Hola
A ver, que no paro de darle vueltas aun a esto... Por qué no habría que comprobar, en vez de para cada a cuyo resto con 6 este entre 0 y 5, comprobar para cada f(a) cuyo resto con 6 este entre 0 y 5?...
¿Pero qué sentido tiene lo qué estás diciendo?
¿A qué llamas "comprobar para cada \( f(a) \)"?.
Lo siguiente ya no tiene nada ver con aritmética modular: Hemos definido \( f(a)=a(a+1)(2a+1) \); es decir \( f(a) \) es una función de \( a \); el valor de \( f(a) \) depende del valor de \( a \).
Dime que
número no entiendes de las siguientes afirmaciones:
1) Nos piden que probemos que \( f(a) \) es múltiplo de \( 6 \) para cualquier valor de \( a \) entero.
2) Lo anterior equivale a que probemos que el resto de dividir \( f(a) \) por \( 6 \) es cero para cualquier valor de \( a \) entero.
3) La forma bruta e interminable de hacer lo anterior sería:
\( f(0)=0(0+1)(0\cdot 2+1)=0 \) !Resto al dividir por \( 6 \) cero!
\( f(1)=1(1+1)(1\cdot 2+1)=6=1\cdot 6+0 \) !Resto al dividir por \( 6 \) cero!
\( f(2)=2(2+1)(2\cdot 2+1)=30=5\cdot 6+0 \) !Resto al dividir por \( 6 \) cero!
\( f(3)=3(3+1)(3\cdot 2+1)=84=14\cdot 6+0 \) !Resto al dividir por \( 6 \) cero!
\( f(4)=4(4+1)(4\cdot 2+1)=180=30\cdot 6+0 \) !Resto al dividir por \( 6 \) cero!
\( f(5)=5(5+1)(5\cdot 2+1)=330=55\cdot 6+0 \) !Resto al dividir por \( 6 \) cero!
\( f(6)=6(6+1)(6\cdot 2+1)=546=91\cdot 6+0 \) !Resto al dividir por \( 6 \) cero!
\( f(7)=7(7+1)(7\cdot 2+1)=840=140\cdot 6+0 \) !Resto al dividir por \( 6 \) cero!
\( f(8)=8(8+1)(8\cdot 2+1)=1224=204\cdot 6+0 \) !Resto al dividir por \( 6 \) cero!
\( f(9)=9(9+1)(9\cdot 2+1)=1710=285\cdot 6+0 \) !Resto al dividir por \( 6 \) cero!
\( f(10)=10(10+1)(10\cdot 2+1)=2310=385\cdot 6+0 \) !Resto al dividir por \( 6 \) cero!
Hasta aquí no he usado NADA de arimética modular. Esto deberías de entenderlo con tus conocimientos de colegio e instituto. 4) La teoría de arimética modular nos dice que si hacemos sumas y productos el resto de dividir por \( 6 \) sólo depende del resto de dividir por \( 6 \) de los números que operamos. Eso quiere decir que sabemos sin hacer las cuentas que:
el resto de dividir \( f(0) \) por \( 6 \) va a ser el mismo que si dividimos \( f(6) \) ó \( f(12) \) ó \( f(18) \)
el resto de dividir \( f(1) \) por \( 6 \) va a ser el mismo que si dividimos \( f(1+6) \) ó \( f(1+12) \) ó \( f(1+18) \)
el resto de dividir \( f(2) \) por \( 6 \) va a ser el mismo que si dividimos \( f(2+6) \) ó \( f(2+12) \) ó \( f(2+18) \)
etcétera...
5) Por tanto no hace falta hacer las infinitas comprobaciones que hacíamos en (3). Basta comprobarlo para \( a=0,1,2,3,4,5 \).
Saludos.
