[pierrot]

Millones de gracias Pablo! Más claro creo que imposible! 
Saludos

De nada  . Un detalle (bah, dos):

Sí. Si el polinomio minimal \( m_T \) fuera distinto de \( p(x)=(x-c_1)\ldots(x-c_k) \), como \( p \) es anulador, debe cumplirse que \( m_T|p \) luego \( m_T(x) \) sería el producto de factores lineales \( x-c_j \) donde falta al menos uno de estos factores, digamos el \( i \)-ésimo. Entonces existe un vector propio \( v_i \) asociado a \( c_i \) tal que \( {\red m_T(v_i)}\neq 0 \) lo cual es absurdo. Por lo tanto \( m_T \) es idénticamente igual a \( (x-c_1)\ldots(x-c_k) \).

La expresión en rojo debiera ser \( m_T(T)v_i \). Y también convendría llamar \( \red w \) a ese vector propio en vez de \( \red v_i \) porque teníamos \( \red \{v_1,\dots,v_n\} \) base de \( \red V \) y dada la reenumeración de los \( \red c_i \) podría ser que \( \red v_i \) no fuera vector propio asociado a \( \red c_i \).

[AniF]

Buen punto! no lo había percatado.. :

[AniF]

Pablo, el vector \( w \) debe ser no nulo? o no hace falta?

[pierrot]

Pablo, el vector \( w \) debe ser no nulo? o no hace falta?

\( w \) es vector propio así que es no nulo por definición.

[AniF]

Para demostrar que \( p(T) \) es el operador nulo toma un vector arbitrario \( v\in V \) arbitrario y prueba que \( p(T)v=0 \). Observa que puedes escribir \( v \) como combinación lineal de \( v_1,\dots,v_n \) que son vectores propios, y ya habías probado que si \( v \) era vector propio entonces \( p(T)v=0 \).

El vector \( v \) del parrafo anterior, es también un vector propio? Me estoy confundiendo.. 

[pierrot]

El vector \( v \) del parrafo anterior, es también un vector propio? Me estoy confundiendo.. 

No. Tú quieres probar que \( p(T)=(T-c_1I)\ldots(T-c_kI) \) es el operador nulo, es decir, que transforma cualquier \( v\in V \) en el vector nulo. Ahí \( v \) no es un vector propio, es un vector arbitrario.

Lo que yo decía (y es lo mismo a lo que apuntaba el_manco, que se me adelantó) es que expreses \( v \) como combinación lineal de \( v_1,\dots,v_n \) que esos sí son vectores propios. Tienes que

\( \displaystyle v=\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i \)

para ciertos escalares \( \alpha_i\in \mathbb{K} \). Luego

\( \displaystyle p(T)v=p(T)\Big(\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i\Big)=\sum_{i=1}^n \alpha_ip(T)v_i=0 \)

pues \( p(T)v_i=0,\forall i=1,\dots,n \) (esto porque \( v_i \) es vector propio).

[AniF]

Claro, ahora entiendo lo que decía el manco...