[Roman Montoliu]

Hola a todos, me llamo Román Montoliú, soy licenciado en Física y actualmente estoy cursando quinto curso de la licenciatura de Matemáticas.  Siempre me han interesado los polinomios, me fascinan y dándole vueltas a la cabeza anduve buscando un método para resolver las ecuaciones polinómicas, en parte porque no terminaba de comprender porqué no había una fórmula general basada en radicales comunes para resolver ecuaciones mas allá de la cuártica. Expongo lo que es una variante del método de Lagrange que comparte con éste el fundamento inicial, no así el procedimiento pues es un método reductivo directo, no basado en ecuaciones resolventes previas y las relaciones lineales que ligan las indeterminadas auxiliares a las raíces son diferentes en la expresión final en el caso de la cuártica. Posteriormente se interpretan las soluciones obtenidas en estas indeterminadas, que también es diferente en el caso de la cuártica.

Al procedimiento le he puesto el nombre de “Resolución de ecuaciones polinómicas en una indeterminada mediante las ecuaciones de Cardano-Vieta con raíces de la unidad” porque se procede obteniendo una ecuación polinómica en las indeterminadas por cada relación de Cardano-Vieta.

Disculpen que no edite en latex pues no estoy familiarizado por lo que adjunto archivo en pdf con el procedimiento

[Roman Montoliu]

Es curioso pero siempre que uno publica un trabajo por mas que se lo haya mirado, corregido y releido antes siempre hay algo que falla o falta, de lo que solo te das cuenta después. Ayer mismo vi que las soluciones en las indeterminadas s2 y s4 se pueden obtener con formulas mas reducidas a partir de los pasos (v) y (vi), aunque las ya obtenidas se mantienen porque documentan y justifican la interpretación de las soluciones dada en la página 8. Adjunto pdf con la reedición de la página 6 del trabajo.

[Roman Montoliu]

Generalización del concepto de raíz

Supongo que produjo una gran convulsión entre los “matemáticos” de la antigua Grecia admitir que existían medidas inconmesurables.  Un ejemplo típico de esto es la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado unidad, que planteado en términos de ecuaciones sería encontrar la solución positiva de la ecuación \( x^2-2=0 \). Había pues que admitir la existencia de otros números no racionales que dieran solución a problemas de este tipo. Sabemos que la ecuación anterior no admite soluciones racionales y que estas soluciones se expresan como \( \sqrt[ 2]{2} \) y \( -\sqrt[2 ]{2} \)  porque hemos definido y estudiado previamente la función raíz cuadrada. Pues bien, me pregunto porque no se hizo algo parecido cuando se descubrió que las soluciones de una ecuación de grado superior a cuatro no se podían expresar, en general, como sumas, productos y radicales comunes de sus coeficientes, y si esta hecho al menos yo no lo he visto y creo que muchos tampoco por lo que no está de más el comunicar esta idea en el foro. Es decir, debe generalizarse el concepto de raíz, lo cual, por ejemplo, podría tal vez permitir que las raíces de un polinomio de grado seis se pudiesen expresar como sumas, productos, radicales comunes y radicales de polinomio índice de grado cinco a partir de sus coeficientes. Presento el siguiente trabajo que adjunto en pdf en el que se generaliza el concepto de raíz y se demuestra la derivabilidad y analiticidad de la nueva función.
Agradecería que aquellos que me lean respondan dando sus opiniones y criticas, pues pienso que en un foro todos debemos aportar. Un cordial saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

 He leído por encima tu documento sin entrar en detalles con los cuentas.

 Sería interesante definir unas (pocas) nuevas funciones auxiliares que permitiesen expresar las raíces de polinomios de grado mayor o igual que cinco.

 Sin embargo, si te he entendido bien, esencialmente las nuevas raíces que defines son simplemente inversas locales de funciones polinómicas. Mis críticas al respecto son:

 - No veo que ayuden en la práctica a resolver ecuaciones polinómicas de grado superior, ya que al final para evaluarlas nos vemos obligados a resolver una ecuación polinómica del grado que corresponda. Además una ecuación diferente para cada polinomio. Ahí hay que aplicar un método numérico.

 - Relacionado con lo anterior, defines una nueva función por cada polinomio. Esto es muy poco práctico. Como dije al principio lo interesante sería definir una cantidad limitada de nuevas funciones que permitan resolver cualquier polinomio. De esta forma sólo tendríamos que tener tabuladas tales funciones y podríamos utilizarlas de manera efectiva para la resolución de ecuaciones polinómicas arbitrarias.

 - El estudio que haces de la analiticidad puede hacerse de manera standard con el teorema de la función inversa. De hecho esa es la utilidad del teorema de la función inversa e implícicta: poder obtener información de funciones que están definidas mediante una ecuación pero que no podemos despejar de manera explícita.

Saludos.

[Roman Montoliu]

Muchas gracias por tu respuesta y critica. Lo primero decir que en el amplísimo mundo de las matemáticas lo que yo se es ínfimo y por ello una de las razones para que intervenga en el foro, porque hay muchas cosas que desconozco y otras que aun conociendo puedo no aplicar o aplicarlas mal. Cuando hize este trabajo pense precisamente en obtener un metodo numérico (otro) para encontrar las raíces. En la demostración de la analiticidad lo mas importante pueda ser, si lo tiene, la forma ya que puede mostrar un camino en base a serie de potencias para aproximarnos a la raiz que queramos. En cuanto a las nuevas funciones desde luego me pareció claro una cosa: que cuando se buscó dar solución mediante radicales comunes a todas las ecuaciones polinómicas nos faltó "artilleria" pues no nos hubieramos chocado en las de grado cinco. La idea concreta sería apoyarnos en una o unas concretas soluciones de polinomios de grado cinco para encontrar las de otros hasta llegar a un nuevo grado. En cualquier caso he creido importante publicar la idea.

Saludos

[Roman Montoliu]

Hola de nuevo en este tema. Para terminar el método expuesto se adjunta re-edición del trabajo inicial en el que se incluye en el primer apartado una proposición que justifica el método y un ultimo apartado que permite encontrar la resolución por radicales de la quíntica a partir de la resolución de una determinada ecuación de grado seis. Se corrigen algunos errores de transcripción y de reducción en algunos pasos. Se utiliza una simbología mas habitual para el grupo simétrico de permutaciones.

Un cordial saludo.

[Roman Montoliu]

Se me plantea una duda relativa al siguiente teorema: ( se puede encontrar en wikipedia "polinomios ciclotómicos")

Teorema (proposición)

Sean K un cuerpo algebraicamente cerrado y k un subcuerpo de éste. Consideremos f (X) ∈ k[X] un polinomio irreducible y θ ∈ K una
raíz de f (X) . Resulta que k(θ) ≃ k[X]/(f (X)) de manera que [k(θ) : k] = gr(f (X)) , es decir, el grado del polinomio f (X) será el grado de extensión k(θ) sobre k que es el mínimo cuerpo que contiene k y θ .

Pues bien, consideremos f de grado n y \( θ_1, ...,θ_n \) raíces en K (iguales o distintas). Se pueden establecer isomorfismos para cada i de forma que cada raíz \( θ_i \) se corresponda con una clase de restos polinómicos \( p_i[X] \) del cuerpo k[X]/(f (X)). Cada una de estas clases es generador algebraico del cuerpo y por tanto dada una concreta \( p_j[X] \) existen polinomios \( q_{ij} \) tales que \( q_{ij}(p_j[X]) = p_i[X] \) , lo que supone que todas las raíces se pueden obtener como combinación polinómica de una dada. Pero esto es absurdo en polinomios irreducibles de coeficientes racionales que tengan raíces complejas y reales no complejas, pues ninguna raíz compleja puede obtenerse como combinación polinómica de coeficientes racionales de ninguna raíz real no compleja  ¿¿??. Esta es mi duda.

Espero alguien me lo resuelva y me diga el nombre del teorema si lo tiene.

[Luis Fuentes]

Hola

Se me plantea una duda relativa al siguiente teorema: ( se puede encontrar en wikipedia "polinomios ciclotómicos")

Teorema (proposición)

Sean K un cuerpo algebraicamente cerrado y k un subcuerpo de éste. Consideremos f (X) ∈ k[X] un polinomio irreducible y θ ∈ K una
raíz de f (X) . Resulta que k(θ) ≃ k[X]/(f (X)) de manera que [k(θ) : k] = gr(f (X)) , es decir, el grado del polinomio f (X) será el grado de extensión k(θ) sobre k que es el mínimo cuerpo que contiene k y θ .

Pues bien, consideremos f de grado n y \( θ_1, ...,θ_n \) raíces en K (iguales o distintas). Se pueden establecer isomorfismos para cada i de forma que cada raíz \( θ_i \) se corresponda con una clase de restos polinómicos \( p_i[X] \) del cuerpo k[X]/(f (X)). Cada una de estas clases es generador algebraico del cuerpo y por tanto dada una concreta \( p_j[X] \) existen polinomios \( q_{ij} \) tales que \( q_{ij}(p_j[X]) = p_i[X] \) , lo que supone que todas las raíces se pueden obtener como combinación polinómica de una dada. Pero esto es absurdo en polinomios irreducibles de coeficientes racionales que tengan raíces complejas y reales no complejas, pues ninguna raíz compleja puede obtenerse como combinación polinómica de coeficientes racionales de ninguna raíz real no compleja  ¿¿??. Esta es mi duda.

Espero alguien me lo resuelva y me diga el nombre del teorema si lo tiene.

Pero no está bien tu razonamiento. El isomorfismo depende de la raíz; para cada raíz tienes un isomorfismo diferente. En concreto es la aplicación evaluación:

\( e:k[X]/(f(x))\longrightarrow{}k(\theta),\qquad e(p(x))=p(\theta) \)

Entonces por ejemplo si \( \theta \) es real \( \mathbb{Q}(\theta) \) no contiene ninguna raíz compleja del polinomio; no tiene sentido que digas que le asignas a través de ese isomorfismo una clase de polinomios.

Saludos.

[Roman Montoliu]

Lo plantearé de la siguiente forma:  cada raíz \(  θ  \) es generador algebraico del cuerpo Q(\(  θ  \)) pero si hay raíces reales no complejas \(  θ_i  \) y raíces complejas \(  θ_j  \) las primeras generan cuerpos Q(\(  θ_i  \)) que no son los mismos que los de Q(\(  θ_j  \)), sin embargo los isomorfismos para cada raíz establecen que la clase canónica [X] isomorfa a cualquiera de las raíces generan un único y mismo cuerpo que es k[X]/(f (X))

[Luis Fuentes]

Hola

Lo plantearé de la siguiente forma:  cada raíz \(  θ  \) es generador algebraico del cuerpo Q(\(  θ  \)) pero si hay raíces reales no complejas \(  θ_i  \) y raíces complejas \(  θ_j  \) las primeras generan cuerpos Q(\(  θ_i  \)) que no son los mismos que los de Q(\(  θ_j  \)), sin embargo los isomorfismos para cada raíz establecen que la clase canónica [X] isomorfa a cualquiera de las raíces generan un único y mismo cuerpo que es k[X]/(f (X))

Todo eso es correcto; pero no hay nada contradictorio ahí. Ese par de isomorfismos, uno para \( \mathbb{Q}(\theta_1) \) y otro para \( \mathbb{Q}(\theta_2) \), nos proporciona una forma de escribir \( \theta_1 \) como combinación polinómica de \( \theta_2 \).

Fíjate que de hecho los isomorfismos son:

\( e_i:\mathbb{Q}[X]/(f(x))\longrightarrow{}\mathbb{Q}(\theta_i),\qquad e_i(p(x))=p(\theta_i) \)

de manera que para el \( e_1 \) la raíz \( \theta_1 \) está representada por el polinomio \( p(x)=x \) y para \( e_2 \) la raíz \( \theta_2 \)...¡también está representada por \( p(x)=x \)!. Pero obviamente de ahí no se concluye que \( \theta_1=\theta_2 \), porque la relación, el isomorfismo, entre los elementos de cada \( \mathbb{Q}(\theta_i) \)  y el cociente \( \mathbb{Q}[X]/(f(x)) \) es diferente para cada raíz.

Saludos.