[Raúl Aparicio Bustillo]

Y yo te sigo preguntando qué entiendes por "usar" un modelo o "trabajar" en un modelo, porque lo que hacen los matemáticos es usar o trabajar en una teoría axiomática. Y todo lo que razonas en el seno de una teoría axiomática, vale para todos los modelos de esa teoría, numerables, no numerables o como quieras. Por eso no sé qué quieres decir con "más práctico". Si todo lo que dices vale para todos los modelos, ¿en qué sentido puede uno ser más práctico que otro?

Si yo construyo un modelo numerable M, habrá una biyección ( de hecho hay infinitas ya simplemente por permutación, pero vamos a escoger una cualquiera y llamarla  \( b \), que es una biyección cualquiera entre \(  \mathbb{N} \),  si quieres el \(  \mathbb{N} \) metamatemático, y el conjunto\(  \mathbb{R}^M \).

 Esa biyección es externa al modelo, pero en el modelo grande existe. En mi modelo pequeño estará \( \pi  \) cualquier constante que se pueda definir en ZFC, la constante de Euler,  las funciones trigonométricas, etc...cualquier cosa interesante, pero desde luego [/tex] la función \( b \) entre los naturales y los reales del modelo pequeño no está en el modelo M,

 Entonces, si yo me invento una función cualquiera, como puedo saber si está o no está en mi modelo. Es mejor un modelo no numerable, en el que no haya que quitar funciones. La única escapatoria que veo es que la función\(  b \) realmente no sea definible en el modelo grande, entonces no hay ninguna posibilidad de que la usemos en la práctica, y no habría entonces problema

[Carlos Ivorra]

Entonces, si yo me invento una función cualquiera, como puedo saber si está o no está en mi modelo. Es mejor un modelo no numerable, en el que no haya que quitar funciones. La única escapatoria que veo es que la función\(  b \) realmente no sea definible en el modelo grande, entonces no hay ninguna posibilidad de que la usemos en la práctica, y no habría entonces problema

No. No hay ningún problema en ningún caso. Cuando "tú te inventas una función cualquiera", demuestras su existencia a partir de los axiomas de ZFC, y entonces dicha función estará en cualquier modelo de ZFC que consideres, numerable o no numerable. Insisto en que es absolutamente imposible que plantees cualquier razonamiento matemático, que involucre la construcción de todos los conjuntos y todas las funciones que quieras, y que resulte que los objetos involucrados estén en un modelo y no en otro. El modelo es absolutamente irrelevante para absolutamente todo, siempre y cuando tus razonamientos sean deducciones de los axiomas de ZFC. Y si usas más axiomas, todo vale igual cambiando ZFC por los axiomas que uses realmente.

[Raúl Aparicio Bustillo]

No termino de cogerlo.
Vamos a ver, si en mi modelo los reales son un conjunto numerable (desde fuera), yo puedo hacer una lista ( no necesariamente demostrando su existencia a partir de axiomas de ZFC, si no definiendola metamatemáticamente, y decir, mi primer número real 1 és este, mi número real 2º es este otro. Llamemos r(n) al nº número real. La función r  ( cualquiera de las que me sirven para listar los reales del modelo pequeño, es externa al modelo, pero existe en el modelo grande, o metamatemáticamente, si no, mi conjunto \( \mathbb{R} \) ya no sería numerable

 puedo formular esa función r(n), que asigna un número natural otro número real en . Pero ¿ cómo sé yo, si trabajo en el modelo pequeño, que esa función, a partir de la expresión de la misma, que es externa al modelo numerable empleado?

[Carlos Ivorra]

puedo formular esa función r(n), que asigna un número natural otro número real en . Pero ¿ cómo sé yo, si trabajo en el modelo pequeño, que esa función, a partir de la expresión de la misma, que es externa al modelo numerable empleado?

Te vuelvo a preguntar a qué llamas "trabajar" en un modelo. Mientras no trates de responder a esa pregunta y te des cuenta de que "trabajar en un modelo" no significa nada, no entenderás lo que pasa. Cuando tú haces matemáticas no trabajas en ningún modelo. Simplemente demuestras cosas (para lo cual construyes, defines conjuntos, funciones, etc.). Y todo lo que construyas estará en cualquier modelo de los axiomas que manejes.

Insisto: dame una definición operativa de a qué llamas "trabajar" en un modelo. ¿Qué entiendes por eso en la práctica? Creo que si das una respuesta a eso será fácil hacerte ver tu error. Como no sé qué entiendes por "trabajar", no puedo afirmar nada con seguridad, pero sospecho que, des la respuesta que des a lo que entiendes por trabajar, podré decirte que trabajar en un modelo y hacer matemáticas en el sentido usual de la palabra son acciones mutuamente incompatibles.

[Raúl Aparicio Bustillo]

Trabajar en un modelo me refiero a considerar sólo elementos internos a ese modelo, interpretar los signos de manera que los axiomas sean ciertos en ese modelo. "Considerar sólo elementos internos a ese modelo", es que en ellos el objeto en cuestión exista, más técnicamente, no sea una descripción impropia en él, si quieres. No me refiero a funciones normales +, \( \cdot{} \), y el resto de funciones llamadas elementales, ni a las que salen de ellas a través de procesos de integración, derivación, etc....ni a los irracionales definibles. Ellos están en cualquier modelo, porque su existencia se demuestra en ZFC. Pero por ejemplo, cogemos ese modelo numerable M, le hemos podido asignar a cada objeto de ZFC, un número natural ( si no , no sería  numerable). Siguiendo el orden de los naturales ( metamatemáticos si quieres) , al primer número real que me encuentre ( me lo tengo que encontrar porque es un objeto de ZFC), lo llamo r(1)....Al 2º  r(2), al nº r(n). Por supuesto, entre los objetos que sean números reales habrá intercalados otros objetos de ZFC, que dentro del modelo se puede determinar perfectamente que no son números reales  ( en el modelo al menos), esos me los salto. Al final acabo con un operador r, que en el modelo M, no puede existir como función. Sin embargo, en el modelo grande existe. Quizás no sea definible, pero existir, existe ( en el modelo grande). Si yo "trabajo" en el modelo pequeño, ¿ quién me garantiza que no voy a meter la pata y usar esa función que no existe?

Otro ejemplo pero al revés , yo  puedo decir que 2 conjuntos de ZFC, llamemosles A y B, tienen el mismo cardinal card(A)=card(B). La notación sugiere que card puede ser una función cuyo dominio son todos los conjuntos de ZFC y recorrido todos los cardinales. Pero cualquiera que trabaje en ZFC sabemos que el dominio de una función ha de ser un conjunto y que la clase universal no existe. Si creamos otro modelo "más pequeño"  cuyo universo sea un subconjunto propio de el modelo ZFC en el que yo trabajo, card si podría considerarse una función en el modelo pequeño. En este caso tenemos un objeto que en el modelo grande "no existe", aunque aceptamos la notación pero porque sabemos traducirla, sabemos que card (A)= card(B) quiere decir que existe una biyección entre el conjunto A y el conjunto B.

[Cristian C]

Hola Carlos: Dices en el último párrafo de la respuesta #2

Con este convenio que hemos adoptado de considerar verdadera una fórmula si y sólo si es satisfecha con cualquier interpretación de sus variables, es inmediato que \( M\vDash \ulcorner\alpha(x)\urcorner\leftrightarrow M\vDash \ulcorner\forall x\ \alpha(x)\urcorner \), puesto que en ambos casos se requiere que \( \ulcorner \alpha\urcorner \) sea satisfecha con cualquier interpretación de \( \ulcorner x\urcorner \). De aquí se sigue que una fórmula es verdadera si y sólo si lo es la sentencia que resulta de ligar todas sus variables libres con cuantificadores universales.

Esto es cierto y atinente como comentario de lo que antecede; pero tal vez convenga aclarar que la equivalencia es válida para toda variable y no solo para las variables libres de \( \ulcorner \alpha\urcorner \) ya que luego utilizas esta observación como prueba de la regla del generalizador. Concretamente, se verifica:

\( M\vDash \ulcorner\alpha\urcorner\leftrightarrow M\vDash \ulcorner\forall x\ \alpha\urcorner \)

En todo caso, la prueba es la misma pues allí no es necesario considerar a \( \ulcorner x\urcorner \) como variable libre de \( \ulcorner \alpha\urcorner \).

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Hola Carlos: Dices en el último párrafo de la respuesta #2...

Tienes razón. Ya he modificado la frase. Gracias.

[Carlos Ivorra]

Trabajar en un modelo me refiero a considerar sólo elementos internos a ese modelo, interpretar los signos de manera que los axiomas sean ciertos en ese modelo. "Considerar sólo elementos internos a ese modelo", es que en ellos el objeto en cuestión exista, más técnicamente, no sea una descripción impropia en él, si quieres.

Pero eso, ¿cómo se hace en la práctica? Si tú te pones a razonar matemáticamente y dices, por ejemplo, "consideremos dos conjuntos \( A \) y \( B \) y supongamos que existe una biyección \( f: A\longrightarrow B \)", eso es trabajar en ZFC. Y no tiene sentido que te plantees si \( A \) y \( B \) y \( f \) se han de interpretar como objeto de un modelo u otro. Lo que dices estará bien si lo puedes demostrar a partir de los axiomas de ZFC y estará mal si no lo puedes demostrar a partir de ellos. Nunca te puedes encontrar con que esté bien si \( f \) está en tu modelo y mal si no lo está.

Lo que trato de hacerte entender es que si tú estás razonando en ZFC, entre las reglas que tienes que aceptar es que está terminantemente prohibido decir: "los conjuntos que manejo son los de tal modelo".

Pero por ejemplo, cogemos ese modelo numerable M, le hemos podido asignar a cada objeto de ZFC, un número natural ( si no , no sería  numerable)...

Supongamo que tuviera algún sentido la definición de "trabajar en un modelo" que has dado antes. Si de algún modo pudieras fijar un "modelo de trabajo", de modo que todos los objetos que consideras están en ese modelo (cosa que no se puede hacer, por mucho que te empeñes), lo cierto es que en cuanto dices "consideremos ese modelo numerable M", ya estás diciendo que ese modelo numerable M no es el modelo en el que estás trabajando, porque el universo de un modelo no es un objeto interno de ese modelo. Desde el momento en que hablas de M, tienes que admitir que M no es tu "modelo de trabajo", sea eso lo que sea.

Por lo tanto, los objetos externos a ese modelo M que encuentras, no serán externos a tu modelo de trabajo, porque ese modelo no puede ser M, y porque es imposible que razonando en ZFC llegues a hablar nunca de un objeto que no esté en un modelo de ZFC en el cual estés interpretando tus afirmaciones.

Si yo "trabajo" en el modelo pequeño, ¿ quién me garantiza que no voy a meter la pata y usar esa función que no existe?

Pues te lo garantiza el hecho de que si "trabajaras" en el modelo pequeño, en el sentido de que exigir que todos los objetos que manejas deben ser interpretados en ese modelo, entonces no podrías hablar de M, porque M no es un objeto interno al modelo M, por lo que no podrías construir nunca la aplicación que estás describiendo ahora, luego es absolutamente imposible que metas la pata.

Otro ejemplo pero al revés , yo  puedo decir que 2 conjuntos de ZFC, llamemosles A y B, tienen el mismo cardinal card(A)=card(B). La notación sugiere que card puede ser una función cuyo dominio son todos los conjuntos de ZFC y recorrido todos los cardinales. Pero cualquiera que trabaje en ZFC sabemos que el dominio de una función ha de ser un conjunto y que la clase universal no existe.

En efecto, en ZFC no puedes considerar el cardinal como una función propiamente dicha, le des las vueltas que le des.

Si creamos otro modelo "más pequeño"  cuyo universo sea un subconjunto propio de el modelo ZFC en el que yo trabajo, card si podría considerarse una función en el modelo pequeño. En este caso tenemos un objeto que en el modelo grande "no existe", aunque aceptamos la notación pero porque sabemos traducirla, sabemos que card (A)= card(B) quiere decir que existe una biyección entre el conjunto A y el conjunto B.

Pero debes decidir cuál es tu "modelo de trabajo". No puedes jugar a dos bandas. Llamemos M al modelo grande y N al pequeño. Si tu modelo de trabajo es M, entonces la función de la que hablas es interna a tu modelo de trabajo, luego no tienes problema alguno, y si tu modelo de trabajo es N, entonces no puedes definir la función de la que hablas, porque tú mismo has dicho que (en algún sentido que dudo que exista) "trabajar" en un modelo es forzar a hablar sólo de objetos de ese modelo, y N no sería entonces un objeto de "tu modelo de trabajo". En cualquiera de los dos casos, no te encuentras trabajando con una función externa a tu modelo. El problema que planteas sólo se daría si pudieras hacer trampa y decir que tu modelo de trabajo es uno u otro según el momento. Si fijas un modelo de trabajo, nunca te encontrarás con que definas "por metedura de pata" objetos externos a tu modelo.

De todos modos, insisto en que si hablo de "trabajar en un modelo" es por considerar lo que pasaría si eso tuviera sentido, pero repito que donde uno trabaja es en ZFC, y que ZFC no contempla la posibilidad de que en sus razonamientos influya en modo alguno la posibilidad de interpretar sus teoremas en uno u otro modelo.

[Raúl Aparicio Bustillo]

Efectivamente, no se puede trabajar en 2 modelos. Sería como estar hablando en 2 idiomas a la vez. Apemas domino otro idioma que español e inglés, y dudo que haya alguna frase en español y en inglés que en ambos idiomas tenga sentido. Palabras sueltas como "SIN" si lo tienen, pero  aunque existieran tales frases, y significaran cosas diferentes, por el contexto estaría claro en cuál de los dos idiomas estamos hablando ( por con quién hablo, por las frases que diga antes y despues). Pero entonces,



¿ qué sentido tiene decir que tenemos un modelo numerable?. Está demostrado en ZFC, que\(  \mathbb{R}  \)existe, y su cardinal no es numerable, luego internamente cualquier modelo de ZFC, tiene cardinales estrictamente mayores que\(  \aleph_0 \), luego ¿ en qué sentido decimos que hay modelos numerables en ZFC y en cualquier teoría de primer orden? Estamos haciendo una comparación entre modelos.

Veo claro que ese tipo de afirmaciones pertenecen al metalenguaje, que no se puede decir en el lenguaje de ZFC cosas como " este objeto  es externa" ó "estoy en un modelo numerable", pero, de ahí a que no tenga sentido decirlas. El teorema de L

Hay un problema, desde luego, la suma, la resta de reales etc....existen como funciones binarias en cualquier modelo de ZFC, quizás con distinto significado en cada modelo, pero mantienen en todos ellos las propiedades que las definen ( suma es conmutativa, asociativa, elemento neutro, etc....). Pero en Matemáticas normalmente se trabaja en lenguaje semiformal. Por ejemplo, la función f(x)=" nº de 7´s que hay en el desarrollo decimal del número x ó -1 si ese número es infinito", pues a lo mejor se puede formalizar, pero ya no lo veo yo tan claro, y si ese ejemplo no vale pues habrá otros, pero tenemos el riesgo al no trabajar en un lenguaje totalmente formal de meter un objeto externo al modelo, . Y lo único que digo que es mejor coger un modelo en el que cualquier función definida en metalenguaje ( español) exista seguro, y no tenga que preocuparme de ver si existe, que desde luego será un modelo no numerable ( en todas estas discusiones "numerable" pertenece al metalenguaje) no hay ninguna formula en ZFC en el que podamos decir "mi modelo es numerable", ya me repito

[Carlos Ivorra]

¿ qué sentido tiene decir que tenemos un modelo numerable?. Está demostrado en ZFC, que\(  \mathbb{R}  \)existe, y su cardinal no es numerable, luego internamente cualquier modelo de ZFC, tiene cardinales estrictamente mayores que\(  \aleph_0 \), luego ¿ en qué sentido decimos que hay modelos numerables en ZFC y en cualquier teoría de primer orden? Estamos haciendo una comparación entre modelos.

Cuando consideras la existencia de modelos numerables como un teorema de ZFC, en efecto, puedes verlo como una comparación entre modelos. Pero también puedes demostrar metamatemáticamente la existencia de modelos numerables, sin partir de un modelo previo de ZFC, y entonces lo que tienes es que todo lo que dices al hablar de ZFC se cumple sobre un universo que sólo consta de una cantidad numerable de objetos, sin suponer que ese modelo esté dentro de un modelo no numerable de ZFC, ni suponer siquiera que exista nada no numerable.

Veo claro que ese tipo de afirmaciones pertenecen al metalenguaje, que no se puede decir en el lenguaje de ZFC cosas como " este objeto  es externa" ó "estoy en un modelo numerable", pero, de ahí a que no tenga sentido decirlas. El teorema de L

Lo que tiene sentido es decir que todos los objetos de los que hablas están en un modelo numerable, pero eso no te influye en nada a la hora de hacer matemáticas en ZFC. Lo que no tiene sentido es tratar de insertar tales afirmaciones en una demostración en ZFC, y mucho menos pretender que influyan en algo (como apoyo o invalidación de un argumento matemático).

Hay un problema, desde luego, la suma, la resta de reales etc....existen como funciones binarias en cualquier modelo de ZFC, quizás con distinto significado en cada modelo, pero mantienen en todos ellos las propiedades que las definen ( suma es conmutativa, asociativa, elemento neutro, etc....). Pero en Matemáticas normalmente se trabaja en lenguaje semiformal. Por ejemplo, la función f(x)=" nº de 7´s que hay en el desarrollo decimal del número x ó -1 si ese número es infinito", pues a lo mejor se puede formalizar, pero ya no lo veo yo tan claro, y si ese ejemplo no vale pues habrá otros, pero tenemos el riesgo al no trabajar en un lenguaje totalmente formal de meter un objeto externo al modelo, .

Eso es otro problema que no tiene nada que ver con modelos. Tienes un ejemplo de esta situación en la duda que preguntaba Cristian C en este mismo hilo. Él creía tener una definición de \( M\vDash \alpha \) válida cuando \( M \) es una clase propia, y su argumento era incorrecto precisamente porque no podía formalizarse en ZFC, porque estaba definiendo una función por recurrencia en la que tiene sentido pensar, pero que no tiene por qué ser interna a un modelo dado (no puede probarse que exista en ZFC), ahora bien, eso hace que su argumento sea inválido independientemente de en qué modelo quieras "trabajar". Aunque pudieras probar que existe un modelo de ZFC en el que "todos tus sueños se hagan realidad" eso no haría que el argumento de Cristian C dejara de ser incorrecto e inaceptable, porque no es formalizable en ZFC, da igual los modelos que encuentres, por muchas virtudes que tengan. Si algo un argumento no es formalizable, es porque no es consecuencia lógica de los axiomas, y la existencia de tal o cual modelo no lo va a arreglar.

Y lo único que digo que es mejor coger un modelo en el que cualquier función definida en metalenguaje ( español) exista seguro, y no tenga que preocuparme de ver si existe, que desde luego será un modelo no numerable ( en todas estas discusiones "numerable" pertenece al metalenguaje) no hay ninguna formula en ZFC en el que podamos decir "mi modelo es numerable", ya me repito

No, no es mejor para nada, porque cualquier construcción matemática que hagas será válida si está bien deducida de los axiomas de ZFC, y si es así te dará lugar a objetos interpretables en cualquier modelo de ZFC, mientras que si no es así no importa los modelos que encuentres, que tu argumento será incorrecto y por tanto inadmisible. No podrás decir que has probado un teorema de ZFC. No sé si me explico: una demostración matemática, o está bien o está mal, y esto es una cuestión puramente lógica. Si está bien, lo estará con independencia de qué modelo consideres, y si está mal, no lo vas a arreglar considerando tal o cual modelo.