Hay que demostrar que si G es bipartito entonces no tiene ciclos de longitud impar. La parte nuclear de la prueba afirma que "el ciclo tiene longitud par,ya que si tuviera impar no sería un ciclo", que es obviamente la misma frase que "el ciclo tiene longitud par". No aparece ninguna relación entre la paridad del ciclo y el hecho de que sea bipartito. De hecho, considero el siguiente texto (incorrecto, ya lo sé)...
Tomo una partición de los vértices del grafo (partición en el sentido de equivalencia, sin mirar la relación de vecindad), por ejemplo \( V_1 \) y \( V_2 \) tal que \( V=V_1\cup{V_2} \) como un ciclo empieza y acaba en un mismo nodo, tiene que empezar y acabar por ejemplo en \( V_1 \).
Por lo tanto el ciclo tiene longitud par,ya que si tuviera impar acabaría en un nodo de [V_2].
Por supuesto que no vale, pero ... ¿en qué se diferencia de la prueba en que sí vale?
Podría afirmarse que esa explicación aparece al decir que "el grafo es bipartito"; en ese caso, a mi entender, se acaba de probar que "si G es bipartito entonces no tiene ciclos de longitud impar" usando como argumento que "si G es bipartito entonces todos sus ciclos tienen longitud par", y en ese sentido la prueba no me resulta satisfactoria. Prefiero ver explícitamente en la prueba la relación entre paridad y bipartición.
saludos
luis
