Lo que aquí dice literalmente es falso:
Entonces, tenemos que demostrar que \( 0<\left |{x^2-4}\right |<\epsilon \), para cualquier épsilon, sujeto a la restricción de que existe un \( \delta \) tal que \( 0<\left |{x-2}\right |<\delta \)
Otra cosa es que no sea eso lo que quisieras decir, pero, según la gramática española, eso es lo mismo que decir: partiendo de la restricción de que existe un \( \delta \) tal que \( 0<\left |{x-2}\right |<\delta \), hay que demostrar que \( 0<\left |{x^2-4}\right |<\epsilon \), para cualquier épsilon, y eso no es posible. Esa igualdad no puede darse nunca para cualquier épsilon, cuando \( x\neq 2 \) ya está fijado.
Es al revés. Empiezas fijando un \( \epsilon>0 \), de modo que a partir de aquí ya no tienes que hacer nada "para todo épsilon", sino que ya trabajas con un único \( \epsilon>0 \), el que has fijado.
Y admitiendo que ya sabes un épsilon fijo, en este momento tienes que fijar un \( \delta>0 \) definido en función de \( \epsilon \). Otra cosa es que a priori no sepas cuál poner, por lo que puedes dejar este punto en suspenso hasta que veas por dónde van los tiros, pero luego tienes que venir aquí y poner el \( \delta \) que hayas visto que es adecuado.
Entonces para demostrarlo, he de partir de la otra igualdad para llegar a lo que se pretende demostrar.
\( 0<\left |{x-2}\right |<\delta \)
Multiplicando por el valor absoluto de x+2,...
No es buena idea partir de ahí. Aquí te funciona más o menos, pero el buen camino es partir de \( |x^2-4| \). Tienes que operar esto hasta que sea evidente que es \( <\epsilon \), usando cuando convenga que \( 0<\left |{x-2}\right |<\delta \).
Así, el punto de partida natural es hacer \( |x^2-4|=|x-2||x+2| \), y ahora observar que \( |x-2| \) será tan pequeño como quieras sin más que haber escrito antes un \( \delta \) tan pequeño como necesites. En cambio, la otra parte \( |x+2| \) no puedes hacerla pequeña, sino que cuando más se parezca \( x \) a \( 2 \) más se parecerá a \( 4 \). Por ello, simplemente con que \( |x-2|<1 \), ya puedes asegurar que \( |x+2|<5 \). Por eso, para que el producto sea menor que \( \epsilon \) basta con que el primer factor sea menor que \( 1 \) y que \( \epsilon/5 \), El denominador 5 compensa el factor menor que 5 que introduce \( |x+2| \). Cuando te das cuenta de esto, vuelves arriba y pones: tomamos \( \delta = \min\{1,\epsilon/5\} \).
Y haciendo \( \delta^2+4\delta=\epsilon \)
¿Cómo hay que entender esto? Parece que estés definiendo \( \epsilon \) a partir de \( \delta \). Si es así no vale. Tienes un \( \epsilon \) fijado de antemano y a partir de él tienes que definir un \( \delta \) adecuado, no al revés.
Sigo sin ver lo de sustituir delta por una función de épsilon. ¿No es mejor dejarlo tal cual como delta, y si se pone feo, entonces ver qué requisito ha de cumplir delta para que se cumpla la desigualdad que se pretende deducir? (En mis cortas luces) De tal forma que si es imposible escribir ningún delta, saldrá a la luz y no habrá límite... :/
Si sabes lo que estás haciendo, algo así es viable, pero si tienes problemas para captar la lógica de todo esto, sólo tendrás garantías de que lo estás haciendo bien si al final eres capaz de poner una definición de \( \delta \) adecuada justo después de haber dicho "tomamos un \( \epsilon>0 \)", aunque sea lo último que hayas escrito cronológicamente.
