Autor Tema: Probabilidad y Lógica. Una Paradoja

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08 Octubre, 2007, 04:15 pm
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LauLuna

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¿Cómo solucionaríais el siguiente problema?

Alguien lanza dos monedas al aire, una grande y otra pequeña, y a continuación informa correctamente de que al menos una ha salido cara.

¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean cara? Parece que podemos demostrar tanto que esa probabilidad es 1/3 como que es 1/2.

A) La probabilidad es 1/3. Hay tres combinaciones posibles y equiprobables:

Grande cara, pequeña cruz.
Grande cruz, pequeña cara.
Ambas cara.

Y de ellas sólo una es ambas cara. (La combinación cruz-cruz está excluida por la información que tenemos)

B) La probabilidad es 1/2. Dada la información recibida, tenemos:

1. O la grande es cara o la pequeña es cara (lo que no excluye que lo sean ambas).
2. Si la grande es cara, la probabilidad de que lo sea la pequeña (y, por tanto, las dos) es 1/2.
3. Si la pequeña es cara, la probabilidad de que lo sea la grande (y, por tanto, las dos) es 1/2.
4. Luego en cualquier caso la probabilidad de que ambas sean cara es 1/2.

¿Cómo saldríais de esta aparente contradicción?

Un saludo.


08 Octubre, 2007, 06:54 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

  El razonamiento B) es incorrecto (es curioso porque a mi me cuesta más imaginar, porque SI ha de ser correcto)

 Si X es el espacio muestral (el conjunto de posibles resultados) y llamamos:

\(  Y\subset X \)=casos en los que la grande es cara
\(  Z\subset X \)=casos en los que la pequeñas es cara
\(  S\subset X \)=casos en los que la dos son cara

 Entonces:

Citar
1. O la grande es cara o la pequeña es cara (lo que no excluye que lo sean ambas).

 Significa \( X=Y\cup Z \).

Citar
2. Si la grande es cara, la probabilidad de que lo sea la pequeña (y, por tanto, las dos) es 1/2.

 Significa. P(S/Y)=1/2 (probablidad de S condicionada a Y).
 
Citar
3. Si la pequeña es cara, la probabilidad de que lo sea la grande (y, por tanto, las dos) es 1/2.

 Significa. P(S/Z)=1/2 (probablidad de S condicionada a Z).

 Ahora.

 SI Y , Z FUESEN SUCESOS INDEPENDIENTES (INTERSECCIÓN NULA). Entonces como son equiprobables y su unión es el total, cada uno de ellos tendría intersección 1/2.Tendríamos:

\(  P(S)=P(S/Y)\cdot P(Y)+P(S/Z)\cdot P(Z)=0.5\cdot 0.5+0.5\cdot 0.5=1/2 \)

y sería cierta tu afirmación.

 PERO EL PROBLEMA ESTÁ EN QUE Y, Z NO SON SUCESOS INDEPENDIENTES. Como bien dices que la grande sea cara no excluye que también lo sea la pequeña.

 El razonamiento correcto es:

\(  P(S)=P(Y\cap Z)=P(Y)+P(Z)-P(Y\cup Z)=2/3+2/3-1=1/3. \)

Saludos.

08 Octubre, 2007, 09:21 pm
Respuesta #2

LauLuna

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A todas luces tienes razón: el argumento B) es incorrecto.

Pero yo no parafrasearía ese argumento así:

P(S) = P(S/Y)·P(Y)+P(S/Z)·P(Z) = 0,5·0,5+0,5·0,5 = 1/2

De hecho, el argumento B) no cuenta con que Y y Z tengan probabilidad 1/2. Cuenta sólo con que P(S/Y) = 1/2 y P(S/Z) = 1/2.

El argumento B) puede formalizarse así utilizando tu notación:

1. Y v Z
2. Y -> P(S)=1/2
3. Z -> P(S)=1/2
4. P(S)=1/2

La conclusión se sigue de las premisas por lógica elemental. Luego deben ser las premisas las que fallen. Pero ¿cuál, o cuáles, y por qué?

Naturalmente, el razonamiento con el que terminas es absolutamente correcto pero, hasta donde yo veo, no nos dice dónde exactamente se equivoca el argumento B).

Un saludo

08 Octubre, 2007, 10:08 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

 Bueno yo soy matemático y tu eres lógico. Aunque hermanas (gemelas diría yo) no se si estamos muy condicionados por los dos puntos de vista.

 En cualquier caso, la cosa es que la formalización 2) y 3) que pones (creo) NO ES CORRECTA.

Citar
2. Y -> P(S)=1/2
3. Z -> P(S)=1/2

 Sería:

2. Y -> P(S/Y)=1/2
3. Z -> P(S/Z)=1/2

 es decir probalididad de S condicionada a Y, o condicionada a Z en el segundo caso.

 Entonces para afirmar cuatro necesitas construir P(S) a partir de las condicionadas. Ahí entra la fórmula que puse en el mensaje anterior y las mismas consecuencias.

Saludos.

09 Octubre, 2007, 09:14 am
Respuesta #4

LauLuna

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Sin duda tienes razón en lo de que estamos condicionados, tú por la visión matemática y yo por la lógica. También tienes razón en que no es fácil trazar la frontera entre ambas ciencias. Lo que, dicho sea de paso, podría ser un buen tema para este foro; me doy cuenta de que los aspectos filosóficos y fundacionales suelen suscitar interés.

Pero creo que ' Y -> P(S/Y)=1/2' no formaliza 'si la grande es cara, la probabilidad de que lo sean ambas es 1/2'.

'P(S/Y)' denota la probabilidad de que ambas monedas sean cara supuesto que la grande sea cara. Entonces es 'P(S/Y)=1/2' la fórmula que expresa 'si la grande es cara, la probabilidad de que lo sean ambas es 1/2'; esta fórmula puede considerarse una abreviatura de 'Y -> P(S)=1/2'.

De manera que la formalización que hice del argumento B) me sigue pareciendo correcta. Aunque el argumento en sí mismo sea necesariamente incorrecto, por más que no resulte fácil determinar donde está el error.

Yo diría que la probabilidad es función de la información disponible. Si alguien lanza dos monedas y no nos da ninguna información sobre el resultado, para nosotros la probabilidad de que ambas hayan salido cara es 1/4. Si recibimos la información de que al menos una ha sido cara, la probabilidad se convierte en un 1/3. Si recibimos la información de que la grande es cara, la probabilidad es para nosostros de 1/2. Si tenemos toda la información, la probabilidad o bien se eleva a 1 o se derrumba a 0.

Creo que por ahí puede ir la solución de este problema.

Un saludo

09 Octubre, 2007, 09:35 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

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Yo diría que la probabilidad es función de la información disponible. Si alguien lanza dos monedas y no nos da ninguna información sobre el resultado, para nosotros la probabilidad de que ambas hayan salido cara es 1/4. Si recibimos la información de que al menos una ha sido cara, la probabilidad se convierte en un 1/3. Si recibimos la información de que la grande es cara, la probabilidad es para nosostros de 1/2. Si tenemos toda la información, la probabilidad o bien se eleva a 1 o se derrumba a 0.

Lo que vienes a decir aquí es que la clave está en manejar con cuidado LA PROBABILIDAD CONDICIONADA. Cosa con la que estoy de acuerdo.

En cualquier caso sigo diciendo que tu formalización está mal. La probabilidad de S NO DEPENDE DE QUE SEAN CIERTOS O NO los sucesos Y y Z. En cuanto la hacemos depender estamos hablando de "probabilidad condicionada a...·. Y es INCORRECTO escribir P(S)=.

 Si escribes la flechita "Y->" la estás haciendo depender!!!!!!! Entonces ya no hablas de P(S) sino de P(S/Y).

Te pondré un ejemplo parecido al tuyo.

Tiramos dos monedas una grande y otra pequeña. Queremos hallar la probabilidad de que las dos sean cara.

S= las dos son cara
Y=la grande es cara
Z=la pequeña es cruz

Como en el caso anterior la unión de Y y Z es el suceso total, pero ambos también se intersecan.

Copiando tu forma de argumentar:

2) Y-> P(S)=1/2
3) Z-> P(S)=0

Y ahora digo yo, si se dan Y y Z al mismo tiempo (no se como se escribe con notación lógica)¿qué ocurre? ¿P(S)=1/2 y P(S)=0 al mismo tiempo? ¿Contradicción?

De nuevo la cosa es que la información esta MAL escrita, lo correcto sería:

2) Y-> P(S/Y)=1/2
3) Z-> P(S/Z)=0

mmmm y ahora que lo pienso... en realidad de hecho, los valores de:

P(S), P(S/Y), P(S/Z)

es decir sería lo mismo escribir directamente:

2) P(S/Y)=1/2
3) P(S/Z)=0

no depeden de que ocurran los sucesos Y ó Z. Son "los que son".

Saludos.

09 Octubre, 2007, 01:13 pm
Respuesta #6

LauLuna

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Si escribes la flechita "Y->" la estás haciendo depender!!!!!!! Entonces ya no hablas de P(S) sino de P(S/Y).

¡Precisamente porque la flecha (el condicional) expresa la dependencia, ya no es necesario escribir probabilidad condicionada!

'Y -> P(S)=1/2' es, en principio, sólo otra forma de escribir 'P(S/Y)=1/2'.

Creo que te das cuenta de esto más abajo, cuando escribes:

mmmm y ahora que lo pienso... en realidad de hecho, los valores de:

P(S), P(S/Y), P(S/Z)

es decir sería lo mismo escribir directamente:

2) P(S/Y)=1/2
3) P(S/Z)=0

no depeden de que ocurran los sucesos Y ó Z. Son "los que son".



El contraejemplo que das sí resulta interesante. Y = la grande es cara. Z = la pequeña es cruz. S = las dos son cara. Y tenemos:

1. Y -> P(S)=1/2
2. Z -> P(S)=0

¿Qué pasa si tenemos a la vez Y y Z, lo que es perfectamente posible?

Lo que sucede es que entonces la información disponible ha cambiado y con ello toda la situación. De ahí mi insistencia en la información.

Lo que yo creo que este problema sugiere es que la probabilidad condicionada no está condicionada a los hechos sino a la información disponible. No debemos interpretar 'P(S/Y)' como la probabilidad de que ambas sean cara si la grande es cara, sino como la probabilidad de que ambas sean cara cuando toda la información de que disponemos es que la grande es cara.

Si esto es así, entonces ya no podemos traducir 'P(S/Y)' como 'Y -> P(S)=1/2', porque lo que implica que P(S) sea 1/2 no es Y, es decir, que la grande sea cara, sino que nosotros tengamos esa información y ninguna más.

Si tengo razón en esto, la paradoja se resuelve porque ahora lo que podemos escribir es:

1. O la grande es cara o la pequeña lo es (disyunción inclusiva)
2. Si se nos informa sólo de que la grande es cara, entonces la probabilidad de que lo sean ambas es 1/2.
3. Si se nos informa sólo de que la pequeña es cara, entonces la posibilidad de que lo sean ambas es 1/2.

Y de estas premisas ya no se sigue nada.

En filosofía de las matemáticas se ha discutido largamente sobre la naturaleza de la probabilidad y se han destacado dos grandes posturas:

Primera. La probabilidad y la información están indisolublemente vinculadas.
Segunda. La probabilidad es una característica de los hechos reales, y nada tiene que ver con nuestra información sobre ellos.

En línea con la primera postura Claude Shannon definió la información en función de la probabilidad: cuanto más improbable es un suceso, más información aporta la notificación de que ha ocurrido; esa es la filosofía que subyace a su conocida fórmula:

I = -p log_2 p

En línea con la segunda Karl Popper desarrolló la teoría propensivista de la probabilidad, en la que proponía que la probabilidad es un campo físico al lado del campo gravitatorio, del electromagnético, etc.

Yo creo que el interés del problema que he propuesto reside en que hace ver que la probabilidad depende de la información disponible y no de los hechos mismos. Si dependiese de los hechos, podríamos traducir 'P(S/Y)' como 'Y -> P(S)=1/2', etc. y podríamos concluir (erróneamente) que P(S)=1/2.

Un saludo

09 Octubre, 2007, 02:22 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

 OK. El problema está en que tu estás manejando una idea filosófica de la probabilidad y yo una idea matemática. Matemáticamente se define:

 1) un espacio muestral

 2) se le asigna una función de probabilidad que debe de cumplir una serie de propiedades.

 Hay dos cuestiones:

 - Como se relaciona este modelo con la "realidad". Que es por donde vas tú.

 - Como se "hacen cuentas" en ese modelo: simplemente usando las reglas matemáticas se calculan probabilidades. Otra cosa es la relación que tengan con el caso "real".

 Desde el punto de vista matemático la probabilidad condicionada también está clara. Es una forma de construir un nuevo espacio muestral, con una nueva función de probabilidad basándose en el espacio probabilístico inicial. De nuevo, otra cuestión diferente es como se aplica esto a la realidad.

 Entonces. Con tu planteamiento del problema:

 El espacio muestral era E={Xc,Cx,Cc} con función de probabilidad P uniforme.

 S={Cc}

 P(S)=1/3

 Si yo supongo ahora que se cumpe Y, es decir, que la grande es cara estoy modificando el espacio muestral.

 E'={Cx,Cc}

 con función de probabilidad P' (ojo, no P) uniforme.

 S={Cc}

 P'(S)=1/2

 No es lo mismo: P'(S) que P(S) porque el espacio probabilístico es diferente; eso independientemente de que uno lingüísticamente, lo siga leyendo como "probabilidad de que salgan dos caras". Al darle precisión matemática a esa expresión hay que especificar el espacio muestral (en tu lenguaje si quieres, la información disponible).

 En definitiva es una cuestión de punto de vista.

 Donde tu lees simplemente "probabilidad de que sean caras es 1/2" yo estoy escribiendo con precisión matemática P(S)=1/2 (implica conocer que función probabilísitca es y en que espacio probabilístico está definida).

 De todas formas que la probabilidad depende de la información disponible, ¿no es obvio? ¿no es el reflejo que formalmente se haya introducido el concepto de probabilidad condicionada en matemáticas?.

Saludos.

10 Octubre, 2007, 02:03 pm
Respuesta #8

LauLuna

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 Desde el punto de vista matemático la probabilidad condicionada también está clara. Es una forma de construir un nuevo espacio muestral, con una nueva función de probabilidad basándose en el espacio probabilístico inicial. De nuevo, otra cuestión diferente es como se aplica esto a la realidad.

 Entonces. Con tu planteamiento del problema:

 El espacio muestral era E={Xc,Cx,Cc} con función de probabilidad P uniforme.

 S={Cc}

 P(S)=1/3

 Si yo supongo ahora que se cumpe Y, es decir, que la grande es cara estoy modificando el espacio muestral.

 E'={Cx,Cc}

 con función de probabilidad P' (ojo, no P) uniforme.

 S={Cc}

 P'(S)=1/2

 No es lo mismo: P'(S) que P(S) porque el espacio probabilístico es diferente; eso independientemente de que uno lingüísticamente, lo siga leyendo como "probabilidad de que salgan dos caras". Al darle precisión matemática a esa expresión hay que especificar el espacio muestral (en tu lenguaje si quieres, la información disponible).


Efectivamente la introducción de información va modificando el espacio muestral, y eso mismo es lo que hace la probabilidad condicionada: la condición asumida altera el espacio muestral.


De todas formas que la probabilidad depende de la información disponible, ¿no es obvio? ¿no es el reflejo que formalmente se haya introducido el concepto de probabilidad condicionada en matemáticas?.
 

Así lo entiendo yo también. Pero por lo visto no es tan obvio.

Un saludo

28 Octubre, 2007, 08:13 pm
Respuesta #9

Círculo Maldito

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Buenas...

Pues yo lo veo al revés  ::) Bueno, primero un saludo, que es la primera vez que posteo: hola a todos  :) Y ahora, al tema...

Me han chocado vuestras conclusiones. A ver, estoy totalmente convencido de que el razonamiento correcto es el B, y no el A. Si estoy equivocado me encantaría que me explicarais dónde me equivoco porque no lo veo así. Siento no poder usar, en mis argumentaciones, la matemática porque no domino la probabiliad. A decir verdad, casi que ni la huelo. Pero intentaré explicarlo de manera simple.

El error que creo que hace despistar es el propio planteamiento del problema. Se pregunta "¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean cara?". Y esto es "trampita". ¿Por qué? Porque no tenemos que calcular las probabilidades de que ambas sean caras, sino de que lo sea 1. ¿Por qué? Porque ya sabemos SEGURO que una de ellas es cara. Me da igual si es la grande, la pequeña, roja, amarilla o fuscia. Sé que hay una que es cara. No hay que calcular ninguna probabilidad para ella. Lo planteo de otra manera, para que se vea mejor mi punto de vista...

Tenemos un billón de monedas metidas en una habitación (tooooda una habitación entera llena de moneditas) y sabemos que TODAS, SALVO 1 han salido cara. ¿Cuántas probabilidades hay de que todas hayan salido cara? Pues 1/2. Si la última moneda (la que desconocemos) ha salido cara, entonces todas son caras. Si ha salido cruz (otro 1/2), entonces no todas son caras. El "truco" es que planteamos "todas" cuando, en realidad, es 1 moneda. No podemos plantear cuál es la probabilidad sobre un suceso determinado (ya ha sucedido y conocemos que todas aquellas monedas de la habitación salieron cara, salvo esa una). Todo lo que podemos hacer con la probabilidad es para sucesos indeterminados (la última moneda).

¿Cuál es el "truco" que veo en el primer razonamiento A? Pues que se plantean 2 posibilidades que no son posibles simultáneamente. Me explico...

Citar
Hay 3 combinaciones posibles y equiprobables:

Grande cara, pequeña cruz.
Grande cruz, pequeña cara.
Ambas cara.

No. No estoy de acuerdo. Ahí se están baremando 2 veces el mismo acontecimiento (en la 1ª y la 2ª): que una sea cara y la otra no. Probablemente, por el "efecto despiste" de los adjetivos "grande" y "pequeña". Cuando decimos...

Grande cara, pequeña cruz.
Grande cruz, pequeña cara.
Ambas cara.
Ambas cruz

¿Por qué descartamos la última? Porque -tal y como se expresa en el paréntesis- "la combinación cruz-cruz está excluida por la información que tenemos" (es decir: que una es cara). Correcto. Pero es que, por el mismo exacto razonamiento, tampoco podría ser, entonces, una de los 2 primeras posibilidades planteadas (la 1ª ó la 2ª). Precisamente, por la información que tenemos. Si la grande es cara sólo hay 2 posibilidades:

Grande cara, pequeña cruz.
Ambas cara.

Si la cara es la pequeña, sólo puede ser:

Pequeña cara, grande cruz.
Ambas cara.

Pero lo que no puede es baremarse esas 2 posibilidades a la vez porque sabemos que una de ellas SEGURO que no es  y una de ellas SEGURO que sí es (una implica la imposibilidad de la otra). Creo que el error del planteamiento A radica en evaluarlas conjuntamente. Lo planteo así...

Hay un perro enfrente de su ración de comida en el camino A, y un gato enfrente de su ración de comida en el camino B. Sabemos que si soltamos al perro o al gato, la probabilidad de que se coma su ración es del 50%. Lo mismo va y se la come, lo mismo se queda en el sitio y no va hacia el plato, con el mismo peso probabilístico. Soltamos a los animales y alguien le pega un tiro a uno de ellos (uno muere). ¿Cuantas probabilidades hay de que ninguno se coma la comida? Y el razonamiento A, me dice:

El perro no se la come y el gato sí
El gato no se la come y el perro sí
Ninguno se la come

La combinación "se la come-se la come" está excluída por la información que tenemos (uno de ellos ha muerto y jamás podrá comérsela). Sí. Correcto. Pero por la misma razón, una de las dos primeras posibilidades debería de ser excluída también porque sabemos, con seguridad, que un animal ha muerto. Deberíamos plantearlo, para ser precisos, en términos de "El vivo se la come, el muerto no". Que sea un perro o un gato me es indiferente. Pero si el perro ha muerto no podemos plantear la 2ª porque ha muerto. Y si el que ha muerto es el gato no podemos plantear la 1ª por lo mismo (porque ha muerto). ¿Que no sabemos cuál de los 2 ha muerto? Perfecto. Ni falta que nos hace para resolverlo. Pero sí sabemos, al menos, que uno de ellos la ha palmado. Por consiguiente, sabemos al menos, que en el conjunto de probabilidades posibles no podemos baremar simultáneamente a las 2. ¿Todavía no se está muy convencido? Bien...

Hay un animal enfrente de su ración de comida en el camino A, y un animal distinto enfrente de su ración de comida en el camino B. Sabemos que si soltamos a cualquiera de ellos, la probabilidad de que se coma su ración es del 50%. Lo mismo va y se la come, lo mismo se queda en el sitio y no va hacia el plato, con el mismo peso probabilístico. Soltamos a los animales y alguien le pega un tiro a uno de ellos (uno muere). ¿Cuantas probabilidades hay de que ninguno se coma la comida? Sabemos que el animal puede ser un perro, un gato o un puerco-espín. Pues el razonamiento A, me dice:

El perro no se la come y el gato sí
El perro no se la come y el puerco-espín sí
El gato no se la come y el perro sí
El gato no se la come y el puerco-espín sí
El puerco-espín no se la come y el perro sí
El puerco-espín no se la come y el gato sí
Ni el perro ni el gato se la comen
Ni el perro ni el puerco-espín se la comen
Ni el puerco-espín ni el gato se la comen

¿Se entiende el absurdo? Es que si es el gato, el perro o el puerco-espín me da exactamente igual. No es eso lo que nos preguntan, sino cuántas probabilidades hay de que ninguno se la coma (sea quien sea). El planteamiento es:

El vivo se la come y el muerto no
Ninguno se la come.

Lo que me preguntan es cuántas probabilidades hay de que ambas monedas sean cara y, para ello -sabiendo, de antemano, que una ya lo es- sólo debemos baremar la probabilidad de aquella moneda indeterminada que no sabemos si es cara o es cruz. Pero que sea la grande o la pequeña no es relevante para la resolución del enigma. Al menos, eso es lo que creo y así es como lo veo. Si no pensais igual, decidme en qué me equivoco. Pero si podeis evitar fórmulas matemáticas y planteamientos formales, mejor. Ya sé que es un poco absurdo pedir esto en un foro de estas caracterísitcas, pero es que sí no, no me cosco de lo que quereis decir.

Gracias, y un saludo.

28 Octubre, 2007, 10:05 pm
Respuesta #10

LauLuna

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Hola, Círculo Maldito. Bienvenido.

La clave de tu razonamiento es que 'grande cara, pequeña cruz' y 'grande cruz, pequeña cara' deben contarse como un solo acontecimiento: 'una cara y una cruz'.

En realidad eso es como decir que si compras lotería tienes un 50% de probabilidad de que te toque el gordo, porque o bien te toca o bien no, y en estas dos posibilidades podemos empaquetar todo los posibles acontecimientos.

Te propongo un ejemplo muy fácil.

Imagina que tienes en un saco tres bolas numeradas 1, 2, 3.  1 y 2 son blancas y 3 es negra.

Sacando dos bolas al azar consecutivamente ¿cuántas probabilidades hay de que salgan dos blancas?

Yo diría que las combinaciones son:

dos blancas:

1, 2
2,1

distinto color:

1, 3
2, 3
3, 1
3, 2

Así que la probabilidad es de dos blancas es de dos casos entre seis, es decir, 1/3.

Pero siguiendo tu manera de pensar las combinaciones 1, 2 y 2, 1 deberían contarse como un mismo caso (dos blancas); y lo mismo para las combinaciones que dan distinto color.

Entonces la probabilidad para dos blancas sería 1/2.

Para ver que eso no es correcto, considera que al sacar la primera hay dos posibilidades:

A: primera blanca
B: primera negra

Está claro que P(A) = 2/3 y P(B) =1/3

Si se da B, la probabilidad de dos blancas es 0.

Supón entonces A.

Al sacar la segunda tienes estas posibilidades:

C: segunda blanca
D: segunda negra

Claramente P(C|A) = P(D|A) = 1/2

Ahora está claro que la probabilidad de dos blancas es P(A)·P(C|A) = 1/3, porque sacar la primera blanca y la segunda también blanca es la única manera de que salgan las dos blancas.

Un saludo


28 Octubre, 2007, 10:33 pm
Respuesta #11

Círculo Maldito

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Muy buenas, LauLuna...

Pues no estoy de acuerdo en que sea lo mismo. Me parece que todo lo que dices es correcto. La única pega que le encuentro es que no es extrapolable a este ejemplo. Siguiendo mi manera de pensar no se pude concluir como me haces concluir. ¿Por qué? Porque nadie nos está preguntando sobre monedas pequeñas ni monedas grandes. Nos están peguntando por la probabilidad que existe de que salga una cara, sabiendo que ya ha salido una cara. Tira una moneda al aire. Pongamos que sale cara. Estás a punto de tirarla por 2ª vez... ¿cuántas probabilidades hay de que salga cara? 1/2. O sale, o no sale.

El ejemplo que tú me pones sobre las bolas blancas y negras no es comparable. Para que fuese extrapolable a lo que tú me dices me tendrías que preguntar, en todo caso, sobre la probabilidad de que salga cara teniendo en cuanto algo referente al tamaño. Pero no es eso lo que me preguntan. Date cuenta que lo que tú me preguntas ahí es "¿cuántas probabilidades hay de que salgan dos blancas?" En el otro problema no me pregunta nada de eso. Tampoco me preguntan cuántas probabilidades hay de que salgan 2 caras. Me preguntan "cuántas probabilidades hay de que ambas sean caras". O, dicho de otra forma, "Cuántas probabilidades hay de que salga una cara sabiendo que ya ha salido una vez en la otra moneda". Y sólo hay 2 posibilidades: o sale cara, o sale cruz puesto que son sucesos independientes. Podrían haber salido, si quieres, 300 caras y parecerte asomobroso, pero no procede a la hora de resolver el problema. La probabilidad de que salga cara en la última moneda seguirá siendo 1/2, independientemende del número de caras previos que hayan salido y de si esta es blanca, negra, grande o pequeña. Otra cosa sería que incluyeras en la pregunta algo acerca del tamaño. Pero si te fijas bien, nada de eso ocurre en la pregunta que me plantean.

Un salduo

28 Octubre, 2007, 10:55 pm
Respuesta #12

Círculo Maldito

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Buenas, otra vez...

Intento expresarlo de otra manera, a ver si me explico mejor. Voy a modificar ligeramente el enunciado original del problema para que se vea más claro lo que quiero decir. Conste, no obstante, que cambio el enunciado sintético, pero dejo exactamente el mismo contenido analítico...

Alguien lanza 300 monedas al aire, unas grandes, otras pequeñas, unas azules y otras verdes y a continuación informa correctamente de que al menos 299 han salido cara.

¿Cuál es la probabilidad de que todas sean cara?

La respuesta es: pues exactamente las mismas de que no lo sean. Es decir: 1/2. O no lo son (son 299 caras y una cruz) o lo son (299 caras y una cara).

La trampa del enuncido originial está en que nos preguntan por cuál es la probabilidad de que "ambas" lo sean, pero no tenemos que calcular la probabilidad de ambas, ni tampoco la de 300 monedas, ni si es grande tampoco o es pequeña; sino la probabilidad de que la última sea cara. Lo otro ya lo conocemos y está perfectamente determinado: ha salido cara seguro. Igual que han salido 299 monedas con cara seguro. Nos podrá parecer ilógico, pero eso es lo que nos dice el problema y nos lo tenemos que creer, y no tenemos, además, que calcularlo. Lo que nos preguntan ahora es -sabiendo esto- cuantas probabilidades existen de que, también, sea cara la última. Pues las mismas que existen para que, en vez de cara, saliera cruz.

Un saludo

28 Octubre, 2007, 11:29 pm
Respuesta #13

Círculo Maldito

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Por cierto, te pongo más detalladamente por qué creo que no es extrapolable el ejemplo que has puesto. En primer lugar, me estás preguntando por la probabilidad de sacar 2 bolas blancas. No por la probabilidad de que hayas sacado una segunda pelota blanca, sabiendo que la primera era blanca. Y, en segundo lugar y que me acabo de dar cuenta ahora, porque se trataría de un problema de probabilidad condicionada. En función de las bolas previas que hayas sacado -las que sean- será más o menos probable la última que saque, claro. Ninguna de estas 2 cosas se plantean así en el enigma de las monedas. Para que el ejemplo fuese idéntico me tendrías que decir algo así...

Imagina que tienes 100 sacos (o los que sean) con tres bolas numeradas cada uno de ellos: 1, 2, 3.  1 y 2 son blancas y 3 es negra siempre en todos los sacos. Sacas dos bolas al azar consecutivamente de 2 sacos distintos (la 1ª de un saco y la 2ª de otro). A continuación informas correctamente de que, al menos, 1 ha salido blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas?

Pues 2/3.

Un saludo

29 Octubre, 2007, 08:26 am
Respuesta #14

Luis Fuentes

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Hola

 I - Pongámonos de acuerdo primero en lo más directo.

 Supongamos que tiramos dos monedas.

 ¿Cuál es la probablidad de que salgan dos caras?.

 Casos Totales Equiprobables: xx,xc,cx,cc   (4 casos)
 Casos Favorables: cc (1 caso)
 Probabilidad=1/4

 ¿De acuerdo en esto? Quizá pensando en que no hay ni primera moneda ni segunda momeda, un ERROR sería pensar como casos totales equiprobables xx,xc,cc. Y deducir que la probabilidad es 1/3.

 II- Por tanto de manera equivalente el problema anterior puede pensarse así. Tenemos cuatro papeletas, cada una de ellas lleva escrito xx,xc,cx ó cc.
 
 Escogemos una al azar, ¿cuál es la probablidad de que sea la papeleta cc?.

 III - Ahora vamos con el problema que nos toca. Se han tirado dos monedas, sabemos que UNA de ellas es cara, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean cara?.
 
 Con las papeletas sería: sabemos que hemos cogido la papeleta xc,cx ó cc. ¿Cuál es la probabilidad de que salga la papeleta cc?....1/3.

 IV.- Observación. Estás confundiendo estos dos problemas:

 - Se han tirado dos monedas, sabemos que UNA de ellas es cara, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean cara?. (Sol: 1/3)

 - Se tiran sucesivamente dos monedas, sabemos que la primera salió cara, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean cara?. (Sol: 1/2).

Saludos.

29 Octubre, 2007, 09:44 am
Respuesta #15

Círculo Maldito

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Buenass...

Sí, el_manco, lo sé. Ya me di cuenta. Cierto es, cierto es. Perdón por las tonterías que he dicho  :banghead: Sí que es verdad. Es que, cuando escribí esto, pensaba en una problemilla que una vez se me ocurrió y sobre el que una vez discutimos en un foro, que era parecido y decía...

Tiro una moneda y sale cara. Cuando voy a tirar la segunda sé que sólo hay 2 posibilidades (o sale cara o sale cruz) porque, obviamente, son sucesos independientes. Pero antes de disponerme a hacerlo me paro a pensar y digo... Antes salió cara y, si saliese otra vez (en total, 2 caras), sería bastante más improbable que una sola cara. La probabilidad de que salgan 2 caras es de 1/4 y 3/4, por tanto, de que salga cruz.

Esto, obviamente, no era así, claro. Las probabilidades de que saliera cara-cara era la misma de que saliera cara-cruz. La proabilidad de la última tirada, por tanto, seguía siendo 1/2. Al final, llegué a la conclusión de que esto pasaba por baremar un suceso específico e indeterminado (la segunda cara) en conjunto con el ya determinado (la primera cara). Y esto es lo que me ha liado  ::) Pero me he dado cuenta ahora que la conclusión no fue totalmente acertada. Todo esto era válido, en realidad, porque determinábamos que había salido 1º una cara y, por tanto, estábamos estableciendo un orden específico en la secuencia (cara-cruz ó cara-cara). Si preguntamos, sin embargo, cuántas probabilidades hay de que haya una cruz si ya ha salido una cara -sin especificar en qué momento-, pues sería más probable que otra cara, efectivamente; puesto que las posibilidades son más abundantes (cara-cruz ó cruz-cara, frente al cara-cara).

Pero, como decía, esto me ha hecho entender que la razón por la que se daba el error no era tanto por baremar sucesos determinados e indeterminados, puesto que en el problema que planteó LauLuna también hacemos esto mismo y, sin embargo, no ocurre igual. Creo que tiene algo que ver con lo que comentaba ella. Sin embargo -y, perdóname si se me va un poco la pelota divagando o si digo alguna otra burrada más-, creo que no puede radicar exclusivamente en el hecho de que nos aporte cierta información, ni en el hecho de que se trate de sucesos acaecidos o no, ni con lo determinado, ni con lo indeterminado, puesto que en ambos ejemplos suceden cosas similares. Creo que tiene que ver con eso que ya hemos dicho (con la secuencia que se especifica). Pero, más que con la información que nos aporta esa secuencia, con la naturaleza de esa información. Es interesante que no es necesario siquiera el tiempo. El ejemplo está en eso de grande o pequeña. Eso no establece relación temporal alguna en la secuencia. Lo curioso es que nuestro lenguaje ejerce cierto efecto psicológico cambiándola sutilmente. Me explico...

Si lo que preguntamos es cuántas probabilidades hay de que haya una cara si ya la primera es cara, establecemos con ello una secuencia específica y, por tanto, sólo habríamos de calcular el último valor indeterminado (1/2). Si preguntamos, en cambio, cuántas probabilidades hay de que haya una cara si ya ha salido una cara (esto es: 2 caras), pero SIN matizar orden, entonces el número de casos posibles aumentan y las probabilidades disminuyen (como se ha dicho, las posibilidades serían, entonces, cara-cara, cara-cruz, cruz-cara). Dicho de otra forma, cuanto más distintivo sea el orden que definimos menos probabilidades, y viceversa. Pero el caso es que ese orden lo definimos continuamente, y de manera implícita, con las relaciones categoriales que establecemos nosotros mentalmente. Y esto es lo que me "curiosea". Por ejemplo...

Cuando preguntamos "cuántas probabilidades hay de que AMBAS sean cara" o de que "TODAS sean cruces", estamos dfiniendo una secuencia muy específica. Sin embargo, el "efecto óptico" es el contrario. Parece que cuando hacemos esta clase de afirmaciones estamos generalizando o haciendo referencia a un conjunto amplio. Simplemente, pensamos que todas son caras o todas son cruces sin establecer ningún tipo de orden (y puede ser cierto que no establezcamos orden, pero la secuencia sí es bastante específica). Y se tiende a pensar que especificamos más cuando especificamos tantas caras y tantas cruces (cuando, en realidad, es casi al revés si no definimos el orden). Yo creo que el matiz no es que la información nos aporte una secuencia temporal (aunque, a veces, lo indiquemos implícitamente: ANTES cara y, LUEGO, cruz) ni "intemporal" (grande-cara, chica-cruz), sino el hecho de que estas secuencias sean más o menos distintivas (la cateogría establecida abarque un mayor o menor número de casos proporcionalmente).

Bueno, sólo era una paranoya mía que te cagas que se me acaba de ocurrir :-\ La verdad es que todavía no tengo claro exactamente el por qué algunas veces estas confusiones, pero me parece que el punto de vista psicológico es muy interesante. ¿Sabeis de algún autor o algún libro -aparte de los citados- que hable sobre esto, o sobre algo parecido? Es que me interesa muchísimo este aspecto psicológico ::)

Venga, muchas gracias por vuestras respuestas y por vuestra paciencia. Que estoy totto  :banghead:

Un saludo

29 Octubre, 2007, 12:02 pm
Respuesta #16

LauLuna

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Como bien dice el_manco, con el ejemplo de las tarjetas, el núcleo de la cuestión es distinguir entre estos dos casos:

1. Saber que al menos una moneda ha salido cara sin saber cuál es.
2. Saber que la primera (o la grande, o la...) ha salido cara, sin saber nada de la otra.

La diferencia reside en que en el primer caso hay dos maneras diferentes de que NO salgan ambas cara: cx, xc, y sólo una de que ambas sean cara. En el segundo caso las posibilidades se reducen a dos: cx, cc.

Lo que yo creo que causa perplejidad aquí es que, cuando sabemos que una moneda ha salido cara sin saber cuál, también sabemos que, EN LA REALIDAD OBJETIVA E INDEPENDIENTE DE NUESTRO CONOCIMIENTO, ha tenido que ser una determinada: o la primera o la segunda, de modo que parece que el primer caso es el mismo que el segundo.

Esto fue precisamente lo que me llevó a proponer el problema. Y de ahí mi conclusión: la probabilidad es subjetiva en el sentido de que es la manera matemática en la que un agente racional debe gestionar su información incompleta para formar sus expectativas. Esta es la interpretación de Bayes.

Por eso, tu confusión me causa un malvado placer ;-), porque demuestra que hay ahí algún problema lógico.

Tu ejemplo de las 300 monedas es diferente, porque ahí sólo tenemos, dada la información disponible, dos resultados equiprobables posibles.

Un saludo


31 Octubre, 2007, 03:11 pm
Respuesta #17

Círculo Maldito

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Holass...

Creo que, efectivamente, se identifica erróneamente ambas opciones como la misma (cara-cruz, cruz-cara). Tal vez porque se tiende a creer -a bote pronto- que, cuando se nos dice que "una de ellas es cara", se nos está planteando lo mismo que cuando nos dicen que "la grande es cara" (o "la pequeña es cara"). Fijaros si es puñetero el lenguaje que la creencia de la frase anterior sería correcta o incorrecta según se omita o no los 2 signos del paréntesis jejej.

Igualmente, parece que la información que aportaríamos diciendo que lo es la grande es la misma que decir que la primera moneda es cara. Lo curioso es que hacer alusión a su categoría ("la grande") conlleva los mismos efectos que establecer una posición concreta en el espacio o el tiempo, aun cuando no establecemos posición alguna, ni en el espacio ni en el tiempo. Es desconcertante. Pero creo que adivino dónde podría residir la magia. Si decimos...

cara-cruz
cruz-cara

La ilusión óptica es que son la misma cosa, pero invirtiendo sus respectivas posiciones cuando, realmente, son 2 cosas totalmente diferentes. Veamos, cogemos las monedas y le pasamos una manita de pinturita. Una la pintamos de blanca por la cara y negra por la cruz; la otra roja por la cara y azul por la cruz. Las tiramos 4 veces. Tendríamos, idealmente:

1 - cara-cara (blanca-roja)
2 - cara-cruz (blanca-azul)
3 - cruz-cara (negra-roja)
4 - cruz-cruz (negra-azul)

Como vemos, la 2 y la 3 (cara-cruz, cruz-cara) no tienen nada que ver (blanca-azul, negra-roja). No nos salen invertidos sus colores, que es la impresión que daba. Esto puede parecer una gilipollez y, probablmente, lo sea. Pero creo que así se entiende mejor la "magia". Si cogemos, ahora, la otra situación ("la grande es cara") sería (supongamos que la grande es la blanca y negra):

1 - cara-cara (blanca-roja)
2 - cara-cruz (blanca-azul)

Podríamos coger la 2 e invertir las posciciones, pero blanca-azul y azul-blanca sí que serían lo mismo entonces. Creo, por tanto, que lo significativo no es el tamaño en sí, sino el hecho de que esa información que aportamos la identifique de manera idiosincrásica con respecto a las otras, y esto es lo que establce ese supuesto orden. El simple hecho de que sea DISTINTA A otra es lo que establece una secuencia u otra, más que la posición en el espacio o la sucesión en el tiempo (que no serían más que otras formas más de identificarla). Pero una cosilla...

Creo que el ejemplo de las 300 monedas no es diferente. Ahora has "picado" tú jejje :P Creo que la respuesta no es 1/2, sino 1/301. Vamos, es la conclusión a la que se llega con el razonamiento que habeis usado. O no es cierto el primero o no es cierto que, aquí, sea 1/2. Pero lo que no puede ser es uno y otro porque estamos aplicando lo mismo...

Citar
Alguien lanza 300 monedas al aire, unas grandes, otras pequeñas, unas azules y otras verdes y a continuación informa correctamente de que al menos 299 han salido cara.

¿Cuál es la probabilidad de que todas sean cara?

La respuesta es: pues exactamente las mismas de que no lo sean. Es decir: 1/2. O no lo son (son 299 caras y una cruz) o lo son (299 caras y una cara).

No es cierto por las mismas razones que en lo otro. Estamos interpretando que "al menos 299 han salido cara" significa 299 primeras caras y la última cara/cruz. Pero no es así. Imaginamos que sólo puede ser todas caras, o todas caras salvo la última. Pero, realmente, pueden ser: todas caras, 299 caras-cruz, 298 caras-cruz-cara, 197 caras-cruz-2 caras, 196 caras-cruz-3 caras... cruz-299 caras. En realidad hay una probabilidad de 300/301 a que sea cruz! :o ¿No es así? ¿No me habré vuelto a equivocar? Vamos, que hablando coloquialmente SEGURO que es cruz y SEGURO que no es cara. Qué paranoya  ::)

Vamos a pintarle sólo las cruces para que no parezca esto los Teletubbies. Si decimos que, al menos, 299 han salido cara es lo mismo que decir que una de ellas no sabemos cómo ha salido (si cara o cruz). ¿Pero cuál? Ni idea. Podría ser la roja, la verde, la naranja, la azul... Podría ser cada una de ellas (300) cada uno de los casos en los que apareciera una cruz. Sin embargo, sólo habría un caso en el que aparecerían todas caras, no? Aunque me he dado cuenta que esto de la exageración -que viene muy bien en otros contextos para verlo más claro-, aquí en probabilidad lo lía más, creo. Imaginémoslo con 3 monedas y que 2 de ellas han salido cara. Los colores de las cruces de las respectivas monedas son, por ejemplo, blanca, negra y roja, y se ve más claro. Sería 1/4. Siempre 1 más del nº de monedas, en el denominador.

Si me he equivocado otra vez, decídmelo. Pa pegarme ya, definitivamente, un tiro. Eso sí. Sería con la ruleta rusa. A ver, sería 1 bala... entre catorcequince huecos... de color rojo los huecos... no, la bala...  ::)  :D

Un saludo

31 Octubre, 2007, 03:30 pm
Respuesta #18

LauLuna

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Sí, te equivocas otra vez con lo de las 300. La clave es pensar en los resultados posibles, que ahí son sólo 2:

299c, 1x

299c, 1c

y estos dos resultados son equiprobables.

La información acerca de cuál es esa moneda que queda en duda es aquí irrelevante porque no modifica el números de posibles resultados.

Esa es exactamente la diferencioa con el otro caso: allí esa información alteraba el número de casos posibles.

Un saludo

31 Octubre, 2007, 04:00 pm
Respuesta #19

Círculo Maldito

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Pues no lo entiendo. ¿Qué diferencia existe con el razonamiento que usó el_manco? Recuerda lo que me puso de las tarjetitas...

Con su I llegamos a 1/2^300. Ese es el número de papeletas. Y aquellas entre las que tenemos que elgir son las que tienen, entre sus combinaciones, 299 caras, no? En el otro decíamos las que tenían, al menos, 1 cara...

cc
cx
xc

¿Podemos decir que, con 4, las que tendrían 3 serían?...

cccc
cccx
ccxc
cxcc
xccc

¿Y por qué con 300 no podemos decir que las que tendrían 299 serían?...

cccccc...ccc
cccccc...ccx
cccccc...cxc
...
xccccc...ccc

No entiendo cuál es la diferencia  ???