El teorema es exactamente el mismo.
Tenemos \( (X,\|\cdot\|) \) y \( (Y,\|\cdot\|) \) Banach y \( B:\,X\times Y\rightarrow\mathbb{K} \) bilineal y continua en cada componente.
- Dado \( x\in X \), definimos el funcional \( B_x:\,Y\rightarrow\mathbb{R} \) por \( B_x(y):=B(x,y) \) para todo \( y\in Y \), y
- Dado \( y\in Y \), definimos el funcional \( B_y:\,X\rightarrow\mathbb{R} \) por \( B_y(x):=B(x,y) \) para todo \( x\in X \).
Se sigue que \( B_x \) y \( B_y \) son funcionales lineales y continuos, por lo que existen \( \|B_x\| \) y \( \|B_y\| \) tales que
\( \displaystyle\sup_{\|x\|=1}\|B_y(x)\|=\|B_x\|<\infty \) y \( \displaystyle\sup_{\|y\|=1}\|B_x(y)\|=\|B_y\|<\infty \).
Considera la familia indexada de transformaciones de \( X \) en \( \mathbb{R} \):
\( \{B_y:\,\|y\|=1\} \).
Ahora queda aplicar el teorema de Banach-Steinhaus y concluir. Cuéntanos como te va.
A continuación reescribo lo que llevamos en la forma de como enunciaste el teorema.
Tenemos que \( X \) y \( \mathbb{R} \) son espacios normados, y que \( \{B_y:\,\|y\|=1\}=\{B_y\}_{y\in I} \) es una familia de aplicaciones lineales y continuas de \( X \) en \( \mathbb{R} \), donde \( I=\{y\in Y:\,\|y\|=1\} \).
(i) \( X \) es Banach.
(ii) Para cada \( x\in X \) el conjunto \( \{B_y(x)\}_{y\in I} \) es acotado en \( \mathbb{R} \).
Luego, el teorema afirma que el conjunto \( \{\|B_y\|\}_{y\in I} \) es acotado en \( \mathbb{R} \) por lo que existe \( M>0 \) tal que
\( M\geq\displaystyle\sup_{y\in Y,\|y\|=1}\|B_y\|=\sup_{y\in Y,\|y\|=1}\left[\sup_{x\in X,\|x\|=1}|B_y(x)|\right] \) (def de norma del operador)
\( =\displaystyle\sup_{y\in Y,\|y\|=1}\sup_{x\in X,\|x\|=1}|B(x,y)|=\sup_{y\in Y}\sup_{x\in X}|B(\dfrac{x}{\|x\|},\dfrac{y}{\|y\|})| \)
\( =\displaystyle\sup_{y\in Y}\sup_{x\in X}\dfrac{|B(x,y)|}{\|x\|\,\|y\|}\geq \dfrac{|B(x,y)|}{\|x\|\,\|y\|} \) para todo \( (x,y)\in X\times Y\setminus (0,0) \)
de donde
\( |B(x,y)|\leq M\|x\|\,\|y\| \).
