidado. Por ejemplo, un espacio de dimensión n no tiene por qué tener una base canónica, y \( \mathbb R^n \) la tiene.
Lo único que hará variar el número de elementos en la tupla serán las coordenadas. Si estamos en \( \mathbb R^3 \) trabajando con puntos y vectores, si queremos conocer sus coordenadas en un espacio vectorial de dimensión 2, la tupla pasará a tener 2 elementos.
Pero no hay ninguna variación. Es como si dices que si pasas de mirar tus dedos a mirar tus orejas hay una variación de número, pero nada varía: simplemente tus dedos son una cosa y hay 10 y tus orejas son otra y hay 2. Las componentes de un vector de \( \mathbb R^3 \) visto como elemento de un subespacio de dimensión 2 son una cosa, y sus coordenadas respecto de una base de dicho subespacio son otra cosa.
Es decir, lo que hace disponerse a los puntos en el plano son los vectores fijos que podemos encontrar por cada par de puntos elegidos haya donde vayamos en el plano. Dichos vectores fijos serán 'copias' de los vectores libres o representantes de todas las clases de equivalencia de un espacio vectorial de dimensión dos.
Son los vectores fijos y el hecho de que puedan agruparse en clases de equivalencia que forman vectores libres con estructura de espacio vectorial (es decir, sumables y multiplicables por números).
Veamos, como me dices más adelante, no creamos una recta en un plano afín, la recta ya está hay, podemos ver infinitas de hecho, formadas por infinitos puntos. Pero dado que no podemos definir una recta el el plano afín simplemente con un subespacio vectorial (ya que podríamos colocar dicho subespacio donde quisiésemos teniendo rectas paralelas) simplemente tendremos que fijar un punto allá donde queramos fijar el subespacio. Pero dará igual cual punto elegir de los infinitos que hay, seguirá siendo correcto.
Hubiese tenido más sentido decir que aquél punto que fijamos para 'trasladar' el subespacio vectorial lo convertimos en el vector nulo (dado que todo subespacio vectorial 'nace' de un vector nulo, por eso) pero el concepto de vector nulo podría decirse que es, como dijiste en uno de los mensajes, la clase de todos los puntos del espacio (plano) afín. Entonces volvemos a lo mismo, podremos elegir entonces cualquier punto como vector nulo.
Sí, podemos dar esto por bueno, pero me sigue pareciendo forzada tu insistencia en ver un vector nulo en cada punto. En realidad esto es cierto, pero creo que le das un valor que no tiene, y eso deforma tu imagen de todo esto. Una recta está determinada por un punto p y un subespacio W, pero distorsionas el asunto al querer ver todos los vectores de W saliendo de p. Si tomas dos puntos cualesquiera de la recta, incluso aunque ninguno de ellos sea p, la flecha que los une es un vector de W. Parece que estás olvidando que en el plano afín los vectores son libres y ya no están obligados a salir todos del mismo punto.
La imagen esa que te gusta de los espacios vectoriales es adecuada para representar los vectores en abstracto, fuera de cualquier plano afín, pero cuando los representas en un plano afín se te desperdigan, y ya no puedes insistir en que salgan todos del mismo punto. Todas las flechas sobre una misma recta son vectores de su espacio director, entendiendo que dos que no partan del mismo punto pero tengan el mismo sentido y la misma longitud son el mismo vector pintado en dos sitios diferentes. Tu empeño en pintarlos todos desde el mismo punto te obliga a elegir un punto, y eso es una distorsión del concepto de recta afín, en la que no hay ningún punto privilegiado.
Lo que coincidirá serán las componentes de los puntos en \( \mathbb R^n \) con sus coordenadas en base canónica (en el caso de existir) en \( \mathbb R^n \), para un n dado. ¿no?
No digas "base canónica en caso de existir". Si estás hablando de \( \mathbb R^n \), entonces tienes una base canónica. No es un supuesto, pero el espacio V de hace dos mensajes, que era un subespacio de \( \mathbb R^3 \) (pero no todo \( \mathbb R^3 \)) no tiene base canónica.
Llega un momento en que uno no sabe que imaginarse ya...
Imagina un plano afín como una pared "tangible" y sus vectores asociados como abstracciones que viven en un "mundo de las ideas abstractas" que puedes representar desperdigados a conveniencia por la pared, de modo que dos vectores dibujados en sitios distintos pueden ser "el mismo vector". No te obstines en ver todos los vectores libres partiendo de un mismo punto, porque hay que tener presente que un vector libre puede salir a la vez de cualquier punto que prefieras, y no hay razones para sujetarlos en un punto.
Piensa que un vector \( \vec v \) no es más que una traslación, es decir, un conjunto de instrucciones para moverte de un punto arbitrario \( p \) a otro \( p+\vec v \). Una traslación es algo abstracto, aunque la puedes dibujar como una flecha puesta donde quieras. La pongas donde la pongas (si la desplazas paralelamente a sí misma) representará siempre la misma traslación. Sólo cuando piensas en el espacio de todas las traslaciones en abstracto, o cuando has fijado un origen en el plano, es razonable pensar en tu foto favorita, pero ten presente que lo segundo depende de una elección arbitraria (lo primero no).
Ahora me imagino el espacio vectorial como el dibujo de siempre que adjunte en el anterior mensaje. Y por otro lado me imagino al plano afín, entendiendo que los puntos que lo forman están dispuestos en el plano gracias a los vectores fijos que podemos localizar allá donde queramos elegir dos pares de puntos.
'Hemos hecho infinitas copias de los vectores libres que dan lugar al espacio vectorial y dichos 'vectores copia' los hemos ido pegando por cada dos puntos que se correspondían con sus orígenes y extremos'
(Es decir, en mi imagen-modelo de espacio vectorial, los vectores que vemos son lo que llamamos vectores libres, ¿no?)
De esta manera, podemos fijar un origen de coordenadas (0,...,0) y una base cualquiera de manera que lo que haríamos será trasladar el espacio vectorial (la imagen) hasta el plano, fijándola en nuestro punto elegido como origen de coordenadas. Y a partir de ahí, a darle coordenadas a todo lo que nos encontremos!
De acuerdo salvo un detalle: no trasladamos el espacio vectorial, sino que "lo materializamos". Trasladar supone moverlo de una parte del plano a otra, y no es eso. Los vectores libres viven deslocalizados, y cuando fijas un origen puedes reunirlos a todos ahí, pero no vienen de ningún lugar del plano en particular.
Entonces, dado que todos los vectores, si fijo un origen de coordenadas, pueden ser localizados haciendo que salgan del origen, no tendría sentido hablar de un vector fijo cualquiera que no tenga origen en (0,...,0), pues no 'nace' en el origen de coordenadas.
Todo lo contrario. Un vector fijo puede partir de cualquier punto y acabar en cualquier punto, y no lo puedes mover. Si lo mueves, pasas a otro vector fijo distinto. Son los vectores libres los que, dado que eres libre de dibujarlos aquí o allá, puedes dibujarlos todos, si quieres, partiendo de un origen común, pero siendo consciente de que ahí has hecho una elección arbitraria. La alternativa es considerarlos como saliendo de un origen común (el vector 0), pero no visto como un punto del plano, sino como un origen abstracto de un espacio vectorial abstracto, sin relación con ningún punto del plano en particular.
Sin embargo para eso están los dos tipos de vectores, los libres y los fijos, pues los libres son los representantes de cualquier vector fijo del plano, de manera que todo vector fijo tendrá su representante con origen en el origen de coordenadas. Y dado que son los mismos, ...ya está.
¿no?[/color]
¿Por qué inviertes los conceptos? Todo vector libre es una clase de vectores fijos, y tiene un representante (fijo) en el origen de coordenadas, si es que has fijado uno.
Por un lado me confunde el hecho de pensar que todo espacio vectorial (incluidos sus subespacios vectoriales) 'nacen' de un vector nulo que será nuestro origen de coordenadas, (el cual no es necesario para trabajar con el plano afín, lo se 
). Por lo tanto, cada vez que aparece un ejemplo e el que utilizamos un subespacio vectorial como por ejemplo, la descripción de una recta (a través de un punto y subespacio vectorial), mi mente me obliga a pensar que tengo que fijar un origen, un vector nulo. Por lo tanto llego a la locura de pensar que habrá tantos orígenes como rectas...es decir, una burrada de idea.
Pero al introducirme (más bien recordarme y obligarme a repasar) el concepto de vectores libres y vectores fijos, consigo entender el por qué mi idea era tan loca.
Cuando piensas en un espacio vectorial en abstracto, los vectores salen todos del 0, pero cuando los siembras en un espacio afín, se te desperdigan y multiplican (un mismo vector te aparece en infinitos sitios), y para agruparlos de nuevo tienes que fijar un origen de coordenadas, pero no hay necesidad de hacer tal cosa. No necesitas agruparlos.
No nos hacen falta fijar ochocientos orígenes de coordenadas gracias a que contamos con vectores que pueden desplazarse hasta nuestro punto p. Es decir, vectores libres. Y dado que un vector será el generador de nuestra recta, es por lo que se dice que el subespacio se traslada hasta p, cuando es el vector libre (generador de nuestro subespacio) el que lo hace.
Insisto en rechazar el verbo "trasladar", pues supone que antes de trasladarlo estaba en otra parte del plano, y no es así.
Por eso en la mayor parte de los ejercicios trabajamos con las componentes de puntos y vectores. (Dado que además, las bases no cambiarán ni manipularán nuestro plano, por lo que no será tan 'útil' trabajar con coordenadas)
La idea sería que las componentes son imperturbables en cualquier situación en la que nos expongamos. Pero las coordenadas implican establecer una base y esto ya haría temblar los cimientos en algunas situaciones incompatibles.
Ojo, si has pasado de necesitar las coordenadas como el aire que respiras a verlas con malos ojos por "mudables", no es buena idea. Una de las características más importantes de los espacios vectoriales es que, fijando una base (o un sistema de referencia origen + base en el caso de un espacio afín) es que todo vector (respectivamente, todo punto) queda completamente determinado por unas coordenadas. El hecho de que dependan de la elección del sistema coordenado es algo asumible (vamos, que no molesta) incluso a veces es positivo. Por ejemplo, si tienes que estudiar una elipse, es bueno elegir el sistema de coordenadas de forma que el origen sea el centro y los ejes coordenados sean los de la elipse, y así la ecuación de la elipse resulta ser la más sencilla posible. En este caso es bueno cambiar las coordenadas de los puntos para que la ecuación de la elipse se simplifique.
Creo que no me he hecho entender o que no me has entendido bien. Me refería que si tengo un ejercicio en el que sólo me dan las componentes de un vector, por ejemplo, y me preguntan que cuales son sus coordenadas una base B dada. Dado que las componentes de un vector y sus coordenadas en base canónica (en el caso de poder utilizar la base canónica en el ejercicio, de que tenga sentido) son iguales, no nos haría falta hallar las coordenadas del vector en base canónica y después aplicar la matriz cambio de base de Bc a B. Simplemente multiplicaríamos por la matriz cambio de base, directamente, que en este caso será la matriz formada por los vectores de la base B.
Pues no sé si te entiendo, porque lo que entiendo es una perogrullada: como las componentes coinciden con las coordenadas en la base canónica, no necesitas calcular las coordenadas porque ya las tienes. En cualquier caso, conviene que pienses que una matriz de cambio de base está formada siempre por coordenadas de vectores (no por vectores) y que no transforma vectores en vectores, sino coordenadas de vectores respecto de una base en coordenadas de vectores respecto de otra base. Claro en \( \mathbb R^n \), un vector es lo mismo que sus coordenadas respecto de la base canónica, por lo que lo que digo es lo mismo que lo que dices. Sólo apunto que es bueno que veas el hecho de que "es la matriz formada por los vectores de la base B" como una mera coincidencia anecdótica. Lo que realmente importa es que es la matriz de las coordenadas de los vectores de la base B (en la base canónica) que casual y anecdóticamente son los propios vectores.
Y como todos los vectores del espacio vectorial, el vector nulo, ¡Que solo hay uno! existirá como vector fijo en el plano afín tantas veces como queramos (de hecho, tantos puntos como hay en el plano afín, al ser el vector que va de p a p, siendo p cualquier punto del plano afín) y es por eso que fijamos un punto p como vector nulo para 'trasladar' el subespacio vectorial hasta él (pues todo subespacio 'nace' del vector nulo) y crear describir así una recta.
Me sigue chirriando lo de "fijar un punto p como vector nulo". Toda coincidencia entre puntos y vectores es meramente anecdótica. Fijamos un punto p como origen de coordenadas, y entonces cada vector libre puede visualizarse de forma única con origen en p, y en concreto el vector nulo se visualizará en el propio punto p, pero no es que p pase a ser el vector nulo, un punto es un punto y no un vector.
Espero que la cosa este mejorando por momentos porque me da la sensación de que voy a volverme loca 
Vas bien.
