[Luis Fuentes]

Hola

una duda mas , como pruebo que B es continua apartir de eso ?

\( |B(x,y)-B(x',y')|\leq |B(x,y)-B(x,y')|+|B(x,y')-B(x',y')|= \)

\( =|B(x,y-y')|+|B(x-x',y')|\leq M(\|x\|\|y-y'\|+\|x-x'\|\|y'\|) \)

¿Sabes terminar?.

Saludos.

[abelito]

como \(   \left\|{y-y'}\right\|  \) tiende a cero y con x lo mismo entonces todo eso tiende a cero y por tanto \(  B(x,y) \rightarrow{} B(x',y')  \) no ?

[Luis Fuentes]

Hola

como \(   \left\|{y-y'}\right\|  \) tiende a cero y con x lo mismo entonces todo eso tiende a cero y por tanto \(  B(x,y) \rightarrow{} B(x',y')  \) no ?

Esa es la idea aunque no se cuan riguroso lo quieres formalizar. Si estamos comprobando la continuidad en \( (x,y) \) quizá todavía puedes acotar como:

\( |B(x,y)-B(x',y')|\leq M(\|x\|(\|x\|\|y-y'\|+\|x-x'\|(\|y\|+\|y-y'\|) \)

de manera que fijado un \( \epsilon \) puedes escoger un \( \delta \) tal que si

\( \|x-x'\|,\|y-y'\|<\delta \)

entonces:

\( M(\|x\|(\|x\|\|y-y'\|+\|x-x'\|(\|y\|+\|y-y'\|)\leq M(\|x\|\delta+(\|y\|+\delta)\delta)<\epsilon \)

Saludos.

[abelito]

buenas , una duda mas
como puedo probar que{ \(  {B_y:  \left\|{y}\right\| = 1 }  \)} es acotada ?

[Luis Fuentes]

Hola

buenas , una duda mas
como puedo probar que{ \(  {B_y:  \left\|{y}\right\| = 1 }  \)} es acotada ?

Supongo que te refieres a que fijado un \( x \), \( \{B_y(x)|\|y\|=1\} \) es acotado.
 Esto es consecuencia de que el funcional \( f(y)=B(x,y) \) es lineal continuo (por hipótesis) y por tanto acotado sobre los \( y \) unitarios.

Esto permite aplicar el Teorema de Banach-Steinhaus y deducir después que \( \{\|B_y\|\}_{y\in I} \) es acotado.

Saludos.

[abelito]

Muchas gracias el manco
saludos .