[marion]

Hola
Tengo una duda respecto a un problema de geometría vectorial que dice:
Sean \( L_1=\left\{{P\in{\mathbb{R}^3}/P=(6,1,5)+\alpha\overrightarrow{a}, \alpha\in{\mathbb{R}}}\right\} \), \( L_2=\left\{{Q\in{\mathbb{R}^3}/Q=(3,0,-2)+\tau\overrightarrow{b}, \tau\in{\mathbb{R}}}\right\} \) y \( L_3=\left\{{R\in{\mathbb{R}^3}/R=(-2,4,0)+s\overrightarrow{c}, s\in{\mathbb{R}}}\right\} \) rectas mutuamente ortogonales que se intersectan en un punto V, vértice de una pirámide. Sabiendo que \( \overrightarrow{a}=(2,1,3) \), que las aristas que pertenecen a las rectas dadas en las direcciones \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) miden \( \sqrt{14} \) unidades, halle los vértices de la base tal que \( \begin{bmatrix}\vec{a},\vec{b},\vec{c}\end{bmatrix}>0 \)

Si \( V=(v_1,v_2,v_3) \), ¿yo puedo considerar a \( \vec{b}=V-(3,0,-2) \) y a \( \vec{c}=V-(-2,4,0) \) y decir que \( \vec{a}=\vec{b}\times{\vec{c}} \)? (Ya que \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) son mutuamente ortogonales).
Porque si hago eso me queda un sistema de ecuaciones en función de \( v_1, v_2, v_3 \)

[ingmarov]

Hola marion

No te respondo, estoy pensándolo, pero en lugar de responder, pregunto ¿cómo garantizas que los vectores b y c son ortogonales?

Lo seguiré pensando.

[marion]

Hola ingmarov

... ¿cómo garantizas que los vectores b y c son ortogonales?

Porque \( \vec{b}, \vec{c} \) son los vectores direccionales de las rectas \( L_2, L_3 \) respectivamente, las cuales son ortogonales.

Si yo considero \( \vec{a}=\vec{b}\times{\vec{c}} \) como dije, entonces:
\( (2,1,3)=(v_1-3,v_2,v_3+2)\times{(v_1+2,v_2-4,v_3)} \)
\( (2,1,3)=(4v_3-2v_2+8,5v_3+2v_1+4,-5v_2-4v_1+12) \)
\( 4v_3-2v_2=-6 \)
\( 5v_3+2v_1=-3 \)
\( 5v_2+4v_1=9 \)
Pero creo que tiene infinitas soluciones.

Parecía una buena idea, de hecho se cumpliría que \( \begin{bmatrix}\vec{a},\vec{b},\vec{c}\end{bmatrix}=\vec{a}.(\vec{b}\times{c})=\vec{a}.\vec{a}= \left\|{a}\right\|^2>0 \) lo cual era una condición del problema (era una buena señal).

[ingmarov]

Yo no sé si es buena idea o no tan buena

hay otras cosas a considerar

\( |\vec{a}|=|\vec{b}||\vec{c}| \) ya que b y c son ortogonales.

Además el producto punto de cada par de ellos es cero. esto está de más,  algo equivalente a lo anterior, probar que  \( \vec{b}\cdot\vec{c}=0 \)

Perdón, la he editado varias veces

[marion]

Ok, ingmarov, no hay problema.

...
hay otras cosas a considerar

\( |\vec{a}|=|\vec{b}||\vec{c}| \) ya que b y c son ortogonales.

Además el producto punto de cada par de ellos es cero. esto está de más,  algo equivalente a lo anterior, probar que  \( \vec{b}\cdot\vec{c}=0 \)

Tienes razón, tengo que considerar más cosas de las que aguanto.

Otra cosa que me he fijado es que \( \left |{\vec{a}}\right |=\sqrt{14} \) eso quiere decir que si fijamos el punto final del vector \( \vec{a} \) en \( V \) entonces el punto inicial debe caer exactamente en uno de los vértices. Mi única dificultad (y a lo que se reduce el problema) es hallar ese \( V \).
Hasta mañana.

[ingmarov]

Se me ocurrió algo y es lo siguiente:

Que los segmentos que unen los tres puntos dados son las hipotenusas de tres triángulos rectángulos.

Quiero decir el vector que va de (6,1,5) a (3,0,-2) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos comparte con los otros dos triángulos. Y ¿para que sirve eso? Todavía no lo sé. 

[marion]

Hola, pero creo que no se puede asegurar que lo sean.
El punto (6,1,5) es un punto cualquiera de la recta \( L_1 \) y solo sirve para determinar dicha recta. Lo mismo pasa con (3,0,-2) y (-2,4,0).

Yo puedo considerar a \( \vec{b}=(v_1-3,v_2,v_3+2) \) y a \( \vec{c}=(v_1+2,v_2-4,v_3) \) y, como son mutuamente ortogonales, decir que \( \vec{a}.\vec{b}=0 \), \( \vec{a}.\vec{c}=0 \) y \( \vec{b}.\vec{c}=0 \)
Entonces me quedaría \( 2v_1+v_2+3v_3=0 \) y \( v_1^2+v_2^2+v_3^2-v_1-4v_2+2v_3=6 \) y de ahí no sé.

PD: Al menos no me piden hallar el volumen 

[marion]

Después de darle mucha vuelta al problema noté que, como \( V  \) es un punto de la recta \( L_1 \), entonces debe cumplir su ecuación, es decir:
\( V=(6,1,5)+\alpha \vec{a} \)
\( (v_1,v_2,v_3)=(6+2\alpha,1+\alpha,5+3\alpha) \)
Operando quedan 3 ecuaciones con un parámetro \( \alpha \) y al quitar el parámetro queda:
\( \displaystyle\frac{v_1-6}{2}=v_2-1=\displaystyle\frac{v_3-5}{3} \)
De esto, y de

Entonces me quedaría \( 2v_1+v_2+3v_3=0 \)

salen los valores \( v_1=2, v_2=-1 \) y \( v_3=-1 \)
No sé usted pero yo lo tomo . Me pareció un problema interesante, como para un examen de 5 horas.
Saludos y gracias por su tiempo.

[ingmarov]

Sí a mi también me parece interesante. Por la tarde usaré estos vectores que encontraste para terminarlo si veo algo raro lo publicaré.

¿Ya encontraste el punto de intersección de las rectas?

[marion]

Hola
Ese \( V \) es la intersección de las 3 rectas y es lo que he hallado.
Ahora para hallar los demás vértices, por ejemplo para el vértice \( x=(x_1,x_2,x_3) \) que está en \( L_1 \), se puede usar esto:

Otra cosa que me he fijado es que \( \left |{\vec{a}}\right |=\sqrt{14} \) eso quiere decir que si fijamos el punto final del vector \( \vec{a} \) en \( V \) entonces el punto inicial debe caer exactamente en uno de los vértices.

O sea \( \vec{a}=V-x \)
\( (2,1,3)=(2,-1,-1)-(x_1,x_2,x_3) \)
Entonces \( x_1=0, x_2=-2 \) y \( x_3=-4 \)
Para los demás vértices habría que hallar primero \( \vec{b} \) y \( \vec{c} \).