Hola.
En mi opinión creo que este problema se trata de encontrar el valor de m, en el caso de que exista.
Parece claro por lo que se ha escrito anteriormente que ese valor de m, verdaderamente, existe, luego el problema es hallarle.
Vamos a hallarle.
1º. Buscaremos un vector director de la recta R. Si operamos tal y como indicó elcristo (eso sí, correctamente) obtendremos por ejemplo el vector \( \vec{d}=(25,-20,-12) \)
2º. Buscaremos el plano perpendicular a R y que pasa por el punto \( P(0,2,-3) \). (Notar que este plano debería contener a la recta s buscada). Para hacer esto, ya tengo un vector normal (\( \vec{d} \))al plano buscado y un punto de apoyo P. (Claro, el vector director de la recta R será normal al plano perpendicular a la recta R) (también podríamos haber optado por otro método para obtener este plano).
\( \pi:25(x-0)-20(y-2)-12(z+3)=0 \)
3º. Calculamos Q como el punto de intersección entre el plano \( \pi \) y la recta L. (ya que queremos que nuestra recta s corte a L).
Para hacer esto tendremos que resolver el sistema formado por la recta y el plano. Expresaremos para ello la recta L como intersección de dos planos:
\( Q=\pi \cap{L}\Rightarrow{}\begin{Bmatrix}25x-20y-12z+4=0 \\ 2x -3y \quad -3=0 \\ y-2z+5=0 \end{matrix} \)
Resolviendo: \( Q(0, -1, 2) \)
4º. La recta s buscada, pasará por Q y P. Si calculamos su ecuación continua tendremos:
\( s:\displaystyle\frac{x}{0}=\displaystyle\frac{y-2}{-3}=\displaystyle\frac{z+3}{5} \)
5º. Finalmente obligamos a que R y s se corten en un punto perteneciente a R. Y ahora finalmente podremos encontrar el valor de m buscado.
Sea P' el punto intersección entre R y s. Operando:
\( P'=R\cap{s}:\begin{Bmatrix}x=0 \\ 5y+3z-1=0 \\ 4x+5y+7=0 \\ 3y-5z+7-m=0 \end{matrix} \)
\( P'(0,\displaystyle\frac{-7}{5},\displaystyle\frac{8}{3}) \) y \( m=-\displaystyle\frac{82}{3} \)
(Nota: No he repasado los cálculos detenidamente, espero no haber cometido ningún error.)
Un saludo a todos.
