A lo mejor no entendí bien el problema, ya que me de la la impresión de que no habría que calcular casi nada, si me equivoco en algún razonamiento que alguien me corrija.
El valor que tome m no influye en los vectores directores de la recta R, no hace que cambie de inclinación la recta, por lo tanto no influye en la condición de perpendicularidad que se pide.
Dicho esto los valores de m que cumplen lo que se pide seria todos, todo R. Siempre y cuando la recta L y R no sean perpendiculares, ya que si lo fuesen no podría construirse ninguna recta que cumpla las condiciones, ya que en estas condiciones una recta perpendicular a R seria paralela a L y por lo tanto no podría cruzar a L.
Así que bastaría con calcular un vector director de la recta R y hacer el producto escalar con el vector director de la recta L para confirmar que no son perpendiculares.
Si solo pidiese que fueran perpendiculares tendrías razón, pero además pide que busques m para que, además de encontrar una que sea perpendicular, pase por un punto dado.
Primero yo pasaría R a paramétricas, me queda esto:.
\(
x = t
y = \displaystyle\frac{-7-4t}{5}
z = \displaystyle\frac{7-m}{5}-21 -12t \)
Vector director: \( (1,\displaystyle\frac{-4}{5},-12) \)
Ahora, hallamos los vectores directores de un plano perpendicular a esa recta, por ejemplo:
\( (12,\displaystyle\frac{-4}{5},1) \) y \( (1,12,\displaystyle\frac{-4}{5}) \) (si no me he equivocado al hacer cuentas).
Como \( (1,2,1) \) y \( (1,\displaystyle\frac{-4}{5},-12) \) no son ortogonales, el plano siempre cortará a cualquier recta con vector director \( (1,2,1) \). Luego sabemos que existen rectas perpendiculares a R que cortan a L.
Ahora comprobaremos si alguna de ellas pasa por el punto \( (0,2,-3) \)
Primero hacemos pasar el plano por el punto \( (0,2,-3) \), nos queda:
\(
x = 12 t + u
y = 2 -\displaystyle\frac{4}{5}t +12u
z = -3 + t - \displaystyle\frac{4}{5}u \)
Ahora intersecamos este plano con la recta L y si tiene solución entonces existe una recta S, y si no la tiene pues no.
Intenta terminar tú lo que queda.
