[kikirimai]

Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar 100 m3 de petroleo. Calcula con que rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50m si el espesor disminuye a razon de 10 hora cm en el instante en que R = 50 m


un estudio realizado durante una epidemia que se propago entre los animales del rodeo vacuno de nuestro pais mostro que el numero en miles de animales afectados, t dias despues de iniciado el brote, respondio a una expresion del tipo: P(t) = t3/3-5t2/2+6t. donde t esta dada en semanas. si a partir de la tercera semana comenzo a erradicarse hsata extinguirse completamente. cuando se alcanzo el numero maximo de animales afectados y cuantos fueron estos


La ley de Boyle para los gases perfectos establece que a temperatura constante P.V=K donde P es la presion, V el volumen y K una constante, Si la presion esta dada por la expresion: P(t) = 30 + 2t con P en cm de HG, t en seg ; y el volumen inicial es de 60 cm3, determina la razon de cambio del volumen V con respecto al tiempo t a los 10 segundos.


Un glob o esferico se llena con gas con un gasto constante Q = 100 LITROS / MINUTO. Suponiendo que la presion del gas es constante, halla la velocidad con que esta aumentando el radio R del globo en el instante en que R= 0.3



La poblacion P de una colonia de bacterias con espacio y alimentos ilimitados, varía con el tiempo de acuerdo a la expresion P(t) = ce ^kt con c y k constantes, en t horas y k en 1/hora.
Si en el instante inicial la poblacion era de 1000 bacterias y al cabo de una hora la misma se duplicó, determina los valores de C y de K; y en base a esto determina cual es y cuando ocurre la minima velocidad de crecimiento de colonia


Disculpen que sean tantos pero la verdad no entiendo nadita espero ustedes me puedan ayudar un poco =) de antemano muchas gracias saludos!!!!

[numbsoul]

Sea \( R(t) \) el radio de la mancha cilíndrica en función del tiempo (en horas) (convengamos que \( R(0)=50 m \)).Queremos hallar \( R'(t) \).

Tengamos en cuenta que el volumen es constante a lo largo del proceso (\( 100\;m^{3} \))

LLamemos \( E(t) \) al espesor  en función del tiempo.Sabemos que \( E'(t)=-0,1\;m/h \),con lo cual \( E(t)=-t\times 0,1\;m/h+a \),donde \( a \) es una constante (es el espesor inicial)

¿Cómo determinamos el radio a partir del espesor?,pues bien,tenemos \( 100\;m^{3}=E(t)\pi R(t)^{2} \).

[numbsoul]

Para el último,tenemos \( P(t)=ce^{kt} \) con \( 1000=P(0)=c \) y \( 2000=P(1)=1000e^{k} \),de modo que \( 2=e^{k} \),es decir,\( k=log(2) \).

Luego \( P(t)=1000\times 2^{t} \).

Para hallar la mínima velocidad de crecimiento de colonia y en que instante se halla,calcula el mínimo de \( P'(t) \) y el valor que la misma toma en dicho mínimo.

[kikirimai]

Hola muchas gracias por contestar podriamos ponernos en contacto por MSN??

Disculpen mucho las molestias pero en verdad aún sigo sin entender, me seria de mucha ayuda que me resolvieran al menos unos cuantos con sus respectivos pasos y el porque de las cosas para yo posteriormente estudiarlos

[numbsoul]

Retomemos el primer ejercicio:

Llamemos \( R(t),E(t) \) al radio y espesor de la mancha cilíndrica en función del tiempo (en horas).Con espesor se hace referencia a la altura del cilindro.Convengamos que el instante inicial es \( t=0 \),de modo que \( R(0)=50\;m \).

El volumen es siempre constante (la cantidad de petróleo es la misma a lo largo del proceso),por lo tanto \( 100\;m^{3}=E(t)(\pi R(t)^{2}) \) para toda hora \( t \) del proceso (el volumen del cilindro es el área de la base multiplicada por la altura).De esta ecuación puedes despejar el espesor inicial,haciendo \( t=0 \).

Nos dicen que el espesor disminuye a razón constante de \( 0,1\;m/h \).La razón de cambio es la derivada,y como nos dicen que el espesor disminuye,la misma debe ser negativa,con lo cual \( E'(t)=-0,1\;m/h \).¿Como calculamos \( E(t) \)?,pues bien,\( E(t) \) es una primitiva de \( E'(t) \),por lo tanto \( E(t)=-0,1\times t+a \) (donde \( a=E(0) \)).

Con esto,ya conoces la función \( E(t) \) y de la ecuación \( 100\;m^{3}=E(t)(\pi R(t)^{2}) \) despejas \( R(t) \).

Como nos piden la rapidez (la razón de cambio del radio),calculamos \( R'(t) \) (tendrás que usar la regla de la cadena)

Ahora mismo estoy dudando de esta resolución;el enunciado me hace suponer que la razón de cambio del espesor no es constante

[kikirimai]

Muchas gracias ahora he entendido mejor! este procedimiento tambien es valido??:

El volumen del cilindro circular formado en el mar es:

V = h * pi * r²

o dicho de otra forma

h = V / (pi * r²)

ahora, el volumen es constante todo el tiempo, las únicas variables son el espesor "h" y el radio "r", para calcular la rapidez con que cambian estas dos derivamos con respecto al tiempo:

h = V / (pi * r²)
dh/dt = ( -2*V / (pi * r³) ) dr/dt

despejamos la rapidez dr/dt:

dr/dt = - dh/dt * pi * r³ / ( 2*V )

y reemplazamos los valores para un radio de 50m:

dr/dt para 50m = - (0.1m/h) * pi * (50m)³ / (2*100m³)
dr/dt para 50m = 196.3495 m/h

el radio de la mancha aumenta con una rapidez de 196.3495 metros cada hora.

[numbsoul]

¿Por qué no derivas la igualdad \( 100=\pi hr^{2} \) respecto de \( t \) y evalúas para el radio correspondiente a \( 50\;m \),a ver si da lo mismo?,creo que así se entenderán mejor los cálculos.

[kikirimai]

derivarla?

-2r/pi(r^2)


esoo?

[numbsoul]

Si derivas esa igualdad obtienes \( 0=h'r^{2}+h2rr' \) (por regla del producto)

Cancelando,nos queda \( 0=rh'+2hr' \).

[kikirimai]

Cierto!! y de ahi?