[ingmarov]

Hola
Ese \( V \) es la intersección de las 3 rectas y es lo que he hallado.
Ahora para hallar los demás vértices, por ejemplo para el vértice \( x=(x_1,x_2,x_3) \) que está en \( L_1 \), se puede usar esto:

Otra cosa que me he fijado es que \( \left |{\vec{a}}\right |=\sqrt{14} \) eso quiere decir que si fijamos el punto final del vector \( \vec{a} \) en \( V \) entonces el punto inicial debe caer exactamente en uno de los vértices.

O sea \( \vec{a}=V-x \)
\( (2,1,3)=(2,-1,-1)-(x_1,x_2,x_3) \)
Entonces \( x_1=0, x_2=-2 \) y \( x_3=-4 \)

Para los demás vértices habría que hallar primero \( \vec{b} \) y \( \vec{c} \).

Tuve un momento para comprobar el punto de intersección V (2,-1,-1), Y es correcto.

Gracias marion por compartir la solución!

[Abdulai]

\( L_1=\left\{{P\in{\mathbb{R}^3}/P=(6,1,5)+\alpha\overrightarrow{a}, \alpha\in{\mathbb{R}}}\right\} \)
\( L_2=\left\{{Q\in{\mathbb{R}^3}/Q=(3,0,-2)+\tau\overrightarrow{b}, \tau\in{\mathbb{R}}}\right\} \)
\( L_3=\left\{{R\in{\mathbb{R}^3}/R=(-2,4,0)+s\overrightarrow{c}, s\in{\mathbb{R}}}\right\} \)
rectas mutuamente ortogonales que se intersectan en un punto V, vértice de una pirámide.
\( \overrightarrow{a}=(2,1,3) \)


Deben existir entonces  \( \alpha\;,\;\tau\overrightarrow{b}\;,\;s\overrightarrow{c} \) tales que:

\( V = P+\alpha\overrightarrow{a}=Q+\tau\overrightarrow{b}=R+s\overrightarrow{c} \)

Multiplicando escalarmente todo por  \( a \), aprovechando la ortogonalidad y evaluando.

\( V = P\cdot \overrightarrow{a}+\alpha|\overrightarrow{a}|^2=Q\cdot \overrightarrow{a}=R\cdot \overrightarrow{a}  \)

\( V = 28+\alpha\; 14=0=0 \)

\( \;\;\longrightarrow\;\;\alpha=-2\;\;\longrightarrow\;\;V=P+\alpha\overrightarrow{a}=[2, -1, -1] \)

, que las aristas que pertenecen a las rectas dadas en las direcciones \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) miden \( \sqrt{14} \) unidades, halle los vértices de la base tal que \( \begin{bmatrix}\vec{a},\vec{b},\vec{c}\end{bmatrix}>0 \)

No entiendo a que se refiere el último párrafo.

Primero se calculan los vectores b y c

\( V=Q+\tau\overrightarrow{b}\;\;\longrightarrow\;\;\tau\overrightarrow{b}=V-Q=[-1,-1,1] \)

\( V=R+s\overrightarrow{c}\;\;\longrightarrow\;\;s\overrightarrow{c}=V-R=[4,-5,-1] \)

Los vértices de la base estarán en:

\( A1 = V + \sqrt{14}\;\dfrac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} \)

\( B1 = V + \sqrt{14}\;\dfrac{\tau\overrightarrow{b}}{|\tau\overrightarrow{b}|} \)

\( C1 = V + \sqrt{14}\;\dfrac{s\overrightarrow{c}}{|s\overrightarrow{c}|} \)

Aunque eso dependerá del sentido tomado en los vectores b y c.

[marion]

\( L_1=\left\{{P\in{\mathbb{R}^3}/P=(6,1,5)+\alpha\overrightarrow{a}, \alpha\in{\mathbb{R}}}\right\} \)
\( L_2=\left\{{Q\in{\mathbb{R}^3}/Q=(3,0,-2)+\tau\overrightarrow{b}, \tau\in{\mathbb{R}}}\right\} \)
\( L_3=\left\{{R\in{\mathbb{R}^3}/R=(-2,4,0)+s\overrightarrow{c}, s\in{\mathbb{R}}}\right\} \)
rectas mutuamente ortogonales que se intersectan en un punto V, vértice de una pirámide.
\( \overrightarrow{a}=(2,1,3) \)


Deben existir entonces  \( \alpha\;,\;\tau\overrightarrow{b}\;,\;s\overrightarrow{c} \) tales que:

\( V = P+\alpha\overrightarrow{a}=Q+\tau\overrightarrow{b}=R+s\overrightarrow{c} \)

Multiplicando escalarmente todo por  \( a \), aprovechando la ortogonalidad y evaluando.

\( V = P\cdot \overrightarrow{a}+\alpha|\overrightarrow{a}|^2=Q\cdot \overrightarrow{a}=R\cdot \overrightarrow{a}  \)

\( V = 28+\alpha\; 14=0=0 \)

\( \;\;\longrightarrow\;\;\alpha=-2\;\;\longrightarrow\;\;V=P+\alpha\overrightarrow{a}=[2, -1, -1] \)
...
Primero se calculan los vectores b y c

\( V=Q+\tau\overrightarrow{b}\;\;\longrightarrow\;\;\tau\overrightarrow{b}=V-Q=[-1,-1,1] \)

\( V=R+s\overrightarrow{c}\;\;\longrightarrow\;\;s\overrightarrow{c}=V-R=[4,-5,-1] \)

Los vértices de la base estarán en:

\( A1 = V + \sqrt{14}\;\dfrac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} \)

\( B1 = V + \sqrt{14}\;\dfrac{\tau\overrightarrow{b}}{|\tau\overrightarrow{b}|} \)

\( C1 = V + \sqrt{14}\;\dfrac{s\overrightarrow{c}}{|s\overrightarrow{c}|} \)

Sin palabras 

, que las aristas que pertenecen a las rectas dadas en las direcciones \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) miden \( \sqrt{14} \) unidades, halle los vértices de la base tal que \( \begin{bmatrix}\vec{a},\vec{b},\vec{c}\end{bmatrix}>0 \)

No entiendo a que se refiere el último párrafo.

\( \begin{bmatrix}\vec{a} \vec{b} \vec{c}\end{bmatrix} \) representa el triple producto escalar de \( \vec{a},\vec{b},\vec{c} \), y se define como \( \begin{bmatrix}\vec{a} \vec{b} \vec{c}\end{bmatrix}=\vec{a}.(\vec{b}\times{\vec{c}}) \)
No sé que implicaciones trae para el problema, aunque ahora que lo dices, creo que tiene que ver con esto:

Aunque eso dependerá del sentido tomado en los vectores b y c.

Muchas gracias.

[ingmarov]

Una última cosa si no les molesta, algo que hasta ahora considero, quizás no he leído suficiente lo que han escrito. O estoy confundido.

Tomando a V como cúspide de la pirámide y usando los puntos de las rectas como aristas de la pirámide a construir, es posible construir, si no me equivoco, ocho pirámides. Y la condición:

\( \vec{a}.(\vec{b}\times{c})>0 \)

Reduce las posibilidades a la mitad. (4 pirámides)

[marion]

Hola
Teniendo a un V como cúspide solo se podrían construir dos pirámides (dado un valor fijo para las aristas), entonces, si lo que dices es cierto, se tendría cuatro valores para V.
Pero Abdulai probó que el valor de V es único, así que solo se pueden construir dos pirámides, y la condición:
\( \vec{a}.(\vec{b}\times{c})>0 \)
Lo reduce a una.

[ingmarov]

Es que habrían 8 pirámides con la misma cúspide, la cúspide es única pero no las aristas.

Olvidémonos de las rectas  y de la medida de las aristas, solamente consideremos a los vectores \( \vec{a} \),\( \vec{b} \) y \( \vec{c} \) . Sean estos vectores las aristas de las pirámides, entonces podemos contruír de la siguiente forma 8 pirámides.

he olvidado poner que en este caso el origen es la cúspide de cada pirámide, (equivalente al "punto" V)

\( \xymatrix{&&\vec{c}\\&\vec{b}\ar[ru]\ar[rd]&\\ \vec{a}\ar[ru] \ar[rdd]&&-\vec{c}\\&&\vec{c}\\&-\vec{b}\ar[ru]\ar[rd]&\\&&-\vec{c}} \)

Estas son 4 pirámides, las otras cuatro se consiguen con \( -\vec{a} \)

\( \xymatrix{&&\vec{c}\\&\vec{b}\ar[ru]\ar[rd]&\\ -\vec{a}\ar[ru] \ar[rdd]&&-\vec{c}\\&&\vec{c}\\&-\vec{b}\ar[ru]\ar[rd]&\\&&-\vec{c}} \)


Otra cosa las cuatro ecuaciones que cumplen deben ser:

\( \vec{a}.(\vec{b}\times\vec{c})>0 \)

\( \vec{a}.((-\vec{b})\times(-\vec{c}))>0 \)

\( -\vec{a}.((-\vec{b})\times(\vec{c}))>0 \)

\( -\vec{a}.((\vec{b})\times(-\vec{c}))>0 \)

[Abdulai]

En total existen 8 pirámides. Pero como el vector a es dado ==> quedan solo 4.

La condición   \( \vec{a}\cdot (\vec{b}\times{c})>0 \)  lo reduce a 2.

\( \vec{b} = [-1, -1, 1] \) ; \( \vec{c} = [4, -5, -1] \)   
y
\( \vec{b} = [1, 1, -1] \) ; \( \vec{c} = [-4, 5, 1] \)   

[marion]

Pero, aún habiendo 8 pirámides, ¿solo habrían 6 vértices repartidos entre los 8?

[ingmarov]

En total existen 8 pirámides. Pero como el vector a es dado ==> quedan solo 4.

La condición   \( \vec{a}\cdot (\vec{b}\times{c})>0 \)  lo reduce a 2.

\( \vec{b} = [-1, -1, 1] \) ; \( \vec{c} = [4, -5, -1] \)   
y
\( \vec{b} = [1, 1, -1] \) ; \( \vec{c} = [-4, 5, 1] \)   

Tienes razón.

Por cierto, gracias por compartir tu solución, aprendí mucho de ella, fue como una hermosa melodía.  

[ingmarov]

Pero, aún habiendo 8 pirámides, ¿solo habrían 6 vértices repartidos entre los 8?

Así es