Hola, josemiclfa. Simplemente es para orientarte un poco, con un ejemplo muy simple: si tienes un sistema de ecuaciones de esta forma
\( x_{1}+x_{2}=\lambda x_{1} \)
\( 2x_{1}-x_{2}=\lambda x_{2} \)
que matricialmente podemos expresar así
\( \left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
2 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
x_{2}\end{array}\right)=\lambda\left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
x_{2}\end{array}\right) \)
lambda representa los autovalores de la matriz y \( \left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
x_{2}\end{array}\right) \) representa los autovectores de la matriz;
La matriz es \( \left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
2 & -1\end{array}\right) \) , no hace falta decirlo.
En un caso tan sencillo como éste, que sólo tenemos dos variables y coeficientes bajos para ellas, vale con aplicar el método de sustitución para encontrar los autovalores:
Despejando y sacando factor común
\( x_{1}(1-\lambda)+x_{2}=0 \)
\( 2x_{1}-x_{2}(1+\lambda)=0 \)
Tomando la expresión de \( -x_{2} \) en la primera ecuación, entrando en la segunda para sustituirla y dividiendo por \( x_{1} \):
\( 2x_{1}+x_{1}(1-\lambda)(1+\lambda)=0\Rightarrow2+1-\lambda^{2}=0 \)
...
A esta última expresión se llama polinomio característico; o sea: \( p(\lambda)=-\lambda^{2}+3=0 \) el cual se suele denominar también con la letra \( \chi \)
y de él, resolviendo, se obtienen los autovalores
\( 3=\lambda^{2}\Rightarrow\lambda_{1}=\sqrt{3};\,\,\,\lambda_{2}=-\sqrt{3} \)
...
Ahora, la matriz que te queda, tal y como se ha despejado para igualar a cero, es
\( \left(\begin{array}{cc}
1-\lambda & 1\\
1 & 1+\lambda\end{array}\right) \)
Es decir, seguidamente y según lo que nos dice el sistema, para obtener el autovector asociado al autovalor \( \sqrt{3}, \) haremos:
\( \left(\begin{array}{cc}
1-\sqrt{3} & 1\\
1 & 1+\sqrt{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
x_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\end{array}\right) \)
Y para obtener el autovector asociado al autovalor \( -\sqrt{3} \)
\( \left(\begin{array}{cc}
1-(-\sqrt{3}) & 1\\
1 & 1+(-\sqrt{3})\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
x_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\end{array}\right) \)
Obteniendo las ecuaciones paramétricas de estos sistemas podrás obtener también la forma general de los dos autovectores a partir del parámetro (o parámetros). Si todos los autovectores resultan linealmente independientes, y hay tantos autovectores como indica la dimensión de la matriz, la matriz será diagonalizable.
...
Una vez obtenida la forma general de los autovectores, puedes dar valores numéricos a los parámetros para obtener una base de vectores; en este caso, por ejemplo:
\( v_{1}=(\mbox{\ensuremath{\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}},\,\,1)} \) ; \( v_{-2}=(\mbox{\ensuremath{\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}},\,\,1)} \)
Poniendo estos dos vectores en columna tienes la matriz de paso “P”.
La matriz diagonal la formas poniendo los autovalores en la diagonal y lo demás ceros.
(esto es sólo un ejemplo para que veas un poco por encima cómo va).
Saludos.
