[Luis Fuentes]

Hola

En general, la suma de los ángulos de las caras que confluyen en un vértice de un poliedro convexo es menor o igual que 360 grados, y la diferencia se llama el defecto del vértice. Descartes demostró que la suma de los defectos de los vértices de un poliedro convexo es de 720 grados.

http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_defect

Si aplicamos esto a un prisma triangular, que tiene seis vértices, la suma de los ángulos es \( \dfrac{6\cdot 360-720}2=2\cdot 360 \). Divido entre dos porque cada ángulo lo estamos contando dos veces, ya que su arista acaba en dos vértices.

Tengo algo de prisa, pero no lo veo claro. Parecería que de tu argumento se podría deducir que la suma de ángulos diedros es constante para cualquier poliedro convexo. Lo que si estoy seguro es que la suma de los ángulos diedros de un tetraedro no es constante:

http://math.stackexchange.com/questions/310005/sum-of-dihedral-angles-in-tetrahedron

ó

Gaddum, J. W. The sums of the dihedral and trihedral angles in a tetrahedron. Amer. Math. Monthly 59, (1952). 370–371

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Me temo que yo iba con más prisa. El concepto de "defecto" hace referencia a la suma de los ángulos de las caras (como polígonos), no de los ángulos diedros entre las caras. Olvidad mi mensaje anterior.   

[energy]

Pero los 3 angulos entre los planos que contienen las caras de 4 vertices forman 180? O solo si es recto?
Un saludo, y por cierto ya me confundí un par de veces con lo de ángulos internos y se referian a los de las caras.

[Luis Fuentes]

Hola

 mmm... me había equivocado en unas cuentas...ahora creo que es cierto y que para cualquier prisma la suma es constante... Cuando tenga tiempo intentaré escribir una justificación.

Saludos.

[energy]

Yo he hecho este razonamiento, cada par de plano de una tapa con un plano que pase por los paralelogramos suman 180º y como hay 3 pares es 540º, a esto hay que sumarle los 180º que suman los tres planos, y como se cortan dos a dos, utilizando el método de los cortes, son triángulos, luego suman 180º. En total 720º.

Creo que es por eso, si puedes (que seguro) dar un razonamiento mas elegante, adelante. Un saludo!