[Raúl Aparicio Bustillo]

...ni suponer siquiera que exista nada no numerable.

Bien, pero aquí cuando dices "...ni suponer siquiera que exista nada no numerable", estás hablando en un sentido metamatemático, .Pero la función que biyecta los naturales en\(  \mathbb{R}^N \), donde N es uno cualquiera de los modelos ( todos numerables) ,que tú afirmas externa al modelo pero consideras su existencia, o existe dentro de un modelo de ZFC ( que sería  obviamente no numerable), o es totalmente metamatemática (te tienes que salir de ZFC para hacer tu afirmación de que sólo existen modelos numerables metamatemáticamente)

...puedes demostrar metamatemáticamente la existencia de modelos numerables

Quizá sería instructivo describir uno de esos modelos numerables (o dar una referencia de dónde esos modelos metamatemáticamente numerables están descritos)

[Carlos Ivorra]

Bien, pero aquí cuando dices "...ni suponer siquiera que exista nada no numerable", estás hablando en un sentido metamatemático,

Así es.

Pero la función que biyecta los naturales en\(  \mathbb{R}^N \), donde N es uno cualquiera de los modelos ( todos numerables) ,que tú afirmas externa al modelo pero consideras su existencia, o existe dentro de un modelo de ZFC ( que sería  obviamente no numerable),

No tiene por qué ser no numerable, pero en este contexto yo estaba pensando en la segunda alternativa:

o es totalmente metamatemática (te tienes que salir de ZFC para hacer tu afirmación de que sólo existen modelos numerables metamatemáticamente)

En efecto, en un modelo numerable metamatemático existen biyecciones metamatemáticas entre los números naturales y los números reales del modelo.

Yo no afirmo exactamente que sólo existen modelos numerables, pues para afirmar eso tendría que argumentar que no existen modelos no numerables. Sólo afirmo que existen modelos numerables y que no conozco ningún argumento que me convenza de la existencia de modelos no numerables. De hecho, la verdad es que no sé de nadie que haya tratado de argumentar la existencia de modelos no numerables "intuitivamente aceptables".

Quizá sería instructivo describir uno de esos modelos numerables (o dar una referencia de dónde esos modelos metamatemáticamente numerables están descritos)

Una referencia es el capítulo IV de mi libro de lógica. Pero la construcción usa técnicas de la teoría de la demostración que quedan bastante lejos de los conceptos que estoy tocando en este hilo.

[Raúl Aparicio Bustillo]

De hecho, la verdad es que no sé de nadie que haya tratado de argumentar la existencia de modelos no numerables "intuitivamente aceptables".

Bueno, no es una justificación, desde luego, pero aplicando argumentos combinatorios llegamos a que las secuencias infinitas de 0´s y 1´s que constituyen los desarrollos decimales ( en base 2)  de los reales entre 0 y 1, serían \( 2^\aleph_0 \) . Esto desde luego no es un argumento formalizado ni de lejos, lo sé, pero se le puede buscar una biyección matemática a cada desarrollo decimal ( vamos a admitir tanto desarrollos que terminan en cadenas de 0´s como los que terminan en cadenas de 1´s, estamos considerando los racionales no periódicos 2 veces pero son un conjunto numerable que añadido a la potencia del continuo no la cambia.

Pero es sencillo buscar una biyección entre esas secuencias y los subconjuntos de\(  \mathbb{N} \). Un subconjunto de \(  \mathbb{N} \) tiene el numero natural nº si la cifra nª del desarrollo es 1 y no lo contiene si es 0 ( esto me lo argumentó Oscar Matzerath )creo hace tiempo para hacer factible que el nº de subconjuntos de \(  \mathbb{N} \) es el cardinal de [0,1] y luego de \(  \mathbb{R} \) entero biyectando mediante la arctg [0,1] en  \(  \mathbb{R} \)

Lo que no sé ( aunque creo que tuviste una discusión en otro hilo, si lo tienes por ahí, quizá me convenzan los argumentos...o no) es por qué consideras que no tiene sentido hablar de secuencias infinitas ( numerables) de 0´s y 1´s, o de todos los subconjuntos de \(  \mathbb{N} \)

[Raúl Aparicio Bustillo]

¿ Por qué no tiene sentido hablar de TODOS los subconjuntos de\(  \mathbb{N} \)?

Sea cuál sea mi modelo  \( P \), ¿ siempre va a haber otro modelo \( M \) que contenga todos esos subconjuntos de \( \mathbb{N} \), y otros más? Sin embargo, sí tendría sentido hablar de todos los subconjuntos de todos los modelos  de \( ZFC
 \), aunque no hubiera un modelo que los contuviera a todos


Por otra parte, es verdad que se esboza un modelo de la teoría de conjuntos en el punto  4 de Lógica y Teoría de Conjuntos de Ivorra, pero cuando yo me refiero a " dar un modelo numerable", es coger los elementos\(  c_1,c_2,c_3, \)etc..... de lmi modelo  y dar una expresión que me permita saber cuando\(  \forall{m,n} c_m\in{c_n} \), de forma que se verifiquen los axiomas

[Carlos Ivorra]

¿ Por qué no tiene sentido hablar de TODOS los subconjuntos de\(  \mathbb{N} \)?

En ZFC obviamene sí tiene sentido, pero metamatemáticamente, considero que sólo tiene sentido hablar de la existencia de un conjunto cuando podemos precisar qué significa cualquier afirmación sobre los elementos de dicho conjunto. Por ejemplo, si consideramos una propiedad P que esté perfectamente claro qué significa que un número natural la cumpla o no (ser primo, ser par, etc.) tiene sentido plantearse si la cumple o no todo número natural y si existe o no un número natural que la cumpla. Lo primero significa que se cumple P0 y P1 y P2, etc. Puede que no conozca una forma de comprobar si efectivamente cualquier número natural que coja tiene la propiedad en cuestión, pero eso no quita para que la afirmación "todos los números naturales cumplen P" tenga un significado muy concreto, a saber, que si voy comprobando P en cada natural uno tras otro, nunca encontraré una excepción. Algo similar vale para la existencia de un natural que cumpla P.

En cambio, yo no sé qué significa que una afirmación sobre todos los subconjuntos de \( \mathbb{N} \) sea verdadera o falsa. En algunos casos, tendré razonamientos que me asegures que cualquier conjunto de números naturales bien definido en el que pueda pensar tiene que cumplir necesariamente una determinada propiedad, y en otros casos podré exhibir explícitamente un conjunto de números naturales que no cumpla una propiedad dada, pero si no se ni demostrar que todos los subconjuntos de \( \mathbb{N} \) cumplen algo ni demostrar que alguno no lo cumple, no veo en qué sentido puedo decir que, pese a ello, la afirmación "todo subconjunto de \( \mathbb{N} \) cumple P" tiene que ser verdadera o falsa. Por eso digo que no existe nada objetivo a lo que podamos llamar "totalidad de los subconjuntos de \( \mathbb{N} \)", mientras que sí que existe algo objetivo llamado "totalidad de los números naturales", porque sé lo que significa que una afirmación sobre números naturales sea verdadera o falsa incluso si no tengo un argumento para demostrar que es verdadera o falsa.

Sea cuál sea mi modelo  \( P \), ¿ siempre va a haber otro modelo \( M \) que contenga todos esos subconjuntos de \( \mathbb{N} \), y otros más?

Si todos los modelos (metamatemáticos) de ZFC fueran numerables, pasaría eso que planteas. Para probar que existen modelos no numerables tendrías que probar que eso no es cierto (metamatemáticamente), y yo no veo por qué no podría ser cierto.

Sin embargo, sí tendría sentido hablar de todos los subconjuntos de todos los modelos  de \( ZFC
 \), aunque no hubiera un modelo que los contuviera a todos

Tampoco sé darle un sentido objetivo (metamatemático, es decir, sin el soporte de una teoría axiomática) a "la totalidad de los modelos de ZFC".

Por otra parte, es verdad que se esboza un modelo de la teoría de conjuntos en el punto  4 de Lógica y Teoría de Conjuntos de Ivorra,

Esbozar es dejar impreciso o inacabado. No es el caso. Allí se construye un conjunto (numerable) concreto y se define sobre él una relación de pertenencia concreta que, bajo el supuesto de que la teoría dada (que puede ser ZFC) es consistente, todos sus axiomas resultan verdaderos en el modelo. El único inconveniente es que la relación en cuestión no es calculable en la práctica. Podrías trasladarla a una relación definida sobre el conjunto de los números naturales, y entonces sería una relación no recursiva. Pero ahí está la gracia del asunto: los números naturales son una realidad objetiva en el sentido de que podemos atribuir un sentido a las relaciones (bien) definidas sobre ellos aunque no sepamos comprobar si se cumplen o no.

pero cuando yo me refiero a " dar un modelo numerable", es coger los elementos\(  c_1,c_2,c_3, \)etc..... de lmi modelo  y dar una expresión que me permita saber cuando\(  \forall{m,n} c_m\in{c_n} \), de forma que se verifiquen los axiomas

Pero eso es imposible (para modelos numerables o no numerables). Si tú pudieras definir de algún modo una colección de objetos determinada sin el apoyo de una teoría axiomática y pudieras definir sobre ella una relación de pertenencia y demostrar que satisface los axiomas de ZFC, nada te impediría formalizar tu argumento en ZFC, con lo que ZFC sería contradictorio, por el teorema de incompletitud.

Más claramente: puesto que es imposible demostrar la consistencia de ZFC, no puedes construir en términos absolutos un modelo de ZFC. Lo único que puedes hacer es definir una relación que, bajo el supuesto de que ZFC sea consistente, satisfaga los axiomas, pero como la demostración debe por fuerza descansar en el supuesto no demostrable de que ZFC es consistente, la relación de pertenencia que definas no puede ser calculable en la práctica.

El modelo numerable construido en mi libro de lógica es un modelo perfectamente determinado: la parte no constructiva de su definición es la construcción de una sucesión de sentencias del lenguaje que resulta de añadir infinitas constantes al lenguaje de ZFC. Dicha sucesión de sentencias está totalmente determinada, pero no podemos calcularla explícitamente porque la inclusión o exclusión de una de ellas en la sucesión depende de si el conjunto formado por los axiomas de ZFC, las admitidas previamente y ella misma forman o no un conjunto consistente de axiomas y, aunque podemos decir cada extensión de ZFC es consistente o contradictoria, no podemos saber cuál es el caso, dado que ni siquiera sabemos si ZFC lo es. Pero nada de eso impide que la primera sentencia \( \alpha_0 \) sea la que tiene que ser según la definición dada, y no hay más que una posibilidad, y lo mismo con \( \alpha_1 \), etc., a pesar de que no podamos saber cuál es \( \alpha_1 \) concretamente.

Una vez obtenida esta sucesión, la construcción del universo del modelo y la definición de la relación de pertenencia son manipulaciones elementales que no dan lugar a problema alguno.

[Raúl Aparicio Bustillo]

Si tú pudieras definir de algún modo una colección de objetos determinada sin el apoyo de una teoría axiomática y pudieras definir sobre ella una relación de pertenencia y demostrar que satisface los axiomas de ZFC, nada te impediría formalizar tu argumento en ZFC, con lo que ZFC sería contradictorio, por el teorema de incompletitud.

No termino de entender esto, el teorema de incompletitud ( tal como yo lo he entendido, que espero sea correcto) dice que si demostramos ( a partir de los axiomas de una teoría T [aritmética y recursiva]) que esa teoría es consistente, entonces, no lo es. Pero no dice nada si nuestra demostración de consistencia viene de mostrar un modelo para la teoría. Sabemos la consistencia de PA por la existencia de un modelo ( los números de toda la vida), y por eso sabemos que es consistente, y no se aplica el teorema de incompletitud, que se refiere sólo a cuando la demostración viene de una demostración axiomática. ¿ Por qué no puede ser igual en ZFC. Y perdón por lo de "esbozar". Aunque fuera el caso,de tu libro de Lógica y... ya tiene gran interés de por sí


Con respecto a las otras respuestas:he separado 2 preguntas yo en el post, que en realidad iban entrelazadas, pero al ponerlas en reglones diferentes, no se ha visto bien.

Mi pretensión era que ocurriera una de las 2 cosas: o bien yo tengo un modelo con todos los subconjuntos de \( \mathbb{N} \) ( que parece ser que sería equivalente a la existencia de un modelo no numerable, según dices), o bien si el caso es el contrario, siempre que tenga un modelo de \( ZFC \) va a haber otro modelo con más subconjuntos de \( \mathbb{N} \) , lo que me resulta raro, pero también pensaría que en ese caso se podría hablar de todos los subconjuntos de todos los conjuntos de \( \mathbb{N} \), en todos los modelos de \( ZFC \). Aunque se hace un poco extraño que tengamos todos los subconjuntos de \( \mathbb{N} \) de todos los modelos de  \( ZFC \), y no tengamos un modelo con todos ellos.

Por otra parte, entonces digamos que lo que no aceptas tú es la existencia de conjuntos no definibles donde no quede determinado por ejemplo si cualquier número al azar pertenece o no a él, por ejemplo.

Esto mismo trasladado a los subconjuntos de\( \mathbb{R} \), ¿ tendría la misma respuesta? Es decir:

Si tengo un modelo con un cierto \( \mathbb{R} \), y unos ciertos subconjuntos de él, ¿siempre habrá otro con los mismos reales pero más subconjuntos de \( \mathbb{R} \) si todos los modelos son numerables, y si hay modelos no numerables, podríamos encontrar un modelo maximal, para esos subconjuntos de \( \mathbb{R} \)?

Por otra parte, los conjuntos definibles, ¿ existen en todos los modelos?

[Cristian C]

Hola Carlos:

En el capítulo donde introduces inmersión de modelos, a continuación de la parte donde dotas a un submodelo de estructura de modelo, anotas:

Con esta definición, es inmediato que la inclusión \( i: N\longrightarrow M \) es una inmersión de modelos. Recíprocamente, si \( N \) y \( M \) son modelos de un lenguaje formal \( \mathcal L \) de modo que \( N\subset M \) y la inclusión es una inmersión, entonces \( N \) es un submodelo de \( M \).

No logro comprender el sentido que das a la palabra "inclusión". Parece ser algún tipo de aplicación. Quizás me he perdido algo más arriba; o tal vez es algo obvio y yo ya estoy dormido.

Spoiler

En la definición de submodelo anotas \( M\subset N \) donde creo que debe ir \( N\subset M \).

[cerrar]

Saludos

[Carlos Ivorra]

No logro comprender el sentido que das a la palabra "inclusión". Parece ser algún tipo de aplicación. Quizás me he perdido algo más arriba; o tal vez es algo obvio y yo ya estoy dormido.

Si \( N\subset M \), se llama inclusión de \( N \) en \( M \) a la aplicación \( i:N\longrightarrow M \) dada por \( i(n)=n \).

Ya he corregido la errata en la definición de submodelo. Gracias de nuevo.

[Carlos Ivorra]

Hola. Estoy de viaje y no puedo entrar en el foro con la frecuencia habitual. Trataré de contestar a todo lo que planteas, pero si no tengo tiempo continuaré en otro momento.

No termino de entender esto, el teorema de incompletitud ( tal como yo lo he entendido, que espero sea correcto) dice que si demostramos ( a partir de los axiomas de una teoría T [aritmética y recursiva]) que esa teoría es consistente, entonces, no lo es. Pero no dice nada si nuestra demostración de consistencia viene de mostrar un modelo para la teoría.

No dice nada porque es irrelevante cómo lo demuestres. Si demuestras en una teoría (aritmética recursiva) T que es consistente (sea constuyendo un modelo o de cualquier otro modo), la teoría es contradictoria.

Sabemos la consistencia de PA por la existencia de un modelo ( los números de toda la vida), y por eso sabemos que es consistente, y no se aplica el teorema de incompletitud, que se refiere sólo a cuando la demostración viene de una demostración axiomática.

No. No se aplica el teorema de incompletitud porque no demuestras la consistencia de PA en PA, sino en ZFC (o incluso en teorías de conjuntos más débiles que ZFC, pero más fuertes que PA). Más aún, personalmente acepto la existencia de una prueba metamatemática intuitiva de la consistencia de PA, y esa prueba es formalizable en ZFC (como cualquier argumento que convenza a cualquier matemático), pero no en PA. Por eso no puedes concluir por el teorema de incompletitud que PA es contradictoria.

¿ Por qué no puede ser igual en ZFC.

Lo que sucede es que, como acabo de decir, cualquier demostración que convenza a cualquier matemático es formalizable en ZFC. Por ello, no hay problema en demostrar la consistencia de PA, porque la demostración es formalizable en ZFC y no pasa nada. En cambio, si pudiéramos demostrar la consistencia de ZFC, también podríamos hacerlo en ZFC, y ahí es donde aparece el problema.

Y perdón por lo de "esbozar". Aunque fuera el caso,de tu libro de Lógica y... ya tiene gran interés de por sí

No, hombre. No es que me haya "ofendido" que calificaras de "esbozo" la demostración. Sólo trataba de aclararte algo importante para lo que estabas argumentando, y es que la construcción de un modelo numerable a partir de una teoría consistente es como es porque no puede ser de otra manera, pero es un ejemplo de cómo puede definirse metamatemáticamente un conjunto que puede considerarse unívocamente determinado al mismo tiempo que no es efectivamente calculable, en el sentido de que no podemos saber en la práctica cuándo se cumple la relación de pertenencia y cuándo no.

Con respecto a las otras respuestas:he separado 2 preguntas yo en el post, que en realidad iban entrelazadas, pero al ponerlas en reglones diferentes, no se ha visto bien.

Mi pretensión era que ocurriera una de las 2 cosas: o bien yo tengo un modelo con todos los subconjuntos de \( \mathbb{N} \) ( que parece ser que sería equivalente a la existencia de un modelo no numerable, según dices),

No diría que es equivalente. Sólo afirmo (como un hecho demostrable objetivamente) que a partir de todo modelo numerable de ZFC puede construirse otro con más subconjuntos de \( \mathbb{N} \), por lo que si sólo hubiera modelos numerables no habría uno que contuviera a todos los subconjuntos de \( \mathbb{N} \), es decir, no creo que pueda afirmarse más que una implicación. La contraria es más dudosa.

o bien si el caso es el contrario, siempre que tenga un modelo de \( ZFC \) va a haber otro modelo con más subconjuntos de \( \mathbb{N} \) , lo que me resulta raro, pero también pensaría que en ese caso se podría hablar de todos los subconjuntos de todos los conjuntos de \( \mathbb{N} \), en todos los modelos de \( ZFC \). Aunque se hace un poco extraño que tengamos todos los subconjuntos de \( \mathbb{N} \) de todos los modelos de  \( ZFC \), y no tengamos un modelo con todos ellos.

Hablar de la totalidad de los modelos de ZFC es igual de dudoso (o más) que hablar de la totalidad de los subconjuntos de \( \mathbb{N} \). Es siempre el mismo perro con distintos collares: no creo que exista una forma objetiva de hablar de esa clase de "totalidades" sin el apoyo de una teoría axiomática.

Por otra parte, entonces digamos que lo que no aceptas tú es la existencia de conjuntos no definibles donde no quede determinado por ejemplo si cualquier número al azar pertenece o no a él, por ejemplo.

Depende de lo que entiendas por "quede determinado". Si te refieres a que existe un método de determinaro en la práctica, no es eso lo que digo. Por ejemplo, la relación de pertenencia a un modelo numerable de ZFC construido bajo la hipótesis de que sea consistente está perfectamente definida (al menos a mi juicio) desde un punto de vista intuitivo, y no hay forma de saber si un objeto del modelo pertenece o no a otro. Pero sí es cierto lo que dices si por "quede determinado" entendemos que hemos de poder dar un sentido específico a cualquier afirmación sobre si un número cualquiera pertenece o no al conjunto, de modo que podamos decir que objetivamente es verdadera o falsa.

En cambio, la hipótesis del continuo es una "presunta" afirmación sobre la totalidad de los subconjuntos de \( \mathbb{N} \) que no creo que tenga un significado objetivo. Yo no sé decir qué significa que la hipótesis del continuo sea verdadera en un sentido absoluto. Sé lo que significa que sea verdadera o falsa en un modelo, pero no en general. En cambio, sí que sé lo que significa que la conjetura de Goldbach sea verdadera, aunque no sepa si es o no verdadera. Ése es el quid de la cuestión. Por eso digo que "la totalidad de los subconjuntos de \( \mathbb N \) no es un "objeto" que pueda considerar definido o determinado por mi intuición. No es que mi intuición no me diga qué es verdadero y qué es falso sobre tal presunto objeto, sino que ni siquiera me da garantías de que se pueda hablar de verdad o falsedad más allá de lo que mi razón pueda demostrar como verdadero o refutar como falso mediante demostraciones oportunas.

Esto mismo trasladado a los subconjuntos de\( \mathbb{R} \), ¿ tendría la misma respuesta? Es decir:

Si tengo un modelo con un cierto \( \mathbb{R} \), y unos ciertos subconjuntos de él, ¿siempre habrá otro con los mismos reales pero más subconjuntos de \( \mathbb{R} \) si todos los modelos son numerables, y si hay modelos no numerables, podríamos encontrar un modelo maximal, para esos subconjuntos de \( \mathbb{R} \)?

Sí, a partir de un modelo numerable se puede construir otro que tenga más subconjuntos de \( \mathbb{R} \) que el dado. Eso se prueba mediante forcing. De hecho puedes elegir si el nuevo modelo tiene los mismos subconjuntos de \( \mathbb{N} \) que el dado o que tenga más.

Por otra parte, los conjuntos definibles, ¿ existen en todos los modelos?

De eso ya hablamos. Te puse ejemplos de conjuntos definibles que pueden tener interpretaciones radicalmente distintas en modelos distintos. De todos modos, dado que te interesa el tema, hablaré sobre conjuntos definibles en mensajes posteriores de mi hilo sobre modelos (aunque primero trataré de otros asuntos que enlazan más directamente con lo visto hasta ahora).

[Raúl Aparicio Bustillo]

No dice nada porque es irrelevante cómo lo demuestres. Si demuestras en una teoría (aritmética recursiva) T que es consistente (sea constuyendo un modelo o de cualquier otro modo), la teoría es contradictoria.

Pues acabo de pensarlo, y me doy cuenta de que posiblemente sea así. Pero ahora lo que no me cuadra entonces es cómo con la teoría de modelos construimos modelos de ZFC, entonces, debería ser contradictoria tambien. Y todo eso de la jerarquía. Otra duda que me surge es que cualquier formula de ZFC es interpretable en cualquier modelo, ¿ cómo podemos hablar de modelos usando sólo las formulas de ZFC?

 Ya en PA, para hablar de modelos necesitamos usar el metalenguaje y hablar de que en el modelo estandar, todo objeto de PA se obtiene aplicando un número finito ( en sentido metamatemático) de veces el operador S, para evitar números no estandar.

En ZFC, aunque nos limitemos a modelos estandar, estamos muy lejos de llegar a un modelo único., y en cualquier caso, sería mediante el metalenguaje, porque las formulas ( salvo que completaramos la teoría que es imposible de hacer recursivamente, con lo que es imposible en la práctica) , veo dificil construir un modelo a no ser que sea a partir del metalenguaje

Cualquier demostración que convenza a cualquier matemático es formalizable en ZFC

¿ Qué tiene de especial ZFC, y no NFA, por ejemplo? Vamos, no  entiendo en ninguna de las 2 teorías que cualquier razonamiento sea formalizable en ZFC y quizá en otras

...en el sentido de que no podemos saber en la práctica cuándo se cumple la relación de pertenencia y cuándo no (en un modelo numerable).

Bueno, es obvio que en un modelo numerable "faltan" funciones, tenemos que tener una función metamatemática o de otro modelo de ZFC, superclase de este numerable, que sí biyecte  \( \mathbb{N} \) y cualquier otro conjunto infinito ( imagino que níngun conjunto infinito, aún cuando su cardinal sea relativo al modelo, pasará a ser finito ( en sentido metamatemático): si no hubiere esa función.

Pero si ya no hay forma de decidir si 2 conjuntos pertenecen el uno al otro, aunque entiendo los motivos de que esto sea así, no entiendo la utilidad de estos modelos numerables para nada, aunque obviamente la tendrá cuando los construís. Un modelo numerable es isomorfo a un par (\( \mathbb{N} \),*), donde * es una relación no definible. Decir eso no es decir mucho



Creo que aparte de lo de arriba, voy a dejar claro las cosas que realmente me chirrían  (dejando el tema de modelos de lado)

* Que yo pueda definir una función f ,especificando un proceso totalmente claro , finito y objetivo para su cálculo, aunque luego haya limitaciones ,digamosle físicas (falta de espacio, falta de tiempo, falta de "potencia" de los instrumentos usados: ordenadores, papel y lapiz, un compas, o lo que sea) , y luego no exista como objeto en ZFC:  eso significaría no poder describir la función mediante una fórmula de ZFC y que ZFC no incluye todos los razonamientos de los matemáticos, entre otras cosas. Por supuesto, sí veo la necesidad de una teoría axiomática para trabajar con esos otros objetos no definibles ( aunque por ejemplo, no tengo claro por qué ha de ser ZFC dicha teoría, y no cualquier otra teoría de conjuntos, o por lo menos una lo suficientemente potente que me permita construir los números reales)

* Que una vez seleccionados adecuadamente unos números reales ( "la cantidad justa que me permita parametrizar un espacio n-dimensional), de tal forma que \( \mathbb{R}^n \) me parametrice un "volumen" n-dimensional) , no pueda haber un modelo con TODOS los subconjuntos de \( \mathbb{R}^n \) , que sea maximal en ese aspecto. Esto me chirría completamente, no lo voy a negar, hasta el punto que no sé si sería más adecuado restringir el axioma del supremo y exigir una completitud parcial a los números "reales", parcial en el sentido de considerar conjuntos medibles, por ejemplo ( ya me estoy saliendo de lo que son las matemáticas, pero físicamente los conjuntos no medibles no tienen mucho sentido, como mucho creo que tendría sentido considerar las uniones ([no sé si contables o no, incluso puede que finitas] de bolas en  \( \mathbb{R}^n \) ), quizás sí haya modelos maximales si nos restringimos a ese tipo de conjuntos

Sé que mis planteamientos son un tanto "platonistas", (aunque siempre enfocados a la ciencia), pero que salgan paradojas en las teorías de conjuntos tampoco es de extrañar. Hay circularidad por todas partes: formamos conjuntos de conjuntos, conjuntos de conjuntos de conjuntos, etc....Encima, lo llevamos a lo transfinito. En la paradoja de Russell, además, pretendemos tener conjuntos en los que para decidir si un conjunto pertenece a otro, hay que ver precisamente si ese conjunto pertenece a otro. Lo raro de los planteamientos de Cantor, Frege, etc...en torno a la idea de "conjunto", serían que no salieran paradojas




Y de momento nada más ..que ya es bastante. Buen viaje