Hola
Al calcular el polinomio característico y intentar estudiar cuando se anula llegas a la ecuación:
\( 1-t^3=0 \)
Hasta ahí de acuerdo, ¿no?.
Ahora todo depende de que cosas sepas sobre números complejos. De la ecuación despejamos y queda:
\( t=\sqrt[3]{1} \)
Es decir \( t \) puede ser una de las tres raíces complejas de la unidad; hay una forma standard en teoría de números complejos de hallarlas. En general los complejos \( z \) verificando \( z^n=1 \) son de la forma:
\( e^{\frac{2\pi i}{3}k} \) con \( k=0,1,\ldots,n-1 \)
Recuerda que:
\( e^{\theta i}=cos(\theta)+i sin(\theta) \)
En tu caso las tres raíces serían:
\( e^{\frac{2\pi i}{3}\cdot 0}=e^0=1 \)
\( e^{\frac{2\pi i}{3}\cdot 1}=cos(2\pi/3}+i\,sin(2\pi/3}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i \)
\( e^{\frac{2\pi i}{3}\cdot 2}=cos(4\pi/3}+i\,sin(4\pi/3}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i \)
Una forma alternativa de llegar a la misma conclusión es la siguiente.
Está claro que una raíz real de la ecuación \( t^3-1=0 \) es \( t=1 \). Si divides el polinomio \( t^3-1 \) por \( t-1 \) (por ejemplo por Ruffini) obtienes que:
\( t^3-1=(t-1)(t^2+t+1) \)
Si resolvemos la ecuación de segundo grado \( t^2+t+1=0 \) de la forma usual queda:
\( t=\dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2}=-\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
y obtenemos así las mismas tres soluciones que con el método standard de cáclulo de raíces complejas de la unidad.
Saludos.
