[energy]

Me piden una demostración de la suma de los ángulos internos de un prisma triangular, y no tengo ni idea de por donde empezar, conoceis algún sitio donde aparezca la demostración de los ángulos internos de un poliedro convexo?.

Un saludo!

[Luis Fuentes]

Hola

Me piden una demostración de la suma de los ángulos internos de un prisma triangular, y no tengo ni idea de por donde empezar, conoceis algún sitio donde aparezca la demostración de los ángulos internos de un poliedro convexo?.

Un saludo!

Tengo ciertas dudas sobre exactamente qué te esán pidiendo.

¿Qué entiendes por "ángulo interno de un prisma" o en general de un poliedro?.

Saludos.

[energy]

La suma de ángulos de un prisma rectangular no recto, y entiendo por ángulo interno el que forman los planos de las caras, osea lo angulos diedros.
Un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

La suma de ángulos de un prisma rectangular no recto, y entiendo por ángulo interno el que forman los planos de las caras, osea lo angulos diedros.
Un saludo

De acuerdo, te refieres a los ángulos diedros.

En primer lugar ten en cuenta que la suma de los ángulos diedros de un poliedro convexo no es una constante que dependa sólo del número de caras.

Ahora para el caso de un prisma recto con base un polígono de \( n \) lados, la suma de los ángulos diedros son:

- Las caras laterales forman ángulos diedros que suman lo mismo que los internos del polígono base, \( \pi(n-2). \)

- Cada cara lateral con base y tapa forma dos ángulos que suman \( \pi. \)

 Por tanto en total:

 \( \pi(n-2)+n\pi=2\pi(n-1) \)

Saludos.

[energy]

Si, ese razonamiento me es válido para un prisma recto, es lógico, pero una demostracion de uno no recto, imaginemos que es un corte por un plano perpendicular a la base de un paralelepípedo, dejando dos prismas no rectos. Cuando miden los ángulos de uno de ellos?.
Es un ejercicio que dejo la profesora de álgebra y nos dijo que era constante o algo asi.

[Luis Fuentes]

Hola

Si, ese razonamiento me es válido para un prisma recto, es lógico, pero una demostracion de uno no recto, imaginemos que es un corte por un plano perpendicular a la base de un paralelepípedo, dejando dos prismas no rectos. Cuando miden los ángulos de uno de ellos?.
Es un ejercicio que dejo la profesora de álgebra y nos dijo que era constante o algo asi.

No. Si no me equivoco si el prisma no es recto ese ángulo no es constante.

Prueba lo siguiente. Toma un prisma triangular que tenga en la base los vértices \( (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0) \) y en la altura \( (1,0,1),(2,0,1),(1,1,1) \) (es decir la base desplazada según el vector \( (1,0,1)) \).

Calcula los ángulos diedros de las caras laterales (se trata de hallar la ecuación de tres planos conocidos los puntos por donde pasa y los ángulos que forman).

Saludos.

[energy]

Pero el vector 0 no puede contener a un prisma, según mi definición de prisma no recto, ya que no tendría altura el prisma, unión por segmentos de dos triangulos. El que forman los dos vectores y el 0 con la altura del tercer vector.

[Luis Fuentes]

Hola

Pero el vector 0 no puede contener a un prisma, según mi definición de prisma no recto, ya que no tendría altura el prisma, unión por segmentos de dos triangulos. El que forman los dos vectores y el 0 con la altura del tercer vector.

¿Pero quien ha dicho nada del vector cero?. Los datos que te doy son los de los tres vértices del prisma. El dibujo es este:



Saludos.

[energy]

Vale, entendí mal, pensé que cada tres vertices era un prisma, saludos, ahora voy a comprobar mis dudas, pero según lo que me acaba de decir la profesora la suma de los 3 angulos entre las caras que son paralelogramos suman 180. Que da igual que este recto el prisma o no, dudo de eso, por lo que voy a comprobarlo, si que se que la suma de angulos entre las tapas y las caras son 180 por cada dos y como hay 3 pues 540

[Carlos Ivorra]

En general, la suma de los ángulos de las caras que confluyen en un vértice de un poliedro convexo es menor o igual que 360 grados, y la diferencia se llama el defecto del vértice. Descartes demostró que la suma de los defectos de los vértices de un poliedro convexo es de 720 grados.

http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_defect

Si aplicamos esto a un prisma triangular, que tiene seis vértices, la suma de los ángulos es \( \dfrac{6\cdot 360-720}2=2\cdot 360 \). Divido entre dos porque cada ángulo lo estamos contando dos veces, ya que su arista acaba en dos vértices.