[elcristo]

Hola.

Tengo un pequeño problema con un ejercicio de Geometría de curvas y superficies.

Tengo un ejercicio donde me dan una hélice circular, debo parametrizarla por longitud de arco, calcular \( T,N,B,k,\tau \) y las rectas tangente, normal principal y binormal, y planos osculador, normal y rectificante.

Pero tengo un pequeño problema a la hora de calcular la torsión.
Aplico la fórmula:
\( \tau = -\dot{B}(s) \cdot{}N(s) \)

Aquí viene cuando la cago. Yo pensaba que había que hacer módulo del primero, módulo del segundo por el coseno del ángulo que forman, (producto escalar de toda la vida), pero el profesor dice que en vez de eso yo haga:

\( \dot{B}(s) = (\sqrt[ ]{5}sen(s/3),0,\sqrt[ ]{cos(s/3))}

M(s)=(sen(s/3),0,-cos(s/3)) \)

Pues dice que tengo que hacer:

\( (\sqrt[ ]{5}sen(s/3))(sen(s/3)) + (0)(0) + (cos(s/3))(-cos(s/3)) \)

Es decir, primera por primera, más segunda por segunda, más tercera por tercera, y que eso es el producto escalar. Yo callo y lo hago, pero no entiendo de dónde se saca eso.

Y luego a la hora de calcular los planos, hace algo parecido:

Plano normal por ejemplo.
\( (x- \alpha(s))\cdot{}T(s)=0 \longrightarrow{} ((x,y,z) - (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3))\cdot{}(T_1,T_2,T_3) \)

Y aquí yo me quedé absolutamente a cuadros con lo que hizo en los problemas.

Cogió y puso directamente:

\( xT_1 + yT_2 + z(\alpha_1T_1+ \alpha_2T_2)=0 \)

Y ale, así por que sí ese es el plano, y lo mismo con los demás.
Al menos eso es lo que yo entendí, si alguien puede explicármelo un poco más se lo agradecería.

Saludos.

[Autodidacta]

El productor escalar se puede calcular como ha dicho el profesor, sí tambien puedes multiplicar los modulos de los vectores por el cóseno del ángulo que forman, pero esa no es la única forma de calcularlo.  Si hojeas cualquier libro/texto que explique el producto escalar te pondrá las dos formulas.

[elcristo]

El productor escalar se puede calcular como ha dicho el profesor, sí tambien puedes multiplicar los modulos de los vectores por el cóseno del ángulo que forman, pero esa no es la única forma de calcularlo.

Que se puede calcular creo que lo intuía, no creo que el profesor haga el producto escalar mal, sólo faltaría. Sólo quiero entender cómo hacer esto bien, porque intenté hacerlo a la vieja usanza, usando el coseno, y como no tenía el ángulo pues no lo podía sacar.

[Luis Fuentes]

Hola

 Sinceramente me sorprende mucho que no conozcas, que no te suene esa forma de calcular el producto escalar. De hecho es la que suele darse como definición. Yo creo que se explica en Bachillerato y ya se usa en problemas sencillos de geometría afín.

 Más en general un producto escalar en un espacio vectorial es una forma bilineal simétrica y definida positiva. Esto permite definirlo en cualquier espacio vectorial por abstracto que sea, sin que tengamos ninguna noción de ángulo; y precisamente la otra formulita, la del producto de normas, es la que se usa para definir ángulo en ese contexto.

 Si quieres entro más en detalle; pero antes aclárame si no te suena nada de esto. ¿No estás en segundo curso de la carrera de matemáticas?.

Saludos.

[Autodidacta]

Que se puede calcular creo que lo intuía, no creo que el profesor haga el producto escalar mal, sólo faltaría. Sólo quiero entender cómo hacer esto bien, porque intenté hacerlo a la vieja usanza, usando el coseno, y como no tenía el ángulo pues no lo podía sacar.

Normalmente se estudia las dos formulas así tal cual, por definición las sueltan los profesores y listo, quizás lo que te interesa es ver como se deduce una formula a partir de la otra para demostrar que dan el mismo resultado. En este caso, mis conocimientos son parcos,  ni siquiera tengo claro cual es la definición principal.  Solo he visto o recuerdo un método de deducir una formula a partir de otra pero no tengo claro si es completamente válido y quizás tiene algún tipo de razonamiento circular. Lo hago para solo 2 dimensiones, para 3 se puede hacer igual y para más supongo que también pero a tanto no llego.

Partimos de las bases canónicas i,j y tenemos que como son ortonormales, usando la formula del coseno, sabemos sus productos escalares:

\(  i \cdot j = j \cdot i = 0 \quad i \cdot i = j \cdot j = 1  \)

Ahora hay que usar dos propiedades (que supongo que por definición) tiene que cumplir el producto escalar, \( \lambda \) es un escalar, A y B serian vectores:

\( (\lambda A) \cdot B = \lambda (A \cdot B)= A \cdot (\lambda B) \)
\( (A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C \)

Ahora intentamos calcular el productor escalar de dos vectores:

\(  A= (a,b) = ai + bj \)
\(  C= (c,d) = ci + dj \)
\(  A \cdot C = (ai+bj) \cdot (ci+dj)  \)

En principio no sabemos como hacer el cálculo, pero aplicando las propiedades del producto escalar escritas antes se puede desarrollar la expresión:

\(  (ai+bj) \cdot (ci+dj)  \)
\(  ai \cdot (ci+dj) + bj \cdot (ci+dj)  \)
\(  ai \cdot ci+ ai \cdot dj + bj \cdot ci+bj \cdot dj  \)
\(  ac(i \cdot i)+ ad(i \cdot j) + bc(j \cdot i) +bd(j \cdot j)  \)

Ahora como conocemos el resultado del producto escalar de las bases canónicas:

\(  ac(1)+ ad(0) + bc(0) +bd(1)  \)
\(  ac + bd  \)

Con lo que llegamos a la formula analítica que nos interesaba:

\(  A \cdot C = (a,b) \cdot (c,d) = ac + bd  \)

Supongo que habrá alguna otra forma mejor y mas general de hacer esto. Quizás el_manco pueda explicar todo esto de una forma mas rigurosa.

[elcristo]

Hola

 Sinceramente me sorprende mucho que no conozcas, que no te suene esa forma de calcular el producto escalar. De hecho es la que suele darse como definición. Yo creo que se explica en Bachillerato y ya se usa en problemas sencillos de geometría afín.

 Más en general un producto escalar en un espacio vectorial es una forma bilineal simétrica y definida positiva. Esto permite definirlo en cualquier espacio vectorial por abstracto que sea, sin que tengamos ninguna noción de ángulo; y precisamente la otra formulita, la del producto de normas, es la que se usa para definir ángulo en ese contexto.

 Si quieres entro más en detalle; pero antes aclárame si no te suena nada de esto. ¿No estás en segundo curso de la carrera de matemáticas?.

Saludos.

A ver, sí me suena algo. Eso de que se da en bachiller desde luego que no. De hecho, en la selectividad no entró ni por asomo producto escalar y si no me equivoco, en los 2 años de bachillerato que tuve el producto escalar de milagro lo vimos algunos días pues por darlo, pero trabajar con ello nada, y siempre usábamos lo de producto de normas por coseno. Donde sí usé producto escalar fue en Física pues porque ahí se trabaja con vectores y hay que usarlo alguna vez, pero todo muy mecánico y siempre con ángulo.

Lo de forma bilineal simétrica definida positiva sí, lo vi (hace unas semanas que terminé la asignatura donde lo damos).

Y sí, estoy en segundo de la carrera de matemáticas.

@autodidacta
Gracias, algo así era lo que más o menos buscaba, saber de dónde sale eso, porque se lo sacó de la manga y no sabía muy bien de dónde venía.

[Luis Fuentes]

Hola

A ver, sí me suena algo. Eso de que se da en bachiller desde luego que no. De hecho, en la selectividad no entró ni por asomo producto escalar y si no me equivoco, en los 2 años de bachillerato que tuve el producto escalar de milagro lo vimos algunos días pues por darlo, pero trabajar con ello nada, y siempre usábamos lo de producto de normas por coseno. Donde sí usé producto escalar fue en Física pues porque ahí se trabaja con vectores y hay que usarlo alguna vez, pero todo muy mecánico y siempre con ángulo.

Yo no voy a entrar en lo que has dado o no, que no lo sé. Pero que debería de darse no hay duda. Y si no lo han hecho es un fallo grave. La fórmula del producto escalar de dos vectores a través de sus coordenadas se usa para cosas tan básicas como hallar el ángulo entre dos vectores o en física vectorial. Digo que no hay duda que debería de darse porque aparece en los descriptores del MEC (páginas 45449 y sucesivas):

http://www.boe.es/boe/dias/2007/11/06/pdfs/A45381-45477.pdf

Lo de forma bilineal simétrica definida positiva sí, lo vi (hace unas semanas que terminé la asignatura donde lo damos).

¿¿¡¡Y no lo relacionaron para nada con el producto escalar!!??

Saludos.

[elcristo]

Hombre sí, pero pasamos rápido por ahí. Hicimos algunos pocos ejercicios de manejarnos en espacios con productos escalares no usuales, pero poco más, si acaso vimos de cómo se define el ángulo, pero donde más nos centramos fue en espacios afines y transformaciones.

En todo lo respecto a trabajar con vectores, y operaciones de trigonometría de cualquier clase tengo una falta bastante grande de trabajo, por eso cuando va apareciendo intento preguntar porque sinceramente no me aclaro muchas veces.

Y esto no lo vimos directamente en ningún sitio, es decir, en la asignatura donde dimos producto escalar nos dijeron que el usual era la identidad, y quizás de ahí yo pude haber deducido en éste caso lo que hacía, no se me ocurrió pensarlo, pero desde luego la primera mención que oigo de que el producto escalar se calcula "primera por primera, segunda por segunda y tercera por tercera" es ahora.

[Fallen Angel]

Es un poco extraño que no conozcas estas cosas en una carrera de matemáticas , pero apostaría a que no es culpa tuya.
\(
\mbox{Dado un espacio vectorial} \ H \ \mbox{sobre un cuerpo} \ K (Usualmente \ \mathbb{R} \ o \ \mathbb{C}) \ \mbox{Un producto escalar es una aplicacion}\\
 f:HxH \longrightarrow K \ \ \mbox{tal que:}\\
1. \ f(x,y) \geq 0 \ \ \forall x,y \in H \\
2. \ f(x,x)=0 \Leftrightarrow \ x=0 \\
3. \ f(x,y)=\bar{f(y,x)} \ \ \forall x,y \in H \ \ \mbox{no se por que se ve tan mal la barra sobre f(y,x) , pero es el conjugado de este}\\
4. \ f(\alpha x + \beta y ,z)=\alpha f(x,z)+\beta f(y,z) \ \ \forall x,y,z \in H, \alpha ,\beta \in K \\

\mbox{En general esta aplicacion} \ f(x,y) \ \mbox{suele denotarse  como } <x,y>.\\
\mbox{Trabajando en} \ \mathbb{R}^n \ \mbox{la condicion 3. se reduce a ser simetrica y la aplicacion puede representarse por una matriz}\\ \mbox{por estar trabajando en dimension finita y para el producto escalar usual , esa matriz es la identidad , de ahi lo de la suma de productos.}\\
\mbox{He visto otro post tuyo en el que hablabas sobre soluciones de EDP's con desarrollos en serie de Fourier , por lo que supongo que sabes lo que es}\  L^2[a,b].\\
\mbox{El producto escalar usual en} \ L^2[a,b] \ \mbox{de dos funciones}\ f \ y \ g \ \mbox{es la integral entre a y b del producto de f por g conjugado}\\

 \)
Lo que pretendo con esto ultimo es ilustrar que los productos escalares pueden venir dados de la forma mas variopinta , y que un mismo espacio puede admitir distintos productos escalares que cambian por completo su estructura.

[elcristo]

Pues supones mal, no tengo ni la más mínima idea de lo que es \( L^2[a,b] \)
Quizás mañana lo demos...

Pero bueno, ya me ha quedado claro que el producto escalar es mucho más variado de lo que pensaba, y no me sorprenderá verlo dado de otras formas. Gracias.