[einstenio16]

Ejemplo 1.14: Encuentre los valores de las razones trigonométricas para \( \displaystyle\frac{\pi}{2} \).

Yo sé que \( \displaystyle\frac{\pi}{2} =\displaystyle\frac{\pi}{4}+ \displaystyle\frac{\pi}{4} \), entonces:

\( \sin \displaystyle\frac{\pi}{2} = \sin (\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{4})= \sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4}+\sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4}=2 \sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4}= 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}=1  \)

\( \cos \displaystyle\frac{\pi}{2}= \cos (\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{4})= \cos ^2 \displaystyle\frac{\pi}{4}- \sin ^2 \displaystyle\frac{\pi}{4}= \displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}= 0 \)

\( \tg (\displaystyle\frac{\pi}{2})=\displaystyle\frac{\sin \displaystyle\frac{\pi}{2}}{\cos \displaystyle\frac{\pi}{2}}= \displaystyle\frac{1}{0}=\infty \)

[einstenio16]

Ejemplo 1.15: Deduzca la fórmula correspondiente para \( \cos (x-y) \).

Hay muchas formas de deducir ésta fórmula, yo solo daré la que me enseñaron.

Sea C una circunferencia trigonométrica (de radio 1). Trazamos el punto \( A(1,0) \) (solamente para simplificar un poco) y otros dos puntos en la circunferencia \( B \) y \( P \), arbitrarios.



Supongamos que \( \stackrel{\textstyle\frown}{AB} = y \) y \( \stackrel{\textstyle\frown}{AP} = x \), por lo tanto \( \stackrel{\textstyle\frown}{PB} = y - x \).

En otra circunferencia trigonométrica, fijamos el mismo punto A, y trazamos un punto R tal que \( \stackrel{\textstyle\frown}{PB} = \stackrel{\textstyle\frown}{AR}= y - x \)



Como \( P(\cos x, \sin x) \), \( B(\cos y, \sin y) \) y  \( R(\cos (y-x), \sin (y-x)) \), queda:

\( {\left| {PQ} \right|^2} = {\left( {\cos x - \cos y} \right)^2} + {\left( {\sin x - \sin y} \right)^2} \)

\( {\left| {AR} \right|^2} = {\left( {1 - \cos \left( {y - x} \right)} \right)^2} + \sin ^2 \left( {y - x} \right)} \)

Como \( \stackrel{\textstyle\frown}{PB} = \stackrel{\textstyle\frown}{AR}= y - x \), entonces

\( {\left| {PQ} \right|^2} = {\left| {AR} \right|^2} \Leftrightarrow {\left( {\cos x - \cos y} \right)^2} + {\left( {\sin x - \sin y} \right)^2} = {\left( {1 - \cos \left( {y - x} \right)} \right)^2} + {\sin ^2}\left( {y - x} \right) \)

\( \[ \Leftrightarrow {\cos ^2}x - 2\cos x\cos y + {\cos ^2}y + {\sin ^2}x - 2\sin x\sin y + {\sin ^2}y = 1 - 2\cos \left( {y - x} \right) + {\cos ^2}\left( {y - x} \right) + {\sin ^2}\left( {y - x} \right)\] \)

\( \[ \Leftrightarrow 2 - 2\cos x\cos y - 2\sin x\sin y = 2 - 2\cos \left( {y - x} \right)\] \)

\( \[ \Leftrightarrow 2\cos x\cos y + 2\sin x\sin y = 2\cos \left( {y - x} \right)\] \)

\( \[ \Leftrightarrow \cos \left( {y - x} \right) = \cos \left( {x - y} \right) = \cos x\cos y + \sin x\sin y\] \)

[einstenio16]

Razones trigonométricas de ángulo duplo (o doble)

Son muy fáciles de deducir por suma de ángulos, asumiendo que dichos ángulos son iguales.

\( \sin (2 \alpha) = \sin (\alpha + \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \)

(8)

\( \cos (2 \alpha) = \cos (\alpha + \alpha) = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha = \cos ^2 \alpha - \sin \alpha \)

(9)

\( \tg (2 \alpha) = \tg (\alpha + \alpha) = \displaystyle\frac{\tg \alpha + \tg \alpha}{1- \tg \alpha \tg \alpha}= \displaystyle\frac{2 \tg \alpha}{1 - \tg ^2 \alpha} \)

(10)

En el caso del coseno, por la identidad fundamental se obtiene que

\( \[\cos \left( {2\alpha } \right) = {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1\] \)

De estas fórmulas, específicamente del coseno,  obtenemos:

Razones trigonométricas de ángulo medio

Yo sé que \( \cos \alpha = \cos \left( {2 \cdot \frac{\alpha }{2}} \right)=\[2{\cos ^2}\frac{\alpha }{2} - 1\] \)

Despejando \( \cos \displaystyle\frac{\alpha}{2} \):

\( \[\cos \dfrac{\alpha }{2} =  \pm \sqrt {\dfrac{{\cos \alpha  + 1}}{2}} \] \)

(11)

También sé que \( \[\cos \alpha  = \cos \left( {2 \cdot \dfrac{\alpha }{2}} \right) = 1 - 2 {\sin ^2}\dfrac{\alpha }{2}\] \)

Despejando \( \sin \displaystyle\frac{\alpha}{2} \):

\( \[ \pm \sqrt {\dfrac{{1 - \cos \alpha }}{2}}  = {\sin}\dfrac{\alpha }{2}\] \)

(12)

Ahora bien, tenemos que:

\( \tg \displaystyle\frac{\alpha}{2} = \[\dfrac{{\sin \dfrac{\alpha }{2}}}{{\cos \dfrac{\alpha }{2}}} = \dfrac{{\sqrt {\dfrac{{1 - \cos \alpha }}{2}} }}{{\sqrt {\dfrac{{1 + \cos \alpha }}{2}} }} = \pm \sqrt {\dfrac{{1 - \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}} \] \)

(13)

El signo de (11), (12) y (13) depende del cuadrante donde esta el ángulo.

[einstenio16]

Ejemplo 1.16: Demuestre que \( \displaystyle\frac{\cos 3 \alpha}{\cos \alpha}=-4 \sin ^2 \alpha +1 \)

Para empezar la demostración, primero debemos saber cuánto equivale \( \cos 3 \alpha \).

\( \cos 3 \alpha = \cos (\alpha + 2 \alpha)=\cos \alpha \cos 2 \alpha + \sin \alpha \sin 2 \alpha = \cos \alpha (2 \cos ^2 \alpha - 1) + \sin \alpha (2\sin \alpha \cos \alpha)=2 \cos ^3 \alpha - \cos \alpha + 2 \sin ^2 \alpha \cos \alpha = 4 \cos ^3 \alpha - 3 \cos \alpha \)

Entonces:

\( \displaystyle\frac{\cos 3 \alpha}{\cos \alpha}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{4 \cos ^3 \alpha - 3 \cos \alpha}{\cos \alpha}}\Leftrightarrow{4 \cos ^2 \alpha - 3} \)

Pero se que \( \cos ^2 \alpha = 1 - \sin ^2 \alpha \), entonces:

\( \displaystyle\frac{\cos 3 \alpha}{\cos \alpha}\Leftrightarrow{4(1 - \sin ^2 \alpha)-3}\Leftrightarrow{4-4\sin ^2 \alpha -3}\Leftrightarrow{1-4 \sin ^2 \alpha} \)

Ejercicio 1.17: Demuestre las siguientes igualdades:

A) \( \[\dfrac{{\left( {\sin 2x - 2} \right)\cos 2x}}{{2\cos x\left( {{{\cos }^3}x + {{\sin }^3}x} \right)\left( {\sec x - \csc x} \right)}} = \sin x\] \)

B) \( \[\dfrac{{\cos x + \sin x}}{{\cos x - \sin x}} = \tg 2x + \sec 2x\] \)

[einstenio16]

Prostaféresis

Corresponde a diversas identidades trigonométricas que me permiten transformar una suma en producto o viceversa.

A) Prostaféresis de producto a suma:

- Sea el sistema siguiente:

\( \[\left. {\underline {\,
 {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta }\\
{\sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta  - \cos \alpha \sin \beta }
\end{array}} \,}}\! \right| \] \)

Sumando las dos ecuaciones nos queda:

\( \[\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) + \sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = 2\sin \alpha \cos \beta \] \)

Y, por lo tanto:

\( \[\dfrac{{\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) + \sin \left( {\alpha  - \beta } \right)}}{2} = \sin \alpha \cos \beta \] \)

(14)

Así, se tendrá:

\( \[\dfrac{{\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) - \sin \left( {\alpha  - \beta } \right)}}{2} = \cos \alpha \sin \beta \] \)

(15)

- Sea el sistema siguiente:

\( \[\left. {\underline {\,
 {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta  - \sin \alpha \sin \beta }\\
{\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta  + \sin \alpha \sin \beta }
\end{array}} \,}}\! \right| \] \)

Sumando las ecuaciones, nos queda:

\( \[\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha  - \beta } \right) = 2\cos \alpha \cos \beta \] \)

Entonces:

\( \[\dfrac{{\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha  - \beta } \right)}}{2} = \cos \alpha \cos \beta \] \)

(16)

Asimismo, restamos las ecuaciones:

\( \[\dfrac{{\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha  + \beta } \right)}}{2} = \sin \alpha \sin \beta \] \)

(17)

[einstenio16]

B) Prostaféresis de suma a producto:

Sabemos que:

\( \[\sin \underbrace {\left( {\alpha  + \beta } \right)}_x + \sin \underbrace {\left( {\alpha  - \beta } \right)}_y = 2\sin \alpha \cos \beta \] \)

Formaremos el siguiente sistema:

\( \[\left. {\underline {\,
 {\begin{array}{*{20}{c}}
{\alpha  + \beta  = x}\\
{\alpha  - \beta  = y}
\end{array}} \,}}\! \right| \] \)

De donde obtenemos que \( \[\alpha  = \dfrac{{x + y}}{2} \wedge \beta  = \dfrac{{x - y}}{2}\] \)

Reemplazando en la primera ecuación:

\( \[\sin x + \sin y = 2\sin \dfrac{{x + y}}{2}\cos \dfrac{{x - y}}{2}\] \)

(18)

Haciendo el mismo procedimiento, obtenemos que:

\( \[\sin x - \sin y = 2\sin \dfrac{{x - y}}{2}\cos \dfrac{{x + y}}{2}\] \)

(19)

\( \[\cos x + \cos y = 2\cos \dfrac{{x - y}}{2}\cos \dfrac{{x + y}}{2}\] \)

(20)

\( \[\cos x - \cos y = 2\sin \dfrac{{x - y}}{2}\sin \dfrac{{x + y}}{2}\] \)

(21)

[einstenio16]

Ejemplo 1.18: Demostrar que:

\( \[\alpha  + \beta  + \gamma  = \pi  \Rightarrow \sin \alpha  + \sin \beta  + \sin \gamma  = 4\cos \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\beta }{2}\cos \dfrac{\gamma }{2}\] \)

se tiene que:

\( \[\sin \alpha  + \sin \beta  = 2\sin \dfrac{{\alpha  + \beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha  - \beta }}{2}\] \)

Ahora:

\( \[\dfrac{{\alpha  + \beta }}{2} = \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\gamma }{2}\] \)

Entonces:

\( \[\sin \dfrac{{\alpha  + \beta }}{2} = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\gamma }{2}} \right) = \cos \dfrac{\gamma }{2}\] \)

Reemplazando en la expresión a demostrar:

\( \[\sin \alpha  + \sin \beta  + \sin \gamma  = 2\cos \dfrac{\gamma }{2}\cos \dfrac{{\alpha  - \beta }}{2} + \sin \gamma \] \)

Notar también que:

\( \[\sin \gamma  = \sin \left( {2 \cdot \dfrac{\gamma }{2}} \right) = 2\sin \dfrac{\gamma }{2}\cos \dfrac{\gamma }{2}\] \)

Entonces:

\( \[\sin \alpha  + \sin \beta  + \sin \gamma  = 2\cos \dfrac{\gamma }{2}\cos \dfrac{{\alpha  - \beta }}{2} + 2\sin \dfrac{\gamma }{2}\cos \dfrac{\gamma }{2} = 2\cos \dfrac{\gamma }{2}\left( {\cos \dfrac{{\alpha  - \beta }}{2} + \sin \dfrac{\gamma }{2}} \right)\] \)

Pero habíamos dicho que

\( \[\cos \dfrac{{\alpha  + \beta }}{2} = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\gamma }{2}} \right) = \sin \dfrac{\gamma }{2}\] \)

Entonces:

\( \[\sin \alpha  + \sin \beta  + \sin \gamma  = 2\cos \dfrac{\gamma }{2}\left( {\cos \dfrac{{\alpha  - \beta }}{2} + \sin \dfrac{\gamma }{2}} \right) = 2\cos \dfrac{\gamma }{2}\left( {\cos \dfrac{{\alpha  - \beta }}{2} + \cos \dfrac{{\alpha  + \beta }}{2}} \right) = 4\cos \dfrac{\gamma }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\beta }{2}\] \)

[einstenio16]

GUÍA Nº 1 - TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
TRIGONOMETRÍA BÁSICA PARTE 1

P1. Encuentre un valor aproximado a las siguientes razones trigonométricas (no ocupe calculadora, utilice todos los recursos dados hasta ahora ¡Aunque le de flojera!):

A) \( \sin \displaystyle\frac{\pi}{7} \)

B) \( \cos \displaystyle\frac{2\pi}{15} \)

C) \( \sin \displaystyle\frac{3\pi}{10} \)

P2. Para \( \alpha \) y \( \beta \) ángulos de un triángulo rectángulo, donde \( \sin \alpha = \displaystyle\frac{4}{13} \) calcule el valor de :

\( \displaystyle\frac{\cos 3\alpha - 15\cos 2\beta + 1}{\sec (\alpha + 2) - 1 } \)

P3. Exprese la expresión \( \displaystyle\frac{\sin 3\alpha - \csc 2\alpha}{\cos 3\alpha} \) en función de \( \tg \alpha \)

P4. Demuestre las siguientes identidades:

A) \( \displaystyle\frac{\sin ^2 x}{\sec x - \tg x} - \sec x = \tg x - \displaystyle\frac{\cos ^2 x}{\sec x - \tg x}  \)

B) \( \displaystyle\frac{1}{8}(1- \cos 4x)= (\sin x \cos x)^2 \)

C) \( \displaystyle\frac{\sin ^2 x}{1+ \sec ^2 x}+\displaystyle\frac{\cos ^2 x }{1 + \csc ^2}=\displaystyle\frac{3 \tg ^2 x}{2 \tg ^4 x + 5\tg ^2 x + 2 } \)

D) \( \displaystyle\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}= \tg ^2 (\displaystyle\frac{\pi}{4} + \displaystyle\frac{x}{2}) \)

P5. Si \( \[\alpha  + \beta  + \gamma  = \pi \] \), demostrar que:

A) \( \[\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma  \le \dfrac{{3\sqrt 3 }}{8}\] \)

B) \( \[\sin \dfrac{\alpha }{2} \sin \dfrac{\beta }{2}  \sin \dfrac{\gamma }{2} \le \dfrac{1}{8}\] \)

P6. Pruebe que \( \[\cos \dfrac{\pi }{7} - \cos \dfrac{{2\pi }}{7} + \cos \dfrac{{3\pi }}{7} = \dfrac{1}{2}\] \)

[einstenio16]

En base a lo anterior, nótese que:

\( \[\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin p = \sin q}& \Leftrightarrow &{\sin p - \sin q = 0}\\
{}& \Leftrightarrow &{2\sin \left( {\dfrac{{p - q}}{2}} \right)\cos \left( {\dfrac{{p + q}}{2}} \right) = 0}\\
{}& \Rightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin \left( {\dfrac{{p - q}}{2}} \right) = 0}& \vee &{\cos \left( {\dfrac{{p + q}}{2}} \right) = 0}
\end{array}}
\end{array}\] \)

Ahora, nos preguntaremos lo siguiente:

¿En qué ángulos el seno se hace 0? ¿y en qué ángulos ocurre lo mismo con el coseno?

Recordemos pues la circunferencia trigonométrica: Si el punto \( P(\cos x, \sin x) \) recorre toda la circunferencia, veremos que los valores notables se dan en los puntos \( (1,0) \) ; \( (0,1) \) ; \( (-1,0) \) y \( (0,-1) \), que son respectivamente cuando x vale \( \displaystyle\frac{\pi}{2} \), \( \pi \), \( \displaystyle\frac{3\pi}{2} \) y \( 2\pi \). Los casos a observar son los siguientes:

\( \[x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x = 0}& \wedge &{\sin x = 1}
\end{array}\] \)

\( \[x = \pi  \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x =  - 1}& \wedge &{\sin x = 0}
\end{array}\] \)

\( \[x = \dfrac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x = 0}& \wedge &{\sin x =  - 1}
\end{array}\] \)

\( \[x = 2\pi  \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x = 1}& \wedge &{\sin x = 0}
\end{array}\] \)

En particular:

\( \[\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin x = 0}& \Leftrightarrow &{x = k\pi }
\end{array}\] \) con \( k \in \mathbb{Z} \)

\( \[\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x = 0}& \Leftrightarrow &{x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi }
\end{array}\] \) con \( k \in \mathbb{Z} \)

Volviendo al problema, se tiene que:

\( \[\sin \left( {\dfrac{{p - q}}{2}} \right) = 0 \Rightarrow \dfrac{{p - q}}{2} = k\pi  \Rightarrow p - q = 2k\pi \] \)

\( \[\cos \left( {\dfrac{{p + q}}{2}} \right) = 0 \Rightarrow \dfrac{{p + q}}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \Rightarrow p - q = \pi  + 2k\pi  = \left( {2k + 1} \right)\pi \] \)

Ahora, el otro caso a analizar sería el siguiente:

\( \[\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos p = \cos q}& \Leftrightarrow &{\cos p - \cos q = 0}\\
{}& \Leftrightarrow &{2\sin \left( {\dfrac{{p + q}}{2}} \right)\sin \left( {\dfrac{{p - q}}{2}} \right) = 0}\\
{}& \Rightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin \left( {\dfrac{{p + q}}{2}} \right) = 0}& \vee &{\sin \left( {\dfrac{{p - q}}{2}} \right) = 0}
\end{array}}
\end{array}\] \)

De esto:

\( \[\sin \left( {\dfrac{{p \pm q}}{2}} \right) = 0 \Rightarrow \dfrac{{p \pm q}}{2} = k\pi  \Rightarrow p \pm q = 2k\pi \] \)

[einstenio16]

F. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

En vista a lo anterior, solo hemos visto identidades trigonométricas, es decir, que se cumplen en todos los ángulos correspondiente al dominio de cada función trigonométrica. Ahora bien, decimos función trigonométrica indistintamente de las razones trigonométricas; pero para entenderla como se debiera, debemos precisar éste análisis como funciones.

F.1. Función Seno

Recordemos la circunferencia trigonométrica. Si nos damos cuenta, \( \[-1 \le \sin x \le 1\] \), por lo tanto:

Definición 1.19: Se define la función seno como:

\( \[\begin{array}{*{20}{c}}
f&:&\mathbb{R}& \to &{\left[ { - 1,1} \right]}\\
{}&{}&x& \to &{\sin x}
\end{array}\] \)

La función seno es una función periódica, y su período es \( 2 \pi \). También es una función impar, es decir, que \( \[\sin \left( { - x} \right) =  - \sin x\] \). Se deja como ejercicio demostrar lo último. Entonces, su gráfica será la siguiente:

F.2. Función Coseno

Si nos damos cuenta, \( \[-1 \le \cos x \le 1\] \), por lo tanto:

Definición 1.19: Se define la función coseno como:

\( \[\begin{array}{*{20}{c}}
f&:&\mathbb{R}& \to &{\left[ { - 1,1} \right]}\\
{}&{}&x& \to &{\cos x}
\end{array}\] \)

La función coseno es una función periódica, y su período es \( 2 \pi \). También es una función par, es decir, que \( \[\cos \left( { - x} \right) =  \cos x\] \). Se deja como ejercicio demostrar lo último. Entonces, su gráfica será la siguiente:

Como este curso no se preocupará de mayores detalles con estos tipos de funciones, se deja como ejercicio de investigación lo que pase con las otras razones trigonométricas.