[albertocai]

Hola!
Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio, y decir que no me coincide el resultado. Excel tampoco piensa lo mismo que yo...

Se trata de contar cuántos de los números naturales del 1 al 2000 no son divisibles ni por 2, ni por 3, ni por 5 ni por 7.

Mi resolución:

Spoiler

Llamando \( c_2 \) a la condición de ser múltiplo de 2, se tendría una idea análoga para \( c_3, c_5, c_7 \).
Sea entonces \( N(c_i)  \) el número de elementos que cumplen la condición \(  i\in {2,3,5,7} \). También se contempla que \(  N(c_i,c_j) \) será el número de elementos que cumplen simultáneamente las condiciones \(  i,j\in {2,3,5,7}, i\ne j \)... Y así llegamos a \(  N(c_2,c_3,c_5,c_7) \) que es el número de números que cumplen todas las condiciones.
Por otra parte, llamaremos \(  N(\bar{c_i}) \) al número de elementos que no cumple la condición \(  i\in {2,3,5,7} \) y así llegaremos a \(  \bar N=N(\bar{c_2},\bar{c_3},\bar{c_5},\bar{c_7}) \) que es el número de elementos que no cumple ninguna de las condiciones, lo cual supone la solución al problema.

Aplicando el Principio de Inclusión-Exclusión, se calcula fácilmente \(  N\bar=N-\sum N(c_i)+\sum N(c_i,c_j)- \sum N(c_i,c_j,c_k)+N(c_2,c_3,c_5,c_7) \).

Empiezan las operaciones:
\( \left\{\begin{matrix}N(c_2)=\text{Números múltiplos de 2}=E[2000/2]=1000 \\
N(c_3)=\text{Números múltiplos de 3}=E[2000/3]=666\\
N(c_5)=\text{Números múltiplos de 5}=E[2000/5]=400\\
N(c_7)=\text{Números múltiplos de 7}=E[2000/7]=285\end{matrix}\right\}\Rightarrow N(c_i)=2351 \)

\( \left\{\begin{matrix}N(c_2,c_3)=\text{Números múltiplos de 2 y 3}=E[2000/6]=333 \\
N(c_2,c_5)=\text{Números múltiplos de 2 y 5}=E[2000/10]=200 \\
N(c_2,c_7)=\text{Números múltiplos de 2 y 7}=E[2000/14]=142 \\
N(c_3,c_5)=\text{Números múltiplos de 3 y 5}=E[2000/15]=133 \\
N(c_3,c_7)=\text{Números múltiplos de 3 y 7}=E[2000/21]=95 \\
N(c_5,c_7)=\text{Números múltiplos de 5 y 7}=E[2000/35]=57 \end{matrix}\right\}\Rightarrow N(c_i,c_j)=960 \)

\( \left\{\begin{matrix}N(c_2,c_3,c_5)=\text{Números múltiplos de 2, 3 y 5}=E[2000/30]=66 \\
N(c_2,c_3,c_7)=\text{Números múltiplos de 2, 3 y 7}=E[2000/42]=47 \\
N(c_3,c_5,c_7)=\text{Números múltiplos de 3, 5 y 7}=E[2000/105]=19 \\ \end{matrix}\right\}\Rightarrow N(c_i,c_j,c_k)=132 \)

Finalmente, \(  N(c_2,c_3,c_5,c_7)=E[2000/210]=9 \)

Aplicando el Principio de I-E: \( \bar{N}=2000-2351+960-132+9=486 \)

[cerrar]

Sin embargo, el libro dice 458. ¿Quién me ayuda a localizar el error?

EDITADO:
________________________________________
Modificación: Ya he encontrado el error... No había considerado \( N(c_2,c_5,c_7)=E[2000/70]=28 \)
Con lo que ahora \( N(c_i,c_j,c_k)=160 \) y \( \bar{N}=2000-2351+960-160+9=458 \), como había que demostrar.

[feriva]

Spoiler

Sin embargo, el libro dice 458. ¿Quién me ayuda a localizar el error?

[cerrar]

La mitad son pares: 1000.

El múltiplo de 3 menor que 2000 más cercano es 1998, así que hay 1998/3=666 múltiplos de tres.

De éstos, la mitad serán pares y están contenidos en los 1000 de antes, así que quedan 333 múltiplos de 3. Van 1333.

2000 es múltiplo de cinco y 2000/5=400. Hay que quitar la mitad, que son múltiplos de dos y quedan 200 múltiplos de 5. Ahora hay que quitar los múltiplos de 3. El múltiplo más cercano es 198 y 198/3 es 66; tenemos entonces 200-66=134 Aquí está mi fallo, en efecto, hay que quitar los múltiplos de 5 y de 3, que son, como tú tienes en tu tabla, 133 y no 134, y así ya sale bien; veo que "mí" método era muy parecido al existente múltiplos de 5 a tomar

Llevamos 1333+134= 1467

EL múltiplo de 7 más cercano a 2000 es 1995, así 1995/7=285.

De los cuales hay que quitar 285/5= 57 múltiplos de 5 y quedan 228.

De éstos, 228/2=114  son pares, y al quitarlos quedan 228-114=114

Es múltiplo de 3, así que 114/3=38, se los quitamos y quedan finalmente

76 múltiplos de 7 que no lo son de 5 ni de 2 ni de 3.

En total tenemos: 1467+76=1543 múltiplos de 2 de 3 de 5 y de 7.

Entonces 2000-1543=457

Sale casi bien, por uno de menos. El error se produce al buscar el múltiplo de tres más cercano a 200, ese paso no es seguro, pero ahora no sé cómo evitarlo.

[albertocai]

Agradezco enormemente la respuesta de Iván, pero me cuesta mucho seguir tu explicación. Además, debo resolverlo aplicando el teorema de Inclusión-Exclusión. En el Spoiler he añadido la demostración. Necesito buscar ahí los errores. En cuanto a los cálculos, los he revisado muchas veces y no sale...

Pleaseee... ayuda!!

[feriva]

Agradezco enormemente la respuesta de Iván, pero me cuesta mucho seguir tu explicación. Además, debo resolverlo aplicando el teorema de Inclusión-Exclusión. En el Spoiler he añadido la demostración. Necesito buscar ahí los errores. En cuanto a los cálculos, los he revisado muchas veces y no sale...

Pleaseee... ayuda!!

Ya imagino que usas un método bien definido; esto es un método casero que aproxima el resultado y a veces, dependiendo de los divisores, lo saca; sólo lo he hecho para que veas que la respuesta del enunciado sí está bien; siento no poder ayudarte.

Saludos. 

[robinlambada]

Hola. Tu cálculo de los no divisores de 2,3,5,7 en los 2000 primeros números, está bien, es correcto.
El resultado del libro es erróneo y el de Feriva también.
Saludos.

[feriva]

Bueno, yo te explico cómo se razona lo que estás haciendo y tú analizas a ver qué cuentas te faltan, porque la fórmula que aplicas no sé ahora cómo va.

Tú tiene del 1 al 2000, la mitad son pares, tienes mil pares; y apuntas para la suma 1000.

Si divides 2000 entre 3 y te quedas con la parte entera, tienes todos los múltiplos de 3. Ahora bien, de esos múltiplos de 3, yo quito -ya, sin esperara a hacer un tabla ni nada- los que son múltiplos de 2 (porque ya están incluidos en esos 1000 de antes, ¿entiendes?). Entonces salen 666 múltiplos de 3, lo divido entre dos y quedan 333 que se los quito a 666 (es evidentemente, ésta es la cantidad de múltiplos de 2 y de 3, y es lo que le quito a los múltiplos de 3, que son en total 666).

Ahora, con los múltiplos de 5 ¿qué tendré que hacer? Pues quitar los que sean múltiplos de 5 y de 2, y los que sean de 5 y de 3; y así me quedo con los que sólo pueden ser de 7 o de otros primos, y cuando después busque los de siete, quito los múltiplos de 2, de 3 y de 5; y ahí se acaba, al llegar al 7, al primo más grande.

Finalmente me quedarán:

Todos los pares

Todos los múltiplos de 3 menos los que sean pares

Todos los múltiplos de 5 que no sean pares ni múltiplos de 3

Todos los múltiplos de 7 que no sean pares, ni múltiplos de los anteriores etc.

Sumas estos números, la cantidad de ellos quiero decir, y se la restas a 2000; ¿puede quedar algún número que sea divisible entre 2,3,5 ó 7? No; y no has quitado de más ni de menos, has quitado los justos.

Éste es el razonamiento del método que usas; método que yo no conocía pero, que aun así, ya utilizaba para mis cosas al contar la cantidad de compuestos y primos que hay en un intervalo

Haz las cuentas como te digo y te saldrá.

Perdón, escribí esto sin ver que Albertocai había encontrado el error

[feriva]

Hola. Tu cálculo de los no divisores de 2,3,5,7 en los 2000 primeros números, está bien, es correcto.
El resultado del libro es erróneo y el de Feriva también.
Saludos.

No

[Gustavo]

Hola a todos,

Las cuentas de albertocai están bien. Sólo se le había pasado considerar un caso, como lo dice acá

Modificación: Ya he encontrado el error... No había considerado \( N(c_2,c_5,c_7)=E[2000/70]=28 \)
Con lo que ahora \( N(c_i,c_j,c_k)=160 \) y \( \bar{N}=2000-2351+960-160+9=458 \), como había que demostrar.

Alberto, por esto es mejor poner las modificaciones con algún color para que se noten.

[robinlambada]

Hola a todos,

Las cuentas de albertocai están bien. Sólo se le había pasado considerar un caso, como lo dice acá

Modificación: Ya he encontrado el error... No había considerado \( N(c_2,c_5,c_7)=E[2000/70]=28 \)
Con lo que ahora \( N(c_i,c_j,c_k)=160 \) y \( \bar{N}=2000-2351+960-160+9=458 \), como había que demostrar.

Alberto, por esto es mejor poner las modificaciones con algún color para que se noten.

Gracias Gustavo , yo tampoco lo vi , revise sus cuentas y estaban todas bien, de lo que deduje que era correcto. No vi tampoco que le faltaba el caso de los múltiplos de 2,5,7.

Muy cierto, gracias, ahora si.

Saludos.

[robinlambada]

Al razonamiento de feriva.

Finalmente me quedarán:

Todos los pares

Todos los múltiplos de 3 menos los que sean pares

Todos los múltiplos de 5 que no sean pares ni múltiplos de 3

Aquí quitas 2 veces los los múltiplos de 2 y de 3, es decir tienes que sumar los que son a la vez múltiplos de 2 y 3 ,es decir múltiplos de 6

Todos los múltiplos de 7 que no sean pares, ni múltiplos de los anteriores etc.

lo haces sólo por parejas, 7 y2 , 7y3, 7y5. pero te faltan considerar trios ( 7,2,3-7,2,5-7,3,5) y cuartetos (7,2,3,5)

Saludos.

Es más fácil que utilices el criterio de inclusión exclusión.

Saludos.