[Lambda]

¡Hola!

Suelo tener problemas con el movimiento relativo. Para realizar los problemas se suele determinar un vector \( \vec{r} \), un vector \( \vec{r'} \) y un tercero \( \vec{OO'} \), de manera que:

\( \vec{r}= \vec{r'} + \vec{OO'} \)

(Siendo O y O' lo orígenes de los sistemas de referencia y \( \vec{r} \) y \( \vec{r'} \) los vecotres posición de una partícula en movimiento.

Siendo este el enunciado estándar de los problemas, luego pude haber múltiples variantes, como el movimiento de un sistema de referencia a lo largo del eje X,Y ó Z del otro.
Me gustaría saber qué pasos seguir para poder resolver este tipo de problemas en los cuales se pregunta por los vecotres velocidad de un sistema en concreto.

Luego también existe la posibilidad de que un sistema se acerque o se aleje, para lo cual supongo que será una cuestión de signos pero no se.

[aladan]

¡Hola!
Siendo este el enunciado estándar de los problemas, luego pude haber múltiples variantes, como el movimiento de un sistema de referencia a lo largo del eje X,Y ó Z del otro.

Hola Lambda:
 Una sugrencia, plantea el enunciado completo de un problema con el que tengas dudas y posiblemente encotrarás la ayuda necesaria.
Saludos

[Lambda]

De acuerdo, un ejemplo es el siguiente:

Una partícula se mueve con una velocidad uniforme \( \vec{v}= \vec{U_x} + 2\vec{u_z} \) en un sistema de referencia O. A su vez, un observador O' se mueve con una velocidad cuyo módulo es V= 2m/s respecto de O. Obtener el vector velocidad \( \vec{v'} \) que mide O' en las siguientes situaciones:

a) O' se aleja de O a lo largo del eje X.
b) O' se acerca a O a lo largo del eje X.
c) O' se aleja de O a lo largo del eje Y.
d) O' se aleja de O en una dirección tal que la partícula, vista desde O', se mueve perpendicularmente en relacion al observador en movimiento.

Este es uno de los problemas, gracias.

[aladan]

¡Hola!

Suelo tener problemas con el movimiento relativo. Para realizar los problemas se suele determinar un vector \( \vec{r} \), un vector \( \vec{r'} \) y un tercero \( \vec{OO'} \), de manera que:

\( \vec{r}= \vec{r'} + \vec{OO'} \)

(Siendo O y O' lo orígenes de los sistemas de referencia y \( \vec{r} \) y \( \vec{r'} \) los vecotres posición de una partícula en movimiento.

Hola Lambda:
La clave está en la identificación clara de esos 3 vectores, \( \overrightarrow{r} \), \( \overrightarrow{r`} \) y \( \overrightarrow{OO`} \), que son vector de posición de la particula respecto de O, vector de posición de la particula respecto de O´y vector de posición del observador móvil respecto de O, respectivamente.
Despeja en la ecuación que correctamente has planteado \( \overrightarrow{r`} \) y a continuación deriva respecto a t, lo que obtienes es

                                \( \overrightarrow{v`}=\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v_O`} \) (1)

Editado

que indica que la velocidad de la particula vista desde el observador móvil es la diferencia vectorial de las celocidades de la particula respecto de O y la del observador respecto de O.
Entiendo que en el problema que planteas la particula se mueve respecto a O

           \( \vec{v}= \vec{u_x} + 2\vec{u_z} \)

Caso a) Solo tienes que aplicar (1) teniendo en cuenta la expresión vectorial de \( \overrightarrow{v_O`} \)
\( \overrightarrow{v_O`}= 2 \overrightarrow{u_x}\Longrightarrow{\overrightarrow{v`}= -\overrightarrow{u_x}+2\overrightarrow{u_z}} \)

Caso b) \( \overrightarrow{v_O`}= -2\overrightarrow{u_x} \), aplica (1)

Caso c) \( \overrightarrow{v_O`}= 2\overrightarrow{u_y} \), ........

Caso d) Aquí te estan diciendo que el observador y la particula no tienen movimiento relativo según el eje Z, lo que quiere decir que

             \( \overrightarrow{v_O`}= 2\overrightarrow{u_z} \)

Supongo puedes terminar, si quedan dudas, aquí estamos.
Saludos

[Lambda]

La verdad es que algo sí entiendo aunque me sigue costando; por ejemplo:

- ¿En el caso a) de dónde obtienes que  \( \vec{vO'}= 2\vec{u_x} \)?

Supogno que respondiendo a esta pregunta comprenderé las demás.

Gracias,

[aladan]

Hola Lambda:
En el enunciado del problema te proporcionan inicialmente el módulo de la velocidad de O`, 2 m/s, en los difrentes casos te proporcionan información sobre la dirección y sentido de esa velocidad, este un poco ambiguo como te explico a continuación, con los que se puede definir  el  vector \( \overrightarrow{v_O`} \).

Caso a) Dirección eje X, sentido alejendose de O, aquí me he permitido interpretar que el alejamiento es por la parte positiva del eje X por eso identifico el vector
                              \( \overrightarrow{v_O`}=2 \overrightarrow{u_xx} \)

Podia haber interpretado que se aleja de O por la parte negativa del eje X en cuyo caso
                             \( \overrightarrow{v_O`}=-2 \overrightarrow{u_xx} \)

Esa es la ambigüedad a que me referia. Dado que no lo explicita con decir que interpretación das al dato la solución es correcta. En los casos b) y c) la interpretación es la misma alejandose o acercandose de O por la parte positiva del eje correspondiente.
En el caso d) no hay ambigüedad, O`nopuede tener movimiento relativo repecto a la particula en la dirección del eje Z.
Cualquier duda, ya sabes.
Saludos
 
                    

[Lambda]

Muchas gracias.
Las primeras preguntas las he entendido, el problema lo tengo con la d), en la cual me planteo lo siguiente:

-La velocidad de la partícula es de \( \vec{v}= \vec{u_x} + 2\vec{u_z}. \)
Para que la partícula se vea con un movimiento perpendicular desde O', deben de moverse partícula y sistema de referencia con la misma velocidad, es decir, 2m/s.

De esta manera llego a la conclusión de que 2 es el módulo de la velocidad del sistema de referencia y que coincide con el de la partícula; de manera que:

\( 2= \vec{v_x} + \vec{v_z} \)

No se si hasta aquí estará bien, pero luego mi pregunta es: ¿tienen que ser proporcionales estos v_x y v_z respecto a la velocidad del objeto?

[aladan]

Hola Lambda:
La particula se mueve en el plano XZ, su velocidad según los datos es
                     \( \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u_x}*2\overrightarrow{u_z} \)

Nota.- Supongo que entiendes que \( \overrightarrow{u_x} \) y \( \overrightarrow{u_z} \) son los vectores unitarios positivos en los ejes X y Z respectivamente
lo que significa que su módulo es

                     \( v= \sqrt[ ]{1^2+2^2}=\sqrt[ ]{5} \)

Esto es un movimiento compuesto de los dos siguientes,
1.- con dirección el eje X, sentido hacia los valores positivos de X y módulo 1
2.- con dirección el eje Z, sentido hacia los valores positivos de z y módulo 2

Sabemos tambien que el módulo de la velocidad de O`es 2 m/s, esto es DATO, ahora bien para que el observador detecte que la particula se mueve con una dirección perpendicular a él, solamente puede darse cuando a ese módulo de 2, le corresponde la misma dirección y sentido que uno de los dos movimientos que tiene la particula de igual módulo, es decir \( 2\overrightarrow{u_z} \), la aplicación de la ecuación

\( \overrightarrow{v`}=\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v_O`}= (\overrightarrow{u_x}+2\overrightarrow{u_z})-2\overrightarrow{u_z}=\overrightarrow{u_x} \)

De esta forma el observador al moverse sobre el eje Z de igual forma que la particula no aprecia movimiento relativo en esa dirección y sentido, para O` la particula simplemente se aleja de él según la dirección positiva de X.

Dime si te aclara tu duda.
Saludos
PD.- Acabo de detectar un ligero error de notación en una respuesta anterior, voy a editarlo para corregir.

[Lambda]

Tal y como lo has puesto el sistema de referencia O' se movería respecto al eje Z, y de esta manera no se ve un movimiento perpendicular de la pelota respecto al sistema de referencia.

Además en el enunciado se indica que la velocidad de O' tiene un módulo de V = 2m/s, lo cual no coincidiría con lo escrito, pues sería 1.

Yo lo que planteaba es que:

\( 2= \sqrt[ ]{V_x^2  + V_z^2} \)

. . . de manera que:         

\(  4= V_x^2 + V_z^2 \)

Entonces V_x y V_z deberían de ser valores de tal forma que la pelota fuese perpendicular.

Eso es lo que pienso, que no se si estará bien.

[aladan]

Tal y como lo has puesto el sistema de referencia O' se movería respecto al eje Z, y de esta manera no se ve un movimiento perpendicular de la pelota respecto al sistema de referencia.

No entiendo de donde sacas esta conclusión, el O`se mueve respecto a O en la dirección positiva del eje Z, NO se mueve respecto del eje Z

Además en el enunciado se indica que la velocidad de O' tiene un módulo de V = 2m/s, lo cual no coincidiría con lo escrito, pues sería 1.
Yo lo que planteaba es que:

\( 2= \sqrt[ ]{V_x^2  + V_z^2} \)

. . . de manera que:        

\(  4= V_x^2 + V_z^2 \)

Entonces V_x y V_z deberían de ser valores de tal forma que la pelota fuese perpendicular.
Eso es lo que pienso, que no se si estará bien.

Un repaso básico de vectores, tenemos un vector \( \overrightarrow{V} \), cuyas proyecciones sobre los ejes X, Y y Z son A, B y C respectivamente, su expresión matemática es la siguiente:

                       \( \overrightarrow{V}=A\overrightarrow{u_x}+B\overrightarrow{u_y}+C\overrightarrow{u_z} \)

donde \( \overrightarrow{u_x},\overrightarrow{u_y},\overrightarrow{u_z} \) son los vectores unitarios según los ejes X, Y y Z respectivamente, representando la expresión anterior el vector \( \overrightarrow{V} \) como suma vectorial de tres vectores, componentes del mismo.

El módulo de ese vector, es

                          \( V=\sqrt[ ]{A^2+B^2+C^2} \)

Por tanto si un vector tiene la forma:

                              \( \overrightarrow{v}=2\overrightarrow{u_z}\Longrightarrow{v=\sqrt[ ]{0^2+0^2+2^2}=2} \)

De donde obtienes que seria 1.

Espero tu respuesta.
Saludos