[juazki]

Los ingenieros, físicos y todos aquellos que no se encuentran dentro de las matemáticas "puras" suelen operar con diferenciales a la ligera, haciendo cosas como:

\( P = A \displaystyle\frac{dT}{dt}+B(T-C) \)

esto pasa a ser, reordenando y pasando dt como si fuera un número al otro lado:

\( dt = A \displaystyle\frac{dT}{P-B(T-C)} \)

Y ahora integramos entre los los instantes de tiempo que necesitamos para sacar el valor final de T, por ejemplo.

Siempre me han dicho que "esto se puede hacer porque no hay ningún matemático mirando", "si un matemático viera esto se echaría las manos a la cabeza", "asumimos todas esas cosas que se han de cumplir para poder hacer esto", o similares.

Mi pregunta es, ¿cuáles son esas condiciones que se tienen que cumplir para que podamos operar con diferenciales tan a la ligera, es decir, multiplicando y dividiendo por diferenciales, pasándolos de un lado a otro y mancillándolos de esa manera?


Saludos,
juazki

[juazki]

He encontrado más o menos respuesta en los siguientes links:

http://cientifi.net/preguntas/3059/por-que-trabajamos-con-diferenciales-en-fisica
http://cientifi.net/preguntas/5390/que-es-el-analisis-no-estandar
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_hiperreal
http://es.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal

Por lo que he entendido:

En las ecuaciones de la física matemática son muy comunes las operaciones con diferenciales (también llamados, infinitésimos o infinitesimales) por su relativa sencillez. Se toman los diferenciales como "números infinitamente pequeños" y no como su rigurosa definición en el análisis clásico de límites. La fiabilidad y el correcto funcionamiento de estos métodos se deben a supuestos del análisis no estándar y los números hiperreales \( \mathbb{R^*} \) (cumpliéndose  \( \mathbb{R} \subset{\mathbb{R^*}}} \) . Por tanto, estas operaciones con diferenciales no son más que operaciones entre hiperreales cuyos resultados se cumplen en los reales \( \mathbb{R} \) (por medio de un principio de transferencia) y nos permiten realizar este tipo de operaciones del análisis clásico de una manera más sencilla.

¿Es esto correcto? Agradecería si alguien que tenga un conocimiento más profundo de este tema podría arrojar un poco de luz sobre mi ignorancia. 

Saludos,
juazki

[Carlos Ivorra]

No hay una única respuesta para todos los casos a los que se puede aplicar lo que dices. Hay de todo. Por ejemplo, el caso que citas de la ecuación diferencial con variables separables puede justificarse interpretando las diferenciales como formas diferenciales, el análisis no estándar justifica algunas manipulaciones con integrales diferenciales, pero no otras, hay casos en los que el resultado es correcto, pero el argumento no lo es. Fíjate que cualquiera puede poner en la última línea de la página una afirmación correcta y poner encima otras cosas cualesquiera y decir: esto es una prueba, y si lo dudas, es que eres un tiquismiquis, porque lo cierto es que la conclusión vale.

Por ejemplo, una vez vi en otro foro una demostración en la que alguien preguntaba por qué su profesor había cancelado dos diferenciales de segundo orden, bajo el argumento oficial de que eran despreciables frente a los diferenciales de primer orden presentes en la fórmula. Pero eso era falso: bastaba poner un ejemplo concreto sencillo para encontrarte con que los dos términos cancelados tendían a infinito para valores pequeños de las variables independientes. Sin embargo, la cancelación era correcta, porque era una suma en la que los dos términos cancelados eran iguales pero de signo opuesto. Para probar que la cancelación valía en general había que aplicar el teorema de Stokes, pero lo cierto es que el argumento chapucero de que los términos "eran despreciables" era rotundamente falso. No eran despreciables (por separado, como se pretendía afirmar), sino que se cancelaban mutuamente (como probaba el teorema de Stokes para el caso general o se observaba directamente en el ejemplo concreto).

En fin, es difícil decir algo más así en general, como ya digo, cada manipulación con diferenciales tiene que ser analizada para ver si es correcta, si es correcta en algunos casos si y en otros no, si lo que concluye es cierto pero el argumento es falso, o... no sé si aún habría más casos que considerar.

[juazki]

Antes de nada, gracias por responder Carlos.

Parece ser que me había ido por las ramas, ya decía yo que parecía esto demasiado complicado (análisis no estándar, números hiperreales, todo eso me suena a chino). Me refería concretamente a los casos similares al que he puesto en el mensaje original, y, tal y como dices, se pueden razonar su resolución teniendo en cuenta que son las tan conocidas ecuaciones de variables separables (¡cómo no he podido darme cuenta!  ).

El paso de:

\( P = A \displaystyle\frac{dT}{dt}+B(T-C) \) a \( dt = A \displaystyle\frac{dT}{P-B(T-C)} \) y su posterior integración (lo que llaman "separando variables e integrando")

sería de manera rigurosa:

1. dejando a un lado las dependencias de T y al otro las de t:

\( 1  = A \displaystyle\frac{1}{P-B(T-C)} \displaystyle\frac{dT}{dt} \)

2. integrando ambos miembros respecto de t:

\( \displaystyle\int_{}^{}1 dt = \displaystyle\int_{}^{}A \displaystyle\frac{1}{P-B(T-C)} \displaystyle\frac{dT}{dt} dt \)

y como:

\( \displaystyle\frac{dT}{dt} dt = T' dt = dT \)

entonces ya tenemos lo que queríamos:

\( \displaystyle\int_{}^{}1 dt = \displaystyle\int_{}^{}A \displaystyle\frac{1}{P-B(T-C)} dT \)

entonces eso de "multiplicar por dt" no era más que un atajo para llegar a este resultado que está amparado por el método de las ecuaciones de variables separables.

Creo que ahora sí que lo tengo claro de verdad, espero no haber cometido ningún error en la justificación 

Saludos,
juazki

Edito: adjunto teoría de ecuaciones de variables separables.

[Capitan Trueno]

Me permito recordar aquí que dentro de la más estricta formalidad se puede establecer que:

\( T'\qquad\longrightarrow{}\qquad dT=T'dt \)

lo que justifica desde todo punto de vista las "manipulaciones" realizadas en el mensaje de más arriba. En una ecuación como ésta:

\( P = AT' +B(T-C) \)

es perfectamente lícito substituir la derivada, \( T' \), de la función \( T \) respecto de la variable \( t \) por el cociente de los diferenciales respectivos, y en consecuencia las transformaciones mostradas e injustamente denominadas "manipulaciones" están perfectamente justificadas. Es perfectamente lícito y absolutamente riguroso realizar este paso:

\( P = AT' +B(T-C)\qquad\longrightarrow{}\qquad dt = A \displaystyle\frac{dT}{P-B(T-C)} \)

precisamente por la definición, más que rigurosa también, del diferencial de una función.

Salu2

[Carlos Ivorra]

Me permito recordar aquí que dentro de la más estricta formalidad se puede establecer que:

\( T'\qquad\longrightarrow{}\qquad dT=T'dt \)

En la más estricta formalidad, esto no tiene sentido, porque la parte derecha es una afirmación, y la izquierda no.

lo que justifica desde todo punto de vista las "manipulaciones" realizadas en el mensaje de más arriba.

Las manipulaciones del primer mensaje son fácilmente justificables. Nadie ha dicho lo contrario (yo hablaba en general de manipulaciones fáciles como ésas y de otras más dudosas), pero, incluso en un caso tan simple como éste, la mera definición de diferencial no basta para justificarlas.

En una ecuación como ésta:

\( P = AT' +B(T-C) \)

es perfectamente lícito substituir la derivada de la función \( T \) respecto de la variable \( t \), \( T' \), por el cociente de los diferenciales respectivos, y en consecuencia las transformaciones mostradas e injustamente denominadas "manipulaciones" están perfectamente justificadas. Es perfectamente lícito y absolutamente riguroso realizar este paso:

\( P = AT' +B(T-C)\qquad\longrightarrow{}\qquad dt = A \displaystyle\frac{dT}{P-B(T-C)} \)

precisamente por la definición, más que rigurosa también, del diferencial de una función de una variable.

Sí, hasta ahí se trata de una aplicación trivial de la definición de diferencial, pero cuando se despeja \( dt \) se pasa de considerar a \( T \) como función de \( t \) a considerar a \( t \) como función de \( T \). Eso requiere que la función \( T(t) \) sea inyectiva, y detrás del paso aparentemente inocente está el teorma de la función inversa (que lo justifica, ciertamente, pero es más que la mera definición de diferencial).  Ahí tenemos un ejemplo sencillo de lo de "asumimos todas esas cosas que se han de cumplir para poder hacer esto", a las que se refería juazki.

Pero no queda ahí la cosa, al integrar las igualdad de diferenciales término a término, se está usando que la definición de integral de funciones puede generalizarse a una definición de integral de diferenciales. En este caso concreto se puede dar una justificación ad hoc sencilla, al estilo de lo que ha hecho juazki (aunque él también ha colado un paso sin justificar al integral respecto de \( dT \), cuando dice explícitamente justo antes que considera a \( T \) como una función y no como una variable), pero también puede probarse en general que es posible definir la integral de una forma diferencial arbitraria y que la integral así concebida es incluso más natural que el concepto de integral de una función. En realidad son estos hechos generales los  que se puede considerar que justifican esas manipulaciones, pues si la pretendida justificación es una justificación ad hoc, entonces lo que hay más bien es la omisión de una justificación.

[Capitan Trueno]

Claro, claro.

[juazki]

Me alegro de que este tema haya dado lugar a una interesante discusión 

He estado repasando las notas de ecuaciones de variables separables y más o menos he contruido otra demostración más rigurosa (intentando aplicar el caso general de las notas a este caso en cuestión):

Si tenemos la ecuación en cuestión:

\( P = A \displaystyle\frac{dT}{dt} + B(T-C) \)

y la reescribimos de la siguiente forma:

\( \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{A}{P-B(T-C)}} = \displaystyle\frac{dT}{dt} \), es decir, con \( p(t) = 1 \) en el numerador y \( q(T(t)) = \displaystyle\frac{A}{P-B(T-C)} \) en el denominador.

Sean estas funciones continuas en sus correspondientes intervalos y \( q(T(t)) \neq{} 0 \), tenemos entonces:

\( \displaystyle\int_{}^{} 1 dt = \displaystyle\int_{}^{} T'(t) \displaystyle\frac{A}{P-B(T-C)} dt  \)

lo que nos lleva a:

\( t = -\displaystyle\frac{A}{B} ln(P-B(T(t)-C)) \)

Ahora como \( q(T(t)) \) era continua y distinta de 0 en el intervalo, es estrictamente positiva o negativa, y entonces su función primitiva es continua y estictamente monótona en el intervalo. Por el teorema de la función inversa, al ser la función biyectiva (continua y estrictamente monótona) entonces existe su inversa que también será biyectiva en el intervalo en cuestión.

Podemos entonces despejar \( T(t) \) de la ecuación, obteniendo:

\( \displaystyle\frac{P-e^{-\displaystyle\frac{B}{A}t}}{B} + C = T(t) \)

Este es el mismo resultado que obtenemos si hacemos la operación:

\( \displaystyle\int_{}^{} 1 dt = \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{A}{P-B(T-C)} dT  \)

Conclusión: esto lo de "mover diferenciales" sigue pareciéndome un atajo, ya que \( T'(t) dt = dT \), es decir que al tener tanto la función \( T(t) \) como su derivada \( T'(t) \) dentro de la integral obtenemos el mismo resultado si integramos respecto de T en la ecuación original.

Lo que no me queda claro es qué propiedades específicas ha de tener \( T(t) \), además de que sea derivable en el intervalo en cuestión.

Saludos,
juazki

[Carlos Ivorra]

Creo que ahora todo lo que dices es correcto (salvo que te has dejado la constante de integración). De todos modos, se puede hacer más fácil. En general, si tienes una ecuación diferencial

\( f(y)\dfrac{dy}{dx}=g(x) \),

que debe cumplir una función \( y(x) \), lo que tenemos realmente es la igualdad siguiente de funciones de x:

\( f(y(x))\dfrac{dy}{dx}=g(x) \),

y entonces podemos afirmar que la integral (indefinida) de ambas funciones de \( x \) será la misma:

\( \displaystyle \int f(y(x))\dfrac{dy}{dx}\,dx=\int g(x),dx \),

entendida como una igualdad entre los conjuntos de primitivas de ambas funciones.

Ahora, pon que has encontrado primitivas para \( f(y) \) (como función de \( y \)) y para \( g(x) \) (como función de \( x \)), es decir, que \( F'(y)=f(y) \) y \( G'(x)=g(x) \).

Entonces \( F(y(x)) \) es una primitiva de \( f(y(x))\dfrac{dy}{dx} \), luego podemos afirmar que

\( F(y(x))=G(x)+K \),

para cierta constante \( K \), y la solución \( y(x) \) de la ecuación diferencial se obtiene despejando \( y \) de esta ecuación.

Cuando separas las diferenciales y escribes \( \int f(y)\,dy=\int g(x)\,dx \), al resolver la parte izquierda estás calculando una primitiva \( F(y) \) y al resolver la parte derecha calculas \( G(x) \), con lo que llegas a la misma ecuación \( F(y)=G(x)+K \).

Esto justifica el método de variables separables en general, sin necesitar siquiera el teorema de la función inversa. Sólo hace falta que todas las funciones implicadas sean derivables.

Si te fijas, en todo el razonamiento no aparece nunca una \( dx \) o \( dy \) "suelta", sino que todas aparecen en la notación para las derivadas o para las integrales. Se pueden dar argumentos más generales que justifican hasta cierto punto la manipulación de diferenciales "sueltas" en otros contextos. Las faltas de rigor aparecen cuando uno pretende justificar esas manipulaciones por cualquiera de dos caminos igualmente falaces:

1) Pretender que las diferenciales representan cantidades "infinitesimales" y que eso sirve como justificación de algo (ahí el análisis no estándar puede ayudar a dar rigor a ese tipo de argumentos, pero mi experiencia tras haber estudiado un poco de análisis no estándar es que la ayuda a ese respecto es algo menor de la que uno podría esperar a priori), y

2) Pretender que la mera notación de derivadas como "cociente" de diferenciales o la de integral como "gusanito de producto de función más diferencial", que en principio no son más que meras notaciones, justifique separar los dos diferenciales del falso cociente que aparece en la notación de derivada o eliminar el "gusanito" y dejar las diferenciales, cuando en realidad "gusanito y diferencial" son la notación para un único concepto, luego no es lícito separarlos. (En realidad sí es lícito, pero no "por la cara". Como ya digo, se puede justificar que las diferenciales pueden independizarse de las integrales probando que la definición de integral de una función puede extenderse a la de integral de una (forma) diferencial, pero no es trivial y, desde luego, no puede justificarse sin más base que la notación para las integrales es la que es).

[juazki]

Muchas gracias por la respuesta, sin duda es una forma más sencilla e intuitiva. Por fin he encontrado una respuesta a la cuestión que he sido capaz de entender y asimilar.

Supongo que puedo dar el tema por zanjado y ya puedo dormir tranquilo 

Saludos,
juazki