Lo que aquí dice literalmente es falso:
Entonces, tenemos que demostrar que \( 0<\left |{x^2-4}\right |<\epsilon \), para cualquier épsilon, sujeto a la restricción de que existe un \( \delta \) tal que \( 0<\left |{x-2}\right |<\delta \)
Otra cosa es que no sea eso lo que quisieras decir, pero, según la gramática española, eso es lo mismo que decir: partiendo de la restricción de que existe un \( \delta \) tal que \( 0<\left |{x-2}\right |<\delta \), hay que demostrar que \( 0<\left |{x^2-4}\right |<\epsilon \), para cualquier épsilon, y eso no es posible. Esa igualdad no puede darse nunca para cualquier épsilon, cuando \( x\neq 2 \) ya está fijado.
La definición de límite en la que ambos estamos de acuerdo es:
\( lim(x\rightarrow{}c)(f(x))=L\Longleftrightarrow{}\forall{\epsilon>0}\exists{\delta>0}/(0<\left |{x-c}\right |<\delta\longrightarrow{}\left |{f(x)-L}\right |<\epsilon) \)
Según yo leo (que ya digo, se me da regular leer matemático), que el límite de una función cuando x tiende a c valga L es equivalente a decir que para todo épsilon positivo (dicho de otra forma, para un epsilon de cualquier valor positivo) existe un delta positivo (dicho de otra forma, un simbolito delta que tiene valor positivo) tal que: (Que x-c en valor absoluto esté comprendido entre 0 y delta (1), implique que f(x)-L en valor absoluto esté comprendido entre 0 y épsilon (2)).
Por tanto, entiendo que hay que demostrar esa proposición entre paréntesis, ¿el qué? Que una cosa (1) implique la otra necesariamente (2). Por eso parto de (1) hasta demostrar (2). Que sí, que puedo simplificar y jugar con (2) para demostrar algo "equivalente" (como por ejemplo que demostrar (2) \( 0<\left |{x^2-4}\right |<\epsilon \) es equivalente a demostrar \( 0<\left |{x+2}\right | \left |{x-2}\right |<\epsilon \)). Pero el camino es ese, ¿o estoy equivocado? Es que por tu respuesta, Carlos, me parece que estoy equivocado, ¡y seguro que así es! pero no logro entender por qué lo estoy. ¿Qué está mal de lo que he expuesto hasta ahora en este comentario? Uso mi conocimiento, tal vez falso, de que para demostrar B, hay que partir de unas verdades. Y mi verdad es A, más las reglas de las inecuaciones y funciones (la destreza que yo tenga con esas reglas, es comentario aparte
). Y puedo hacerlo por reducción al absurdo, por el método que quiera mientras sea válido. Pero no puedo usar B en la demostración (pero sí puedo demostrar que, demostrar eso, es equivalente a demostrar otra cosa. Es lo único que puedo hacer con B, no?)
Lo que no entiendo es... ¿por qué no es válida la demostración? ¿No se puede definir
delta implícitamente en
épsilon? Al fin y al cabo, épsilon es un valor cualquiera positivo, y si delta queda en función de épsilon de tal forma que para todo épsilon positivo los deltas también sean positivos, voilà (si todos los deltas quedaran no-positivos en la función resultante, se concluiría que no existe tal delta positivo, y por tanto no habría límite).
Una última cosa, creo entender por qué lo del épsilon/5, lo del mínimo y eso (pero estás cogiendo, intuitivamente, un delta concreto que sabes que cumple los requisitos. Y este ejemplo creo que es sencillo (aunque a mí me cueste la vida...), pero en límites más "díficles" (como por ejemplo límite cuando x tiende a 0 de \( \sin(x)^2*x*e^x \), que es evidentemente 0, pero con épsilon delta...) tales intuiciones y especificaciones de deltas en función de épsilon "prematuros" pueden ser empresa arriesgada que acabe en fracaso, y así una y otra vez... nunca he visto ensayo y error un método aceptable (salvo emergencias
), y en este caso concreto pablitotontito no lo ha hecho por ensayo y error, pero esa misma lógica que ha usado, en situaciones un pelín más complicadas, se torna imposible, creo!
P.D: Muchísimas gracias por la ayuda, que creo que estoy entendiendo bien el ejemplo
A mí me gusta entender muy bien una situación, porque si la entiendo soy capaz de resolver las más difíciles. Pero creo que aún no he entendido del todo... ahí están mis dudas
¡¡¡Gracias!!!
