[mendeleiev]

Hola a todos, debo resolver el siguiente problema:



Calcular la altura a la que debemos llenar un depósito cilíndrico horizontal de radio 1, para alcanzar una cuarta parte de su volumen.

Creo que el problema es el mismo que si nos pidiesen la altura para que alcanzar la mitad del área de una semicircunferencia. Es decir, hallar la h que haga que el área de esa porción sea igual al área de la mitad de la semicircunferencia. Planteo la integral y la igualo a la mitad de una semicircunferencia (pi/4) y la resuelvo , pero despejar h me parece imposible. ¿Hago algo mal? ¿Se podría resolver este problema usando algún teorema de integrales?

Gracias .

[Carlos Ivorra]

El problema es lo que crees. Calcula el volumen y no el área. El círculo de altura \( h \) tiene área \( \pi(1-h^2) \), luego el volumen hasta la altura \( h \) es

\( \pi\int_0^h(1-h^2)\,dh \)

y eso tiene que darte \( \pi/3 \), que es la mitad del volumen de la semiesfera.

[mendeleiev]

El problema es lo que crees. Calcula el volumen y no el área. El círculo de altura \( h \) tiene área \( \pi(1-h^2) \), luego el volumen hasta la altura \( h \) es

\( \pi\int_0^h(1-h^2)\,dh \)

y eso tiene que darte \( \pi/3 \), que es la mitad del volumen de la semiesfera.

No entiendo muy bien tu respuesta. Es un depósito cilíndrico, no esférico.

[Carlos Ivorra]

Perdón. Vi el dibujo y pensé en una esfera. Queda lo que te sale a ti, tu cálculo es correcto, y la ecuación no tiene solución sencilla.

[Capitan Trueno]

Creo que no hace falta resolver ninguna integral para resolver este problema. Basta considerar que la parte rellena del volumen con una altura \( h \) es la diferencia entre el sector y el segmento circular correspondientes a dicha altura. Si tenemos en cuenta que el semiángulo abarcado por el sector es tal que:

\( Cos(\alpha)=\displaystyle\frac{r-h}{r} \)

entonces su área vale:

\( S_s=r^2\alpha \)

El área del triángulo inscrito en dicho sector vale:

\( S_t=\displaystyle\frac{1}{2}r^2Sen(2\alpha)=r^2Sen(\alpha)Cos(\alpha) \)

La diferencia de ambos se corresponde con el llenado del depósito:

\( S_s-S_t=r^2\alpha-r^2Sen(\alpha)Cos(\alpha) \)

combinando ésta con la expresión de \( \alpha \) respecto de la altura e igualando a la cuarta parte de la sección del depósito se llega a la solución, pero despejar la altura en función del llenado parece que no va a ser fácil.

NOTA: Las fórmulas expuestas solo tienen validez hasta un llenado mitad del depósito.

Salu2

[Abdulai]

Este problema se presta para un entretenimiento con minicalculadora

La expresión que obtuviste, en función del ángulo queda: \( \sin\theta\,\cos\theta+\theta=\dfrac{\pi}{4} \)

Y sustituyendo \( \theta=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2} \) queda  \( x=\cos{x} \) , una ecuación en la que se deben aplicar métodos numéricos.

La curiosidad, es que usando una minicalculadora basta pulsar la tecla "cos" 50 veces para que en el display tengamos el resultado \( x_0 = 0.7390851332 \)  (estamos usando el método del punto fijo)

Por lo tanto, \( h=\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{x_0}{2})=0.4039727532 \)

[feriva]

Yo creo que lo que seguramente querrá el profe de mendeleiev es que lo plantee como el sólido revolución de una lámina de ancho 1 y altura "h" que gira de cero a \( \pi/2 \). Ése sería el volumen y, ya a partir de ahí, se calcularía la porción de h a la que tiene que llegar con ese volumen.

Saludos.

[mendeleiev]

Gracias a todos pero es un problema de examen en el que no dejan calculadora por lo que un método interativo para hallar la solución queda descartado. Debe resolverse mediante integrales o teoremas, puesto que la asignatura trata de eso. Por lo que veo, intuyo que debe resolverse mediante algún teorema (promedio integral o alguno de estos), pero no consigo verlo.

[feriva]

Gracias a todos pero es un problema de examen en el que no dejan calculadora por lo que un método interativo para hallar la solución queda descartado. Debe resolverse mediante integrales o teoremas, puesto que la asignatura trata de eso. Por lo que veo, intuyo que debe resolverse mediante algún teorema (promedio integral o alguno de estos), pero no consigo verlo.

Hay varias formas, depende de qué temas hayas visto, de si has visto integrales múltiples, cambio a coordenadas polares, matriz de Jacobi, etc. Te pongo un vídeo apropiado al caso:

 

Saludos.

[mendeleiev]

Gracias a todos pero es un problema de examen en el que no dejan calculadora por lo que un método interativo para hallar la solución queda descartado. Debe resolverse mediante integrales o teoremas, puesto que la asignatura trata de eso. Por lo que veo, intuyo que debe resolverse mediante algún teorema (promedio integral o alguno de estos), pero no consigo verlo.

Hay varias formas, depende de qué temas hayas visto, de si has visto integrales múltiples, cambio a coordenadas polares, matriz de Jacobi, etc. Te pongo un vídeo apropiado al caso:

 

Saludos.

Gracias pero haciéndolo mediante integrales dobles llego a la misma ecuación. Planteo la superficie apoyada como un rectángulo de lados diámetro y longitud del cilindro, integro sobre una superficie cilíndrica con límites desde 0 hasta h y vuelve a salir lo mismo. También he probado mediante integrales triples y llego a lo mismo, incluso he probado "bajar" el cilindro una altura h para que la incógnita esté en la ecuación a integrar y no en los límites de integración, pero vuelvo a la misma ecuación. Definitivamente creo que se resuelve más sencillo mediante algún teorema.