Otra opción.
Sean \( (\vec{v} = (v_1,v_2)) \wedge (\vec{w}= (w_1,w_2)) \).
Se pueden reescribir como:
\( \vec{v}=(||\vec{v}|| \cos (\varsigma) , ||\vec{v}|| \cdot \sin (\varsigma) ) \).
\( \vec{w}=(||\vec{w}|| \cos (\sigma) , ||\vec{w}|| \cdot \sin (\sigma) ) \).
Que son los ángulos que hacen con el eje \( x \).
Nos queda:
\( \vec{v} \cdot \vec{w} = v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2 = \)
\( = ||\vec{v}|| \cos (\varsigma) \cdot ||\vec{w}|| \cos (\sigma) + ||\vec{v}|| \cdot \sin (\varsigma) )\cdot ||\vec{w}|| \cdot \)
\( \sin (\sigma) ) = \)
\( = ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot \lbrace \cos (\varsigma) \cdot \cos (\sigma) + \sin (\varsigma) ) \cdot \) \( \sin (\sigma) ) \rbrace = \)
\( = ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot \cos (\varsigma - \sigma) = ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot \cos (\theta) \)
Donde \( \theta \) es la diferencia de los dos ángulos y te da el ángulo entre los dos
vectores.
Para vectores en \( \mathbb{R}^3 \) tenemos que:
Sean \( \vec{v} , \vec{w} \in \mathbb{R}^3 \)
Aplicamos la ley del coseno al triángulo que tiene un vértice en el origen y
como lados adyacentes \( ||\vec{v}|| \wedge ||\vec{w}|| \) nos queda:
\( ||\vec{w} - \vec{v} ||^2 = ||\vec{v}||^2 + ||\vec{w}||^2 - 2\cdot||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot\cos(\theta) \).
Como:
\( ||\vec{w} -\vec{v}||^2 = (\vec{w} -\vec{v}) \cdot (\vec{w} -\vec{v}) \)
Tenemos que:
\( ||\vec{w} -\vec{v}||^2 = \vec{w} \cdot \vec{w} - \vec{w} \cdot \vec{v} - \vec{v} \cdot \vec{w} +\vec{v} \cdot \vec{v}= \)
\( = ||\vec{w}||^2 +||\vec{v}||^2 - 2\cdot \vec{v} \cdot \vec{w} \)
Tenemos que :
\( ||\vec{v}||^2 + ||\vec{w}||^2 - 2\cdot||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot\cos(\theta) = ||\vec{w}||^2 +||\vec{v}||^2 - 2\cdot \vec{v} \cdot \vec{w} \).
Nos queda:
\( \vec{v} \cdot\vec{w} = ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot\cos(\theta) \)
Donde se usa:
\( \vec{g} \cdot \vec{g} = g_1 \cdot g_1 + g_2 \cdot g_2 = (g_1)^2 +(g_2)^2 = ||\vec{g}||^2 \)
En la parte de \( \mathbb{R}^3 \) he usado el análisis vectorial de Marsden y Tromba.
Espero no aburrir.
