[mazuro]

Hola a todos

1. En un curso compuesto  por 22 alumnos; 12 estudian alemán; 11 estudian inglés y 11 francés, 6 estudian alemán e inglés; 7 estudian inglés y francés; 5 estudian alemán y francés y 2 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos alumnos estudian solo inglés?

Lo que hice:



No me da el total de los 22 

2. Al investigar un grupo de 480 estudiantes sobre sus intereses de estudios superiores se obtuvo la siguiente información:

Todos los que querían estudiar Ingeniería Civil, también querían estudiar Arquitectura.
Ninguno quería estudiar Ingeniería Civil y Electrónica.
Diez alumnos preferían estudiar otras carreras.
60 querían estudiar Electrónica y Arquitectura.
440 quieren estudiar Electrónica.
180 quieren estudiar Ingeniería Civil.

a) ¿Cuántos alumnos desean estudiar solamente Electrónica?
b)¿Qué porcentaje se interesa por estudiar 2 de las carreras mencionadas?

Lo que hice



La suma me sale más de 480,     

No sé por qué no me salen las gráficas completas

Muchas gracias, saludos.

[Gaussa]

Hola.

1. En un curso compuesto  por 22 alumnos; 12 estudian alemán; 11 estudian inglés y 11 francés, 6 estudian alemán e inglés; 7 estudian inglés y francés; 5 estudian alemán y francés y 2 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos alumnos estudian solo inglés?

No me da el total de los 22 

No te da el total, que son \( 22 \) alumnos, porque puede haber (de hecho, los hay) alumnos que estudien otros idiomas. Si llamas \( A \) a los alumnos que estudian alemán, \( B \) a los que estudian inglés y \( C \) francés tienes que, por los datos que te dan:

\( |A|=12 \), \( |B|=11 \), \( |C|=11 \), \( |A \cap B|=6 \), \( |B \cap C|=7 \), \( |A \cap C|=5 \), \( |A \cap B \cap C|=2 \), \( |T|=22 \) (\( T \) es el total de alumnos).

Como \( |A \cup B \cup C|=|A|+|B|+|C|- |A \cap B|- |A \cap C|- |B \cap C|+|A \cap B \cap C| \), tienes que, sustituyendo lo anterior, \( |A \cup B \cup C|=18 \). Imagino que este es el número que te ha salido cuando dices que no te da el total. Hay \( 4 \) alumnos que estudian otros idiomas.

Para calcular los que estudian sólo inglés, puedes usar que \( B=(B \cap (A \cup C)) \cup (B \cap (A \cup C)^c) \).

2. Al investigar un grupo de 480 estudiantes sobre sus intereses de estudios superiores se obtuvo la siguiente información:

Todos los que querían estudiar Ingeniería Civil, también querían estudiar Arquitectura.
Ninguno quería estudiar Ingeniería Civil y Electrónica.
Diez alumnos preferían estudiar otras carreras.
60 querían estudiar Electrónica y Arquitectura.
440 quieren estudiar Electrónica.
180 quieren estudiar Ingeniería Civil.

a) ¿Cuántos alumnos desean estudiar solamente Electrónica?
b)¿Qué porcentaje se interesa por estudiar 2 de las carreras mencionadas?

La suma me sale más de 480,     

¿Qué has sumado? Ocurre lo mismo que en el ejercicio anterior.

Saludos.

[mazuro]

Hola

Muchas gracias

1.   Lo que no entiendo es de dónde sale

Para calcular los que estudian sólo inglés, puedes usar que \( B=(B \cap (A \cup C)) \cup (B \cap (A \cup C)^c) \).

No sé cómo resolver esto

¿Qué temas puedo estudiar para ello, o cómo buesco en internet? Me cuesta mucho trabajo 

2.  Bueno, lo que hice

\( E \)   Electrónica
\( C \)    Civil
\( A \)     Arquitectura


\( \left |{E}\right |=440 \)
\( \left |{C}\right |=180 \)
\( \left |{E\cap{A}}\right |=60 \)
\( \left |{C\cap{E}}\right |=0 \)
\( \left |{C\cap{A}}\right |=180 \)
\( \left |{(E\cap{A}\cap{C})}^c\right |=10 \)
\( \left |{E\cup{C}}\cup{A}\right |=620 \) 

No sé si esto está bien...   No sé cómo hallar \( E \)      No lo logro entender

Muchas gracias, saludos

[Gaussa]

Hola.

1.   Lo que no entiendo es de dónde sale

Para calcular los que estudian sólo inglés, puedes usar que \( B=(B \cap (A \cup C)) \cup (B \cap (A \cup C)^c) \).

En general, se verifica que para dos conjuntos \( M \) y \( N \), es \( M=(M \cap N) \cup (M \cap N^c) \). Demuestra la igual o dibuja un diagrama de Venn, se ve rápido  .

Ahí apliqué dicha igualdad para \( M=B \), \( N=A \cup C \).

No sé cómo resolver esto

¿Qué temas puedo estudiar para ello, o cómo buesco en internet? Me cuesta mucho trabajo 

Se trata de problemas en los que hay que usar el principio de inclusión - exclusión y jugar un poco con conjuntos (propiedades que se verifican como la que te dije antes, y se pueden ver también haciendo un diagrama de Venn). Hay muchos libros donde hay problemas resueltos de este tipo y viene explicado. Cuando tengas trabajados unos cuantos problemas, habrás cogido la idea y verás más sencillos los siguientes que te propongas.

Aquí está bien explicado y vienen ejemplos, te recomiendo que lo mires:

http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1711003/Apuntes/Leccion3.pdf

Tenemos que \( B=(B \cap (A \cup C)) \cup (B \cap (A \cup C)^c) \). Como los conjuntos \( B=B \cap (A \cup C) \) y \( B \cap (A \cup C)^c \) son disjuntos, tenemos que \( |B|=|B \cap (A \cup C)| + |B \cap (A \cup C)^c| \). Jugando ahora con propiedades de conjuntos (distributiva y ley de de Morgan):

\( |B|=|B \cap (A \cup C)| + |B \cap (A \cup C)^c|=|(B \cap A) \cup (B \cap C)|+|B \cap (A^c \cap C^c)|= |(B \cap A) \cup (B \cap C)|+|B \cap A^c \cap C^c|= |B \cap A|+|B \cap C|- |A \cap B \cap C|+|B \cap A^c \cap C^c| \) (en este último paso he aplicado que \( B \cap A \) y \( B \cap C \) no son disjuntos, por lo que hay que restar el de cardinal de la intersección de los conjuntos a la suma de los cardinales de ambos).

Recuerda que nos piden calcular los que estudian sólo inglés, es decir, \( |B \cap A^c \cap C^c| \). Luego sólo debes despejarlo  en la igualdad anterior. El resultado es que ninguna estudia sólo inglés.

2.  Bueno, lo que hice

\( E \)   Electrónica
\( C \)    Civil
\( A \)     Arquitectura


\( \left |{E}\right |=440 \)
\( \left |{C}\right |=180 \)
\( \left |{E\cap{A}}\right |=60 \)
\( \left |{C\cap{E}}\right |=0 \)
\( \left |{C\cap{A}}\right |=180 \)

Estos están bien. Los únicos que no lo están son los dos últimos.

El penúltimo es \( \left |{(E\cup{A}\cup{C})}^c\right |=10 \).

El total de alumnos, \( T \), será la unión de los alumnos que quieran estudiar alguna de esas tres carreras y los que no quieren estudiar ninguna, es decir, \( T={(E\cup{A}\cup{C}) \cup {(E\cup{A}\cup{C})^c \), luego, al ser disjuntos, \( |E\cup{C}\cup{A}|=480-10=470 \).

No sé cómo hallar \( E \)      No lo logro entender

Cuidado, no debes calcular \( E \). Te preguntan por los que quieren estudiar sólo Electrónica. En \( E \) pueden estar metidos también alumnos que quieren estudiar Electrónica y Arquitectura, por ejemplo. Compáralo con el ejercicio anterior.

Saludos.

[mazuro]

Muchas gracias, me demoraré en entender  , voy a mirar el link, cualquier cosita pregunto, lo más probable es que pregunte  de nuevo muchas gracias. 

Saludos

[mazuro]

Hola

1. Efectivamente da 0.  No sé que haría sin tu ayuda 

2. Es similar al primero, pero no sé cómo hallar \( \left |{A}\right | \)

Llego a \( \left |{E\cap{A^c}}\cap{C^c}\right |=\left |{E}\right |-\left |{E\cap{A}}\right |-\left |{E\cap{C}}\right |+\left |{{E\cap{A}}\cap{C}}\right |=440-60-0+... \)

Como A, E y C son disjuntos luego  \( \left |{E\cap{A}}\cap{C}}\right |=\left |{E}\right |+\left |{A}\right |+\left |{C}\right |-\left |{E\cup{A}}\cup{C}\right | \)

Cómo puedo hallar el valor de \( \left |{A}\right | \)   

Muchas gracias, saludos.

[Gaussa]

Hola.

Muchas gracias, me demoraré en entender  , voy a mirar el link, cualquier cosita pregunto, lo más probable es que pregunte  de nuevo muchas gracias. 

De nada 

2. Es similar al primero, pero no sé cómo hallar \( \left |{A}\right | \)

Llego a \( \left |{E\cap{A^c}}\cap{C^c}\right |=\left |{E}\right |-\left |{E\cap{A}}\right |-\left |{E\cap{C}}\right |+\left |{{E\cap{A}}\cap{C}}\right |=440-60-0+... \)

Bien 

Como A, E y C son disjuntos luego  \( \left |{E\cap{A}}\cap{C}}\right |=\left |{E}\right |+\left |{A}\right |+\left |{C}\right |-\left |{E\cup{A}}\cup{C}\right | \)

Cuidado aquí, te faltan las intersecciones, estamos aplicando el principio de inclusión - exclusión como hicimos en el anterior:

\( |A \cup B \cup C|=|A|+|B|+|C|- |A \cap B|- |A \cap C|- |B \cap C|+|A \cap B \cap C| \),

Fíjate también en este dato: "Todos los que querían estudiar Ingeniería Civil, también querían estudiar Arquitectura". Dice algo más, no sólo que tienen el mismo cardinal. Esto te puede ayudar para calcular \( |A| \), usando que \( |A \cup E|= \ldots \).

Inténtalo y me cuentas qué tal. En este hay que hacer más cálculos que en el anterior.

Saludos.

[mazuro]

Hola, muchas gracias.

Fíjate también en este dato: "Todos los que querían estudiar Ingeniería Civil, también querían estudiar Arquitectura". Dice algo más, no sólo que tienen el mismo cardinal. Esto te puede ayudar para calcular \( |A| \), usando que \( |A \cup E|= \ldots \).

Bien, no logro sacar el \( \left |{A}\right | \)     ... pero  pues pensando diría que \( \left |{{E\cap{A}}\cap{C}}\right |=0 \)  porque dice que "Todos los que querían estudiar Ingeniería Civil, también querían estudiar Arquitectura..."   y  todos los que quieren estudiar ing. civil son 180, de modo que no hay ninguno de esta carrera que quiera estudiar electrónica... por eso en la intersección de los tres idiomas es 0    yo creo que esto no está bien... además  hago el diagrama y me sale 380+60+180= 620  y sin contar los que "solo" quieren estudiar arquitectura...
 
Muchas gracias, saludos

[Gaussa]

Hola.

Fíjate también en este dato: "Todos los que querían estudiar Ingeniería Civil, también querían estudiar Arquitectura". Dice algo más, no sólo que tienen el mismo cardinal. Esto te puede ayudar para calcular \( |A| \), usando que \( |A \cup E|= \ldots \).

Como todos los que quieres estudiar Ingeniería Civil también quieren hacer Arquitectura, tenemos que \( C \subset A \). Luego \( C \cap A=C \) y \( C \cup A=A \).

Bien, no logro sacar el \( \left |{A}\right | \)     ...

\( |A \cup E|=|A|+|E|-|A \cap E| \). Como \( A \cup C=A \), tenemos que \( A \cup C \cup E= A \cup E \). Y conocemos \( |A \cup C \cup E| \), de modo que conocemos el valor de todos los cardinales anteriores y despejando, \( |A|=90 \).

pero  pues pensando diría que \( \left |{{E\cap{A}}\cap{C}}\right |=0 \)  porque dice que "Todos los que querían estudiar Ingeniería Civil, también querían estudiar Arquitectura..."   y  todos los que quieren estudiar ing. civil son 180, de modo que no hay ninguno de esta carrera que quiera estudiar electrónica... por eso en la intersección de los tres idiomas es 0    yo creo que esto no está bien...

Sí, lo has deducido bien, es por eso. Pero también lo puedes deducir como conjuntos. Inténtalo usando el principio de inclusión - exclusión (tendrás que usar también que \( C \subset A \)), y comprueba que, efectivamente, da \( 0 \).

Y ya estarías aquí:

Llego a \( \left |{E\cap{A^c}}\cap{C^c}\right |=\left |{E}\right |-\left |{E\cap{A}}\right |-\left |{E\cap{C}}\right |+\left |{{E\cap{A}}\cap{C}}\right |=440-60-0+... \)

Ahora sí sabes el valor de la intersección, y el resto de cardinales ya los tienes, por lo que puedes calcular lo que te piden.

Saludos.

[mazuro]

Hola muchas gracias!!

Efectivamente el caridnal de A es 90. Y sí   \( \left |{{E\cap{A}}\cap{C}}\right |=0 \)      Pero si \( \left |{A}\right |=90 \)   y   \( \left |{C\cap{A}}\right |=180 \)  cómo se puede explicar este hecho?   Es decir  si en A hay solamente 90, y en la intersección entre A y C hay 180...

Muchas gracias, saludos