Hola
hay un error pusiste \( (5a-2)(5a+2)=25a^4-4 \) y es \( =5a^2-4 \)
¡Cierto! Gracias por avisar. Y tu ahora te comiste el \( 2 \), sería \( \color{red}2\color{black}5a^2-4 \).
Yo entendi si llego primero a \( =25a^2-4 \) y despues lo paso a \( (5a-2)(5a+2) \), pero si tengo que llegar de \( (5a+1)^2-2(5a+1)-3 \) directamente a \( (5a-2)(5a+2) \), tengo que si o si resolver primero la primera expresión para llegar a que \( =25a^2-4 \) y luego convertirlo a \( (5a-2)(5a+2) \).
Si hay una manera mas sencilla de llegar por favor si me pueden explicar...
Veamos. El método que propone el libro es:
1) Queremos factorizar:
\( (5a+1)^2-2(5a+1)-3 \)
2) Llamamos \( x=5a+1 \), con lo que nuestra expresión queda:
\( x^2-2x-3 \)
3) Para factorizar esa expresión, resolvemos la correspondiente ecuación de segundo grado. Las raíces son \( 3 \) y \( -1 \) y por tanto:
\( (x^2-2x-3)=(x-3)(x+1) \)
4) Deshacemos el cambio ahora, sustituyendo \( x=5a+1 \):
\( (5a+1)^2-2(5a+1)-3=((5a+1)-3)((5a+1)+1) \)
5) Simplificamos cada factor:
\( ((5a+1)-3)((5a+1)+1)=(5a+1-3)(5a+1+1)=(5a-2)(5a+2) \)
¿En qué paso tienes la duda? Por lo que pusiste en tu primer mensaje, parecería que en el (5); pero ahí sólo hacemos unas cuentas elementales...
Otra forma de factorizar sería:
A) Queremos factorizar:
\( (5a+1)^2-2(5a+1)-3 \)
B) Hacemos cuentas para desarrollar la expresión:
\( (5a+1)^2-2(5a+1)-3=25a^2+10a+1-10a-2-3=25a^2-4 \)
C) Para factorizar \( (25a^2-4) \) dos opciones:
C1) Nos damos cuenta de que es una diferencia de cuadrados y usamos el conocido "producto notable" que permite expresarlo como suma por diferencia:
\( 25a^2-4=(5a)^2-2^2=(5a+2)(5a-2) \)
C2) Lo expresamos como \( 25a^2-4=25(a^2-4/25) \). Como en (3) resolvemos la ecuación de segundo grado \( a^2-4/25=0 \) cuyas raíces resultan \( -2/5 \) y \( 2/5 \). Por tanto:
\( 25a^2-4=25(a^2-4/25)=25(a-2/5)(a+2/5)=5(a-2/5)5(a+2/5)=(5a-2)(5a+2) \)
¿Alguna duda ahora?.
Saludos.
