[kahierkittu]

La función:

\( \displaystyle\int \left(x(x+3)^5+5x^{\frac{2}{3}}\right)dx= \)

La solución supuestamente es:

\( -\dfrac{(x+3)^7}{42}+\dfrac{x(x+3)^6}{6}+3x^{\frac{5}{3}} \)

Pero la solución derivada no llega a ser como la que hay que integrar, ¿puede ser que le falte algún valor?

Gracias.

[aladan]

Spoiler

La función:

\( \displaystyle\int \left(x(x+3)^5+5x^{\frac{2}{3}}\right)dx= \)

La solución supuestamente es:

\( -\dfrac{(x+3)^7}{42}+\dfrac{x(x+3)^6}{6}+3x^{\frac{5}{3}} \)

Pero la solución derivada no llega a ser como la que hay que integrar, ¿puede ser que le falte algún valor?

Gracias.

[cerrar]

Hola  kahierkittu

Si entiendo bien, dices que si derivas la solución  no obtienes la función subintegral, eso solamente puede pasar si cometes algún error al derivar porque esa solución, bueno a falta de una constante, es correcta. Se verifica

\( \displaystyle\int \left(x(x+3)^5+5x^{\frac{2}{3}}\right)dx=-\dfrac{(x+3)^7}{42}+\dfrac{x(x+3)^6}{6}+3x^{\frac{5}{3}}+C \)

y

\( \left(-\dfrac{(x+3)^7}{42}+\dfrac{x(x+3)^6}{6}+3x^{\frac{5}{3}}+C\right)^{\prime}=x(x+3)^5+5x^{\frac{2}{3}} \)

muéstranos tus cálcuos y veremos ............

estos son los mios

Derivada de la primitiva

\( \red \left(-\dfrac{(x+3)^7}{42}+\dfrac{x(x+3)^6}{6}+3x^{\frac{5}{3}}+C\right)^{\prime}=-\dfrac{(x+3)^6}{6}+\dfrac{1}{6}[(x+3)^6+6x(x+3)^5]+5x^{\frac{2}{3}}=x(x+3)^5+5x^{\frac{2}{3}} \)

En cuanto a la integral es suma de dos, la primera

\( \red \displaystyle\int x(x+3)^5dx \)

por partes haciendo

\( \red x=u\Rightarrow{dx=du}\\\\ (x+3)^5dx=dv\Rightarrow{\dfrac{(x+3)^6}{6}=v} \)

y la segunda

\( \red \displaystyle\int 5x^{2/3}dx=3x^{5/3} \)

[cerrar]

Saludos

[kahierkittu]

Creo que ya sé que hice mal al derivar el término del medio lo factorizaba así:

\( -\dfrac{(x+3)^6}{6}+\dfrac{1}{6}\left((x+3)^5(7x+3)\right)+5x^{\frac{2}{3}}+C \)

Bueno a seguir con integral entonces.

[kahierkittu]

Si sigo con este método queda así:
\( -\dfrac{(x+3)^6}{6}+\dfrac{1}{6}\left((x+3)^5(7x+3)\right)+5x^{\frac{2}{3}}+C= \)
\( =-\dfrac{(x+3)^5}{6}\left((x+3)-(7x+3)\right)+5x^{\frac{2}{3}}+C= \)
\( =-\dfrac{(x+3)^5}{6} (x+3-7x-3)+5x^{\frac{2}{3}}+C= \)
\( -\dfrac{(x+3)^5}{6}(6x)+5x^{\frac{2}{3}}+C=-x(x+3)^5+5x^{\frac{2}{3}}+C= \)

Por lo que no es como la función para integrar! ¿en qué me equivoqué?

[aladan]

Creo que ya sé que hice mal al derivar el término del medio lo factorizaba así:

\( -\dfrac{(x+3)^6}{6}+\dfrac{1}{6}\left((x+3)^5(7x+3)\right)+5x^{\frac{2}{3}}+C \)

Bueno a seguir con integral entonces.

He añadido un spoiler a mi respuesta anterior, ¿te sirve?

[kahierkittu]

Claro que me sirve gracias Aladan:

Pero si integro la función que me dan:

\( \displaystyle\int \left(x(x+3)^5+5x^{\frac{2}{3}}\right)dx= \)

No aparece como en la solución, términos negativos!

[aladan]

Claro que me sirve gracias Aladan:

Pero si integro la función que me dan:

\( [tex]\displaystyle\int \left(x(x+3)^5+5x^{\frac{2}{3}}\right)dx= \)[/tex]

No aparece como en la solución, términos negativos!

¡¡¡ Ufffffffffff  !!!!, ¿de donde deduces la necesidad de que haya los mismos signos en la función a integrar que en su primitiva ?, si así fuera esto

                     \( \displaystyle\int \dfrac {dx}{x^2}=-\dfrac{1}{x}+C \)

sería incorrecto y no lo es.

¿ Has desarrollado en tu integral el término a aplicar partes como te indico en el Spoiler?

[kahierkittu]

En cambio si hago la función con signo negativo, sí aparecen términos negativos:

\( \displaystyle\int \left(-x(x+3)^5+5x^{\frac{2}{3}}\right)dx= \)

\( u=x+3 \; \Rightarrow\, du=dx \, \wedge\, x=u-3  \)

\( \displaystyle\int -(u-3)u^5du +5\displaystyle\int x^{\frac{2}{3}}dx= \)

¿Sigo así?

[aladan]

En cambio si hago la función con signo negativo, sí aparecen términos negativos:

\( \displaystyle\int \left(-x(x+3)^5+5x^{\frac{2}{3}}\right)dx= \)

\( u=x+3 \; \Rightarrow\, du=dx \, \wedge\, x=u-3  \)

\( \displaystyle\int -(u-3)u^5du +5\displaystyle\int x^{\frac{2}{3}}dx= \)

¿Sigo así?

NO.
Parece que lo que escribí en el Spoiler o no lo has leido o no lo has entendido, dame una respuesta

[kahierkittu]

Si lo leí y lo entiendo.

Ahora cuando derivé ¿notaste algún error?

¿Si haga la sustitución que planteo va a producir error?