Creo que la demostración carece de rigor porque en el libro donde la encontré no es precisamente una "demostración" sino se encuentra como un comentario extra y si bien aclara anteriormente que \( c_1,\dots,c_k \) son los valores propios de \( T \), coincido en tus demás observaciones.
De acuerdo. Voy a reescribir la prueba usando tu misma notación, y en el transcurso de la misma, aclaro tu duda.
Sea \( V \) un \( \mathbb{K} \)-espacio vectorial de dimensión finita con \( \dim V=n \) y \( T:V\longrightarrow V \) un operador lineal.
Si \( T \) es diagonalizable, \( m_T(x) \) es de la forma
\( m_T(x)=(x-c_1)\cdots (x-c_k) \)
donde los \( c_i \) están en \( \mathbb{K} \) y son distintos dos a dos.
La demostración, basado en los lineamientos de tu primer mensaje, sería así:
Por hipótesis, \( T \) es diagonalizable por lo tanto existe una base de \( V \) formada por vectores propios de \( T \). Sea \( \{v_1,\dots,v_n\} \) dicha base y \( c_i \) valor propio asociado al vector propio \( v_i \). De esta forma pueden haber \( c_i \) que estén repetidos, por lo tanto reenumerémoslos de la forma \( c_1,\dots,c_k \) con \( 1\leq k\leq n \) donde ahora sí \( c_i\neq c_j \) si \( i\neq j \).
Si \( v \) es vector propio asociado a \( c_i \), el operador \( T-c_iI \) aplica \( v \) en \( 0 \). Por lo tanto,
\( (T-c_1I)\ldots(T-c_kI)v=0 \)
Spoiler
Esto es porque
\( \begin{align*}(T-c_1I)\ldots (T-c_{i-1}I)(T-c_iI)(T-c_{i+1}I)\ldots (T-c_kI)v&=(T-c_1I)\ldots (T-c_{i-1}I)(T-c_{i+1}I)\ldots (T-c_kI)(T-c_iI)v\\&=(T-c_1I)\ldots (T-c_{i-1}I)(T-c_{i+1})\ldots (T-c_kI)0=0\end{align*} \)
que es la parte más delicada de la prueba.
Y lo mismo pasa para cualquier otro vector propio \( v \) (pues, obviamente, \( v \) será vector propio asociado a algún valor propio \( c_i \) con \( 1\leq i\leq k \)).
Ahora viene lo que preguntas:
¿cómo puedo concluir que \( p(T)=(T-c_1I)\ldots(T-c_kI)=0 \) sabiendo que \( T \) es diagonalizable?
Para demostrar que \( p(T) \) es el operador nulo toma un vector arbitrario \( v\in V \) arbitrario y prueba que \( p(T)v=0 \). Observa que puedes escribir \( v \) como combinación lineal de \( v_1,\dots,v_n \) que son vectores propios, y ya habías probado que si \( v \) era vector propio entonces \( p(T)v=0 \).
Una vez probado que \( p(x)=(x-c_1)\ldots(x-c_k) \) es anulador, para mostrar que es el polinomio minimal de \( T \) sería lo que te dije en mi otro mensaje:
¿Me podrían explicar como puedo concluir la última parte?
Sí. Si el polinomio minimal \( m_T \) fuera distinto de \( p(x)=(x-c_1)\ldots(x-c_k) \), como \( p \) es anulador, debe cumplirse que \( m_T|p \) luego \( m_T(x) \) sería el producto de factores lineales \( x-c_j \) donde falta al menos uno de estos factores, digamos el \( i \)-ésimo. Entonces existe un vector propio \( v_i \) asociado a \( c_i \) tal que \( m_T(v_i)\neq 0 \) lo cual es absurdo. Por lo tanto \( m_T \) es idénticamente igual a \( (x-c_1)\ldots(x-c_k) \).
