[fdymendo]

\( \displaystyle\lim_{x \to{pi}}{} \displaystyle\frac{1 + sin(x -\displaystyle\frac{3pi}{2})}{x - pi} \)
Cuales son los pasos para realizar-lo, solo opere el el paréntesis de sin, pero no se que más hacer.

[Capitan Trueno]

Es una indeterminación de la forma \( \displaystyle\frac{0}{0} \) que puede despejarse de varias formas, por ejemplo usando L'Hopital:

\( L=\displaystyle\lim_{x \to{pi}}{} \displaystyle\frac{1 + Sen\left(x -\displaystyle\frac{3pi}{2}\right)}{x - pi}=\displaystyle\lim_{x \to{pi}}{} \displaystyle\frac{Cos\left(x -\displaystyle\frac{3pi}{2}\right)}{x}=0 \)

Salu2

[fdymendo]

Es una indeterminación de la forma \( \displaystyle\frac{0}{0} \) que puede despejarse de varias formas, por ejemplo usando L'Hopital:

\( L=\displaystyle\lim_{x \to{pi}}{} \displaystyle\frac{1 + Sen\left(x -\displaystyle\frac{3pi}{2}\right)}{x - pi}=\displaystyle\lim_{x \to{pi}}{} \displaystyle\frac{Cos\left(x -\displaystyle\frac{3pi}{2}\right)}{x}=0 \)

Salu2

Me perdi soy algo nuevo, en este tema y no me han enseñado  a derivar, con lo mas simple.

[Capitan Trueno]

Haz el cambio de variable \( x=t+\pi \) con lo que el límite te queda y desarrolla el seno como seno de una diferencia:

\( L=\displaystyle\lim_{x \to{pi}}{} \displaystyle\frac{1 + Sen\left(x -\displaystyle\frac{3pi}{2}\right)}{x - pi}=\displaystyle\lim_{t \to{0}}{} \displaystyle\frac{1 + Sen\left(t -\displaystyle\frac{pi}{2}\right)}{t}=\displaystyle\lim_{t \to{0}}{} \displaystyle\frac{1 -Cos(t)}{t} \)

y teniendo en cuenta que en el entorno de t=0:

\( Cos(t)\approx{}1-\displaystyle\frac{t^2}{2}\qquad\longrightarrow{}\qquad 1-Cos(t)\approx{\displaystyle\frac{t^2}{2}} \)

llegamos a que:

\( {{{L=\displaystyle\lim_{x \to{pi}}{} \displaystyle\frac{1 + Sen\left(x -\displaystyle\frac{3pi}{2}\right)}{x - pi}=\displaystyle\lim_{t \to{0}}{} \displaystyle\frac{1 + Sen\left(t -\displaystyle\frac{pi}{2}\right)}{t}=\displaystyle\lim_{t \to{0}}{} \displaystyle\frac{1 -Cos(t)}{t}=\displaystyle\lim_{t \to{0}}\ \displaystyle\frac{t^2}{2t}=0}}} \)

Salu2

[Capitan Trueno]

La práctica es la que te dirá cuando debes hacer que cosas. En este negocio no hay recetas mágicas que lo resuelvan todo.

¿Qué es lo que no entendiste?

Salu2

[fdymendo]

La práctica es la que te dirá cuando debes hacer que cosas. En este negocio no hay recetas mágicas que lo resuelvan todo.

¿Qué es lo que no entendiste?

Salu2

Cuando en el denominador cambias de 1 + sin.... a 1 - cos....
es decir esto
\( Cos(t)\approx{}1-\displaystyle\frac{t^2}{2}\qquad\longrightarrow{}\qquad 1-Cos(t)\approx{\displaystyle\frac{t^2}{2}} \)
por ejemplo el "1-" sale de el aproximadamente a afuera de este.

[Capitan Trueno]

¿Sabes lo que es un infinitésimo?

¿Sabes lo que son infinitésimos equivalentes?

[fdymendo]

No, no me han enseñado eso, ni he investigado sobre ese tema. Soy de primer semestre de ingeniería de sistemas ._.

[Capitan Trueno]

¿Sabes darme la definición de límite?

Si no sabes darme la definición, al menos explícame lo que entiendes tu por límite.

Salu2

[fdymendo]

Es un punto en el cual en una gráfica hay una indeterminación, es decir un punto en el cual no llega dicha gráfica o función, que jamas tocara ese lugar, pero podemos tomar valores cercanos a esa indeterminación, para observar a que valor se acerca.