[Carlos Ivorra]

Lo más que creo se me podría cuestionar es si esta pregunta debo plantearla en un foro de lógica o en el apartado de física. No hay ( hasta el punto dónde yo conozco) teorías físicas que no consideren la posición ni casi ninguna magnitud no representadas por números reales. Tan sólo trato de convencerme a mí mismo de que algun modelo de los números reales es adecuado para ello, y no termino de verlo claro. Obviamente, yo no soy un experto en matemáticas ( ni lo pretendo, ni creo que lo hubiese conseguido), pero me interesa el tema y por eso entro en estos foros. Nada más.

A mí me sucede lo contrario: no soy experto en física, así que no podría llevar a fondo una discusión sobre este asunto, pero la mecánica cuántica establece que no tiene sentido hablar de longitudes menores que la longitud de Planck, pero sí que hay números reales menores que la longitud de Planck. Esos números reales no tienen significado físico, ni los intervalos abiertos de números reales de longitud menor que la longitud de Planck.

Por otra parte, imagina que el universo es finito, y tiene un diámetro D. Entonces, los números reales mayores que D no tienen significado físico, pues no hay distancias en el universo mayores que D. Tampoco tendrían significado físico los números naturales mayores que el número de partículas elementales que hay o vaya a haber en cualquier momento en el universo (dado que tienen el vicio de crearse y destruirse).

[argentinator]

Para no caer en una polémica que no nos llevaría a ninguna parte, te sugiero que hagas lo siguiente: en cuanto veas una afirmación metamatemática concreta en el hilo cuyo significado o alcance te parezca dudosa, señálala y la discutimos, pero no incluyas en esto la "definición" de \( \mathcal L_{\rm tc} \), aunque sí cualquier afirmación posterior que se haga sobre \( \mathcal L_{\rm tc} \), cualquier afirmación en la que se afirme algo en concreto sobre \( \mathcal L_{\rm tc} \) o sobre sus fórmulas, etc.

De verdad que no quiero polemizar con estas cosas, e intento poner el "paraguas" de ZF que pusiste al principio.
Pero en el post #1, en que hiciste "el paso" a "meta", yo lo sentí como un salto al vacío.
Por ejemplo, para mí lo siguiente no tiene sentido en el metalenguaje:

\( \mbox{Var}(\mathcal L) = \{3^n\mid n\geq 1\} \)

Por ejemplo, no sé cómo construir o definir los números de la forma \( 3^n,n\geq 1 \), sin una teoría formal axiomática de números naturales, pues se requiere recurrencia, y hasta donde yo sé, esto requiere el Principio de Inducción. Y tales resultados para demostrarse requieren una teoría formal de algún tipo.

Y el hecho de que estemos escribiendo \( \mbox{Var}(\mathcal L)=\{ ... \} \), o sea, igual a un conjunto, no sé qué sentido tiene fuera de la teoría de conjuntos.
Supongamos por un momento que \( c \) es un número natural, y que lo dejamos vivir en paz.

Para mí está mal decir \( Var(L)=\{c\} \), porque las llaves de "conjunto" no tienen ningún sentido.
¿Cuáles conjuntos? No veo ninguno.

A lo mejor puedo creérmelo con más ganas (y no sin renegar) algo como esto: "\( c \) es una variable de \( \mathcal L \)". Es decir, clasificar o dar un "atributo" a \( c \) lo veo menos alocado que afirmar que "hay un conjunto al cual pertenece el número \( c \)".
Y esto porque "dar un atributo" es algo más "algorítmico".

_____________


Cuando vos decís cosas como ésta: "Soy capaz de reconocer si una sentencia es o no es un Axioma de ZFC",
estás dando un criterio algorítmico, y esto conlleva un procedimiento y reglas de acción concretas, que terminan en una cantidad finita de pasos.

Los algoritmos son procedimientos finitos, y son consecuentes con el "infinito potencial", pues nunca se llega a un procedimiento "infinito en acto".

Y hay ocasiones en que has dicho que "no eres capaz de darle significado intuitivo a tal o cual cosa", y da la casualidad que esas ocasiones coinciden con infinitos en acto.

Por eso pregunto estas cosas, porque no sólo las noto en vos, sino en exposiciones de otras personas que hablan de metalenguaje, teorema de Godel, y cuestiones relacionadas.
Algunos parecen tener claro que "se trabaja" con infinito numerable en potencia, a otros pareciera que no les importa o no se lo han preguntado.
Yo no sé dónde estoy parado.

Necesito saber qué postura filosófica es la que se acepta en esta teoría, como cosa estándar.
Yo no digo que esté bien o que esté mal el infinito en acto o el infinito en potencia.
Quiero saber en qué escuela filosófica se enmarcan estas teorías en forma estándar.
No es algo que pueda decidir yo.

Hilbert tenía esos dilemas cuando intentaba construir su "Axiomática", pues quería mantener los "infinitos en acto" de Cantor, pero el lenguaje de la lógica que usaba pretendía respetar los deseos de la escuela intuicionista.

Después pasaron los años, y yo no sé qué en que quedó todo esto.
¿El metalenguaje sigue siendo intuicionista, o ya da igual? ¿O derivó en otra cosa?

_________________

Pero bueno, mientras estoy leyendo tus posts, pensando en "ZF", no tengo problemas de interpretación y no me molesta nada.

[argentinator]

Por otra parte, vos mismo empezaste tomando ZF como un "símil" de cómo se razona en el universo metamatemático.

Entonces, en tu caso al menos, interpreto que eso quiere decir que "te das el derecho" a usar números naturales, definiciones por recurrencia, demostraciones por inducción, hablar de propiedades de los números naturales,
y en lo que respecta a "conjuntos de signos" o "secuencias ordenadas de signos",
no parece que tengas problemas en aceptar conjuntos de números naturales cualesquiera, siempre que se puedan definir "como si estuvieramos en ZF".

Ese tipo de cosas me interesa precisar.
De tu exposición queda bastante claro, creo, cuáles son las cosas que vos asumís en el metalenguaje.

Creo que aún no me queda del todo claro qué es lo que asumen otros matemáticos que trabajan en el mismo tema.

Intentaré seguir el juego de ZF que has propuesto, y cuando ya no pueda más, te aviso.

_____________

Para darte tan sólo un ejemplo de cosas que me parecen totalmente desquiciadas,
es el caso en que introducís un modelo M, y entonces considerás productos cartesianos \( M^n \).

Si quiero imaginar un "producto cartesiano" en el universo de la meta-matemática, en donde no hay nada,
tengo que admitir que un producto cartesiano es algo que no tiene ningún sentido, porque ni siquiera existe un conjunto al que pueda llamar M, menos puedo hacerle un producto.

Hablar de conjuntos M ahí sería, para mí, un completo sinsentido,
porque esos modelos M ni siquiera son "constructivos iterativamente",
ni hay tampoco un "procedimiento claro de decisióni" que diga si algo es o no es un elemento de M,
o del producto cartesiano \( M^n \),
sino sólo  son algún "conjunto hipotético". ¿Conjuntos abstractos, grandes, complicados, sin siquiera soporte intuitivo de alguna clase, y afuera de ZFC?
No lo entiendo.
¿Hay algún modo de salvar esto?

[argentinator]

\( \lnot \forall x\lnot\forall y\lnot (\in y x) \)

Y te pregunto: si cualquiera se estudia con atención los convenios de notación que hemos adoptado y le preguntamos cuáles son los signos concretos que componen el axioma anterior, ¿habría podido llegar a un resultado distinto del que acabo de dar? Deberías aceptar que la respuesta es no. Lo que he escrito más arriba nombra a través de unos criterios objetivos a la sucesión finita de signos que he escrito más abajo.

Seré breve: lo que se dice "contar" a mí también me da 12, y aún sin usar algún tipo de soporte intuitivo para los números naturales.
No creo que eso se deba a un hecho objetivo, sino todo lo contrario: es una subjetividad universal (como cuando en el medievo todos estaban convencidos de que la Tierra era plana).
Pero a mí no me importa si es objetivo o subjetivo, sino que sea válido.

No obstante, esto lo comento sólo para contestar tu pregunta, no para alimentar más la discusión.

[argentinator]

Y te pregunto: ¿importa ser capaz de responder a la pregunta de qué es un número natural o dónde están los números naturales para aceptar que la única respuesta posible a la pregunta de cuántos signos tiene (con nuestros convenios de notación, porque podríamos haber empleado otros) el axioma del conjunto vacío es 12?

A mí me parece importante, por la siguiente razón, y espero ser breve y claro para no irme por las ramas:
En ZF todos los objetos del "lenguaje" L que consideres, están al mismo nivel: tanto números, relaciones, signos, etc., son todos "conjuntos", y se manejan con reglas claras y precisas.
En la metamatemática ya no estamos lidiando con objetos abstractos, sino "empíricos" (o semi-empíricos), o sea, de la vida real. Los signos impresos en un papel son una cosa, y los números que usamos para contarlos están en nuestra cabeza, y son por tanto otra cosa. Las reglas que gobiernan tanto a uno como a otro están en el aire, y encima hablamos de ellos como si fuera todo claro y preciso.
El contexto es otro, es otro "universo".

No es lo mismo hablar de "nadar bajo el agua" (ZF) que "nadar en la atmósfera" (metamatemática). No se puede nadar ahí.
¿Por qué en mundos distintos van a valer las mismas reglas?

________________-

Pero por lo menos has sido preciso con las reglas que estás usando (un "meta" ZF), y entonces me tranquiliza el hecho de que entiendo al menos qué reglas son las que estás asumiento como válidas.

_______________

Para mí nada es objetivo, nada tiene sentido, y todo es un capricho y una convención.
Por eso insisto en estandarizar, o en que me digan qué reglas de juego hay.
Que aunque no me las creo, o desconfío, por lo menos las puedo seguir.

_____________

Lamento caer una y otra vez en estas disyuntivas.
Y encima parece que estuviera enojado,
cuando en realidad estoy disfrutando mucho todo este trabajo que te has puesto a hacer.

Intentaré seguir adelante con los demás posts.

Un saludo

[Raúl Aparicio Bustillo]

Bueno, sobre un universo de diametro D, pues sí, podríamos parametrizarlo con reales menores o iguales que D. El planteamiento cosmológico de Einstein era un diametro D, pero para una hiperesfera tridimensional, con lo cual, el universo sería finito y no tendría límites tridimensionales. Pero aquí ocurre como cuando describimos un movimiento circular usando la coordenada angular. Cualquier punto tiene coordenadas entre\(  0 \) y \( 2\pi \). Pero nos interesa hacer una función multivaluada para asignar coordenadas \( \alpha  \)a los puntos, y describir un movimiento de varias vueltas por una función  \( \alpha (t)  \) "suave" ( para una trayectoria clásica se entiende)

Sobre la longitud de Planck, bueno, es sólo una hipótesis, digamos que el campo gravitatorio y las propias distancias, siguiendo los postulados de la física cuántica, al ser magnitudes observables, se tendrían que cuantizar a escalas muy pequeñas, del orden de magnitud de la escala de Planck.

Por otra parte, los números reales se usan para todas las magnitudes ( salvo las discretas, claro, no podemos tener un conjunto con 3,8 elementos, ni un sistema físico con 10, 7 partículas), tanto hacia el cero como hacia el infinito, se pueden construir magnitudes con valores teóricamente ilimitados o tan próximos al cero como se quiera ( . Si bien el número de particulas aún variando a lo largo de la historia del universo, tiene una cota, soy totalmente contrario a ciertos planteamientos ultrafinitistas existentes en círculos muy restringidos de las matemáticas. Creo que el axioma de PA que dice que todo número tiene sucesor, es consistente, aunque haya números de tal magnitud que sobrepasen nuestra capacidad cerebral o no representen nada en el mundo real (escribir con toda su precisión, desde luego que no es fáctible para un número mayor que el número de párticulas del universo, da igual que lo codifiquemos en la memoria de un ordenador, o en cualquier otro hardware que queramos emplear)

Por otra parte, he estado pensando en que la teoría de los números reales ( considerada dentro de un modelo de ZFC lo cuál es siempre factible) , aún a pesar de la infinidad de modelos que tienen , si puede ser que uno de ellos tenga "la cantidad" exacta de reales, que represente el cardinal de los puntos del espacio físico), trabajando en un modelo donde "no falten funciones", aunque todo se pueda interpretar en un modelo numerable, el problema es que cuando hacemos física si estamos refiriendonos a un modelo determinado, aunque jamás en la vida sepamos cuál es, tampoco importa, los axiomas se verifican, y tampoco sabemos la cantidad exacta de conjuntos de reales que ha de haber en nuestro modelo real, pero no importa, si trabajamos en ZFC lo que digamos valdrá para todos los modelos. Pero sean los que sean esos conjuntos , van a verificar el axioma del supremo, que dicho chabacanamente significa "que no haya puntos que se queden sin coordenada". Tampoco resulta problemático que existan conjuntos no medibles como en la paradoja de Banach Tarski, si admitimos que las partículas son discretas, y no digamos ya cuando usamos la cuántica, no tiene sentido que parta en fragmentos y los mueva siguiendo una trayectoria precisa. No creo que la existencia de conjuntos no medibles suponga ningun problema para la Física, aunque hay anécdotas muy curiosas sobre eso

[Carlos Ivorra]

Por claridad acabo de separar en este nuevo hilo todos los comentarios que se han hecho a mi hilo sobre teoría de modelos, porque se estaban haciendo muy extensos y variados, de modo que así me parece que será todo más claro. Ruego que los comentarios futuros se publiquen aquí y no en el hilo original. Gracias.

[Carlos Ivorra]

De verdad que no quiero polemizar con estas cosas, e intento poner el "paraguas" de ZF que pusiste al principio.

He visto algunas alusiones por tu parte a ese "paraguas" que me hacen dudar de que estemos entendiendo lo mismo al respecto. Veamos: la mayor parte del hilo consiste en demostraciones en ZF, cuyo fundamento es precisamente ése, el ser demostraciones en ZF. Ahora bien, el asunto a tratar hace inevitable tener que contrastar de vez en cuando los resultados y conceptos formales definidos y demostrados en ZF con sus análogos metamatemáticos, necesarios para que ZF tenga sentido. He procurado reducir al mínimo estas referencias a la metamatemática, pero creo que evitarlas por completo es imposible. Así pues, la mayor parte del hilo es una serie de teoremas de ZF que no deberían crearte más conflicto que cualquier otra serie de teoremas de análisis, álgebra, etc.

En cuanto al resto, en pasajes como éste:

Por otra parte, vos mismo empezaste tomando ZF como un "símil" de cómo se razona en el universo metamatemático.

Entonces, en tu caso al menos, interpreto que eso quiere decir que "te das el derecho" a usar números naturales, definiciones por recurrencia, demostraciones por inducción, hablar de propiedades de los números naturales,
y en lo que respecta a "conjuntos de signos" o "secuencias ordenadas de signos",
no parece que tengas problemas en aceptar conjuntos de números naturales cualesquiera, siempre que se puedan definir "como si estuvieramos en ZF".

pareces entender que digo que metamatemáticamente vale cualquier cosa que valdría en ZF, pero eso no es así (quiero decir que no es eso lo que digo). En ZF se pueden hacer con total tranquilidad muchas cosas a las que yo no sabría darles ningún sentido intuitivo metamatemático. Pero en lugar de discutir sobre lo abstracto, vayamos a lo concreto:

Pero en el post #1, en que hiciste "el paso" a "meta", yo lo sentí como un salto al vacío.
Por ejemplo, para mí lo siguiente no tiene sentido en el metalenguaje:

\( \mbox{Var}(\mathcal L) = \{3^n\mid n\geq 1\} \)

Por ejemplo, no sé cómo construir o definir los números de la forma \( 3^n,n\geq 1 \), sin una teoría formal axiomática de números naturales, pues se requiere recurrencia, y hasta donde yo sé, esto requiere el Principio de Inducción. Y tales resultados para demostrarse requieren una teoría formal de algún tipo.

Esto es un ejemplo de lo que te pedía: algo concreto que yo haya dicho y que te parezca polémico. Dices que no sabes cómo construir o definir los números dela forma \( 3^n,n\geq 1 \) sin un montón de herramientas, pero es que confundes lo necesario para definir esos números con lo necesario para demostrar que esos números pueden definirse en ZF. En efecto, para definir la exponenciación de números naturales en ZF hace falta todo lo que dices, pero no hace falta nada de todo eso para que cualquier ser pensante distinga entre los números que son potencia de 3 y los que no lo son. Coge a un niño que sepa dividir, dale cualquier número y pídele que lo vaya dividiendo entre 3 repetidas veces mientras el resto de la división le dé cero. Si termina llegando al 1, es que el número que le has dado era potencia de 3, pero si en un momento dado obtiene un resto no nulo, es que no lo era. Con eso el niño ha aprendido a distinguir los números que son potencias de tres de los que no lo son, sin saber ningún teorema de inducción o recursión. Simplemente sabiendo dividir.

Otro método es pedirle que vaya calculando \( 3, 3\cdot 3, 3\cdot 3\cdot 3 \), etc. y, si se pasa del número que le has dado, es que éste no era potencia de 3, mientras que si lo alcanza exactamente es que sí que lo era, y el exponente es el número de veces que ha necesitado repetir el procedimiento.

Así pues, basta saber multiplicar o dividir para saber qué es una potencia de 3 y cómo reconocer si un número dado lo es. No hacen falta teoremas de inducción ni de recursión. Es imposible que expliques cualquiera de estos procedimientos a dos niños que multipliquen y dividan competentemente y ante un mismo número que les des, uno diga que sí que es potencia de 3 y el otro diga que no. Y si ocurriera el caso, seguro que a uno de los dos le podrías señalar un error de cálculo que él reconocería sin dificultad.

Ninguno de estos dos procedimientos es formalizable directamente en ZF sin pasar por los teoremas de inducción y recursión, porque en ZF no puedes decir "se sigue así hasta que pase esto o lo otro", pero intuitivamente, lo de "seguir así, repitiendo el proceso" es algo perfectamente determinado.

Si quieres cambiar al niño por un ordenador, cámbialo. Tú sabes perfectamente cómo programar a un ordenador para que si le das un número te diga si es potencia de 3 o no. Es un problema sencillo que plantea dificultades elementales de programación, pero esas dificultades elementales no tienen nada que ver con demostrar teoremas de recursión, sino más bien con diseñar un sencillo algoritmo en el que no emplearás ningún teorema de ZF. Eso es la metamatemática, ni más ni menos.

En cualquier caso, para no estancarnos en algo tan elemental sin poder llegar a nada de sustancia, sugiero que pases por alto estas cuestiones aunque sea temporalmente y vayas más allá de mi sugerencia inicial: trata de centrar tus objeciones sobre los resultados metamatemáticos "interesantes", en el sentido de que si uno no quiere aceptar que las variables metamatemáticas están bien definidas como potencias de 3, no se pierde nada interesante por ello, pero veamos qué pasa cuando leas un meta-teorema que sí aporta información profunda e interesante sobre el funcionamiento de ZF. Veamos entonces si estas pegas iniciales que estás encontrando realmente te impiden convencerte de que el meta-teorema afirma algo con sentido y cuya demostración te convence, o si no es así.

Y el hecho de que estemos escribiendo \( \mbox{Var}(\mathcal L)=\{ ... \} \), o sea, igual a un conjunto, no sé qué sentido tiene fuera de la teoría de conjuntos.
Supongamos por un momento que \( c \) es un número natural, y que lo dejamos vivir en paz.

Para mí está mal decir \( Var(L)=\{c\} \), porque las llaves de "conjunto" no tienen ningún sentido.
¿Cuáles conjuntos? No veo ninguno.

Bueno, una sola variable no sería aceptable (si cambias variable por constante ya no hay problema, pero esto no es esencial en tu argumento). Puedes expresarlo como quieras, pero el único contenido que hay ahí debajo (lo expreses usando llaves o sin llaves, hablando de conjuntos o no) es que de los infinitos números naturales hay unos (las potencias de 3) a las que quiero llamar variables del lenguaje de la teoría de conjuntos, y otros a los que no. Expresa esa idea como más te guste, pero es la misma idea que si en un aeropuerto hay una cola para pasar una aduana y oyes por un altavoz: "los pasajeros cuyo número de pasaporte es par que vayan a la ventanilla 1, y los pasajeros cuyo número de pasaporte es impar que vayan a la ventanilla 2". Creo que cada pasajero sabrá dónde tiene que ir aunque no conozca ningún teorema de ZF. Hasta si no sabe matemáticas se le podría explicar más claramente que tiene que ir a la ventanilla 1 si su número acaba en 0, 2, 4, 6, 8. Ya está. Tiene perfecto sentido distinguir dos o más clases  de números de entre el total de los números, y ello puede hacerse sin relación alguna a ZF.

A lo mejor puedo creérmelo con más ganas (y no sin renegar) algo como esto: "\( c \) es una variable de \( \mathcal L \)". Es decir, clasificar o dar un "atributo" a \( c \) lo veo menos alocado que afirmar que "hay un conjunto al cual pertenece el número \( c \)".
Y esto porque "dar un atributo" es algo más "algorítmico".

Concíbelo como quieras. De todos modos, esto apoya mi sugerencia de que pospongas tus críticas hasta enfrentarte a un resultado que realmente tenga interés y no sea un mero preliminar. Cuando te enfrentes a un resultado que "sería interesante aceptar", es cuando puedes plantearte si lo realmente necesario para que le reconozcas un sentido y una justificación al resultado es algo que puedes aceptar o si le encuentras problemas. En otras palabras, no trates de llenar tu caja de herramientas antes de saber a qué problema te enfrentas y qué herramientas vas a necesitar realmente, no sea que te estés lamentando de no tener tal clase de destornillador y que luego resulte que te bastaba con otro que sí que tienes.

Necesito saber qué postura filosófica es la que se acepta en esta teoría, como cosa estándar.
Yo no digo que esté bien o que esté mal el infinito en acto o el infinito en potencia.
Quiero saber en qué escuela filosófica se enmarcan estas teorías en forma estándar.
No es algo que pueda decidir yo.

Dudo mucho que quienes realmente trabajan en estas cosas (los matemáticos de primera línea en teoría de conjuntos) realmente se planteen estas cosas (salvo de forma secundaria, aisladamente), pero en cualquier caso creo que lo que realmente necesitas es lo que te sugiero: espera a llegar a un teorema que realmente afirme algo "con sustancia" y plantéate qué supone realmente y si hay algo que te impida reconocer que tiene sentido y es verdad.

Hilbert tenía esos dilemas cuando intentaba construir su "Axiomática", pues quería mantener los "infinitos en acto" de Cantor, pero el lenguaje de la lógica que usaba pretendía respetar los deseos de la escuela intuicionista.

Después pasaron los años, y yo no sé qué en que quedó todo esto.
¿El metalenguaje sigue siendo intuicionista, o ya da igual? ¿O derivó en otra cosa?

A mí el intuicionismo siempre me ha parecido una secta al estilo de los testigos de Jehovah, que no admiten transfusiones de sangre por argumentos ridículos, pero allá cada cual. Sin ser un experto en el asunto, mi impresión es que está pasado de moda.

Pero bueno, mientras estoy leyendo tus posts, pensando en "ZF", no tengo problemas de interpretación y no me molesta nada.

Pues aguanta así hasta que llegues a un teorema en el que la metamatemática sea realmente importante. En la respuesta #1 he tratado de recopilar lo necesario, pero será mejor que lo sopeses a posteriori, cuando puedas juzgar qué se necesita realmente. En la respuesta #4 hay varios resultados gordos, pero no he dado las demostraciones porque dependen de la teoría de la demostración, que nos pilla lejos, y porque no son esenciales para seguir lo que viene luego, así que mejor no te pares mucho en ese post. Si lo pasas rápidamente, no deberías tener problemas conceptuales hasta llegar a la respuesta #7. Ahí sería un buen momento para discutir si realmente encuentras objeciones serias a los resultados metamatemáticos relevantes o no.

[Carlos Ivorra]

Para darte tan sólo un ejemplo de cosas que me parecen totalmente desquiciadas,
es el caso en que introducís un modelo M, y entonces considerás productos cartesianos \( M^n \).

No veo ningún inconveniente en hablar metamatemáticamente de productos cartesianos de conjuntos con un contenido intuitivo objetivo, pero no creo que nada parecido sea necesario para seguir este hilo. He tratado de reducir al mínimo la parte metamatemática necesaria y creo que eso ha quedado descartado. Salvo que ahora mismo no caiga en algún lugar donde haya hablado de productos cartesianos metamatemáticos, sería mejor que nos limitáramos a la poca metamatemática necesaria y en la parte puramente matemática (teoremas de ZF) que no dan lugar a problemas conceptuales. Todos los modelos que estoy considerando son modelos en el sentido definido en ZF (salvo en algunos resultados de la respuesta #4 que, como ya he dicho, son prescindibles para seguir el 90% de este hilo, por lo que sería preferible no entrar en ellas, a riesgo de estancarnos tontamente ahí.

¿Conjuntos abstractos, grandes, complicados, sin siquiera soporte intuitivo de alguna clase, y afuera de ZFC?
No lo entiendo. ¿Hay algún modo de salvar esto?

No veo sentido alguno a hablar fuera de ZFC de conjuntos sin soporte intuitivo de alguna clase. Pero, como ya digo, creo que los problemas que pueda plantearte tratar metamatemáticamente con conjuntos "complicados" no deberían afectar al contenido de este hilo, donde no necesito hacer referencia a conjuntos metamatemáticos que vayan más allá del conjunto de los números naturales y el de sucesiones finitas de números naturales, de entre las cuales podemos extraer los signos y las fórmulas del lenguaje metamatemático de la teoría de conjuntos.

[Carlos Ivorra]

Seré breve: lo que se dice "contar" a mí también me da 12, y aún sin usar algún tipo de soporte intuitivo para los números naturales.
No creo que eso se deba a un hecho objetivo, sino todo lo contrario: es una subjetividad universal (como cuando en el medievo todos estaban convencidos de que la Tierra era plana).
Pero a mí no me importa si es objetivo o subjetivo, sino que sea válido.

Pues si a ti te da 12, eso significa que cuando yo hablo de contar los signos de una cadena, tú me entiendes, pues tú las cuentas igual que yo. Como bien dices, no importa si es objetivo o subjetivo, sino que hablamos de lo mismo, luego no hay problemas de comunicación. Seguro que si te pregunto si la cadena \( x=y \) es más corta o más larga que el axioma del conjunto vacío también respondes lo mismo que respondería yo, y así con todo lo que vamos a necesitar. Eso es lo único que importa, al menos de momento.

¿Por qué en mundos distintos van a valer las mismas reglas?

________________-

Pero por lo menos has sido preciso con las reglas que estás usando (un "meta" ZF), y entonces me tranquiliza el hecho de que entiendo al menos qué reglas son las que estás asumiento como válidas.

No creo que valgan las mismas reglas. No todo lo que vale en ZF vale intuitivamente a nivel metamatemático ni viceversa. No estoy asumiendo un meta ZF, eso sería asumir demasiado.

Por ejemplo, en ZF se puede hablar de conjuntos no numerables, mientras que intuitivamente no sé dar sentido a tal concepto. Metamatemáticamente puedes decir tranquilamente: multiplica 3 por sí mismo un número finito de veces, y está perfectamente claro qué números puedes obtener de esa forma, mientras que eso no sirve como definición rigurosa en ZF, sino que son necesarios teoremas de inducción y recursión que intuitivamente son triviales. Es como si demuestras a partir de los axiomas de Hilbert para la geometría y con sangre, sudor y lágrimas,  un teorema geométrico que intuitivamente es trivial. La prueba sólo demuestra que el resultado es deducible de los axiomas de Hilbert, pero si lo que te interesa es saber que el resultado es intuitivamente cierto, te sobra todo el argumento.

Para mí nada es objetivo, nada tiene sentido, y todo es un capricho y una convención.
Por eso insisto en estandarizar, o en que me digan qué reglas de juego hay.
Que aunque no me las creo, o desconfío, por lo menos las puedo seguir.

Y yo te respondo que, desde mi punto de vista, esas reglas que pides no existen, pero que, ante esta discrepancia, el proceso constructivo a seguir es el que te sugiero: espera a enfrentarte a un teorema que "sería una pena" rechazar (saltándote los de la respuesta #4, porque se presentan sin demostraciones, con lo que no estaríamos en condiciones de discutir sobre ellos con las cartas sobre la mesa, y no son esenciales para lo que viene luego) y entonces tú mismo lo tendrás relativamente fácil para decidir si realmente algo te impide creerte el resultado o si puedes darte unas reglas mínimas que basten para convencerte del resultado en el supuesto de que las aceptes.

Creo que podrías sacar mucho en claro si pospones tus objeciones hasta encontrar realmente algo relevante que tenga sentido plantearse si es aceptable o no. Como te decía, creo que si prescindes temporalmente de las generalidades de la respuesta #1 y de la digresión de la respuesta #4, no deberías tener problemas antes de la respuesta #7, pues, salvo alguna observación marginal, el grueso del hilo hasta allí es esencialmente una serie de teoremas en ZF.
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