Hola
Gracias por tu esfuerzo. Tal vez ahora tenga la sesera espesa. Por resumirlo de otra forma: No entiendo que el cuerpo de restos Q[X]/(f(X)) pueda servir como una especie de " cuerpo comodín adaptable " a varios cuerpos diferentes entre sí. Si me puedes decir el nombre del teorema o un sitio donde pueda encontrar su demostración tal vez lo vea más claro. Saludos
Que yo sepa no tiene "nombre". La demostración es sencilla.
En primer lugar ten en cuenta que si \( f(x) \) es irreducible y \( \theta \) es una raíz, \( f(x)=kp_0(x) \) donde \( p_0(x) \) es el
polinomio mínimo de \( f(x) \) y \( k \) es un elemento no nulo del cuerpo.
Es inmediato que el \( f((x))=(p_0(x)) \).
Ahora si consideras el morfismo de anillos:
\( e:K[X]\longrightarrow{}K(\theta),\qquad e(q(x))=q(\theta) \)
Se tiene que:
1) \( ker(e)=(p_0(x)) \) (el núcleo son los polinomios que se anulan en \( \theta \) y son por tanto múltiplos del polinomio mínimo).
2) Por el primer Teorema de Isomorfía \( K[X]((p_0(x))=K[X]/ker(e)\equiv Im(e). \)
3) Como \( p_0(x) \) es irreducible el ideal \( (p_0(x)) \) es maximal y por tanto el cociente \( K[X]/((p_0(x)) \)
es un cuerpo.
4) Por tanto \( Im(e) \) es un subcuerpo de \( K(\theta) \) que contiene a \( K \) y a \( e(x)=\theta. \) Pero por definición \( K(\theta) \) es el menor cuerpo que contiene a \( K \) y \( \theta \) y así \( Im(e)=K(\theta) \) y se completa la prueba.
Por otra parte precisamente la gracia de los isomorfismo de es que identifican cuerpos de naturalezas muy distinta; eso quiere decir que tienen la misma estructura como cuerpo, aunque sus elementos tengan nula relación unos con otros.
Por ejemplo el cuerpo de los complejos es isomorfo al cuerpo de matrices reales:
\( \left\{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\\\end{pmatrix}|a,b\in \mathbb{R}\right\} \)
Saludos.
