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Revista, Técnicas, Cursos, Problemas => Cursos del Rincón => Dictado de cursos del Rincón => Mensaje iniciado por: einstenio16 en 18 Septiembre, 2012, 07:17 am

Título: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 18 Septiembre, 2012, 07:17 am
Bienvenidos a este curso que tiene por finalidad  que el alumno adquiera sólidos conocimientos sobre geometría analítica y las aplicaciones que puede tener.

Se abarcarán los siguientes temas:

1. Trigonometría Básica
2. Vectores en \( \mathbb{R}^2 \)
3. Rectas
4. Introducción a las cónicas.
5. Circunferencia y Elipse
6. Parábola
7. Hipérbola
8. Trazado de curvas y Coordenadas polares
9. Transformaciones de coordenadas en \( \mathbb{R}^2 \)
10. Ecuaciones Paramétricas
11. Vectores en \( \mathbb{R}^3 \) , Rectas y planos en el espacio
12. Transformaciones de coordenadas en \( \mathbb{R}^3 \)
13. Superficies
14. Curvas en el espacio

La Bibliografía a ocupar será

A) Geometría Analítica Moderna, William Wooton y otros.
B) Geometría Analítica, Charles Lehmann.

Asi mismo se entregarán apuntes y guias de ejercicios.

y lo que se puso en el subforo de organización:

Prerrequisitos: Tener conocimientos básicos de Geometría Plana (Euclídea) y del espacio, tales como:

A) El plano eucídeo, sus elementos (punto, recta, segmento, ángulos etc.) y la propiedades que pueden tener (condiciones de paralelismo y perpendicularidad, Relaciones entre ángulos, etc.)

B) El triángulo (se pide nociones de congruencia y semejanza de triángulos, rectas notables* y propiedades de éstas) y otros polígonos. Área y perímetro de polígonos convexos y no convexos

C) La Circunferencia y el círculo (ángulos en la circunferencia, posiciones relativas de puntos y rectas, etc.)

D) Relaciones de proporcionalidad de segmentos (Teoremas de Euclides, de Tales y de la bisectriz)

Tener también conocimientos sobre álgebra (El alumno debe saber lenguaje simbólico, operar con polinomios, factorizar (o factorar), etc.) y funciones reales de variable real (Inyectividad, suprayectividad, biyectividad, paridad, ceros de función, dominio, codominio, etc.).

Se considerará también el uso de LaTeX, lo que no es un requisito como tal, pero servirá mucho para entregar un examen ordenado; solamente es una sugerencia.

Duración: Indefinida, se piensa dejar plazo de inscripción hasta dos días antes del primer examen del curso.

Responsable del curso: einstenio16, que también dictará el curso.

Modo de evaluación: Se efectuará un total de cinco exámenes escritos, cuyo promedio equivale al 60% de la calificación final, que será de 1,0 a 7,0. El alumno tendrá asimismo tareas (que corresponde a problemas destacados de las guías de ejercicios) cuyo promedio equivale al 40% de la calificación final. El alumno aprobará el curso sí y solo si su calificación final es mayor o igual a 4,0.

Cualquier duda o consulta, enviar un MP...

PD: Ah! se me olvidaba, aqui no se responde, para ello esta la sección de comentarios y consultas...

Organización del Curso:
Spoiler
http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,60950.0.html (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,60950.0.html)
[cerrar]
Consultas, Comentarios y Ejercitación del Curso:
Spoiler
http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,60960.0.html (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,60960.0.html)
[cerrar]
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 20 Septiembre, 2012, 02:25 am
Muy bien... Comenzaremos con el curso:

TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

A medida que vamos avanzando hasta dos días antes del primer examen, estarán abiertas las inscripciones, para que puedan obtener su método de estudio.

Ante cualquier duda o sugerencia, no duden en mandarme un MP o posteen en la parte de consultas, cuyo link esta en el post anterior. No está de más decir que este tema solamente es para postear la teoría y poner los link de las guías, no se ocupará para otra cosa...

Bien, a modo introductorio puedo decir que la geometría, desde sus inicios y en su esencia más pura, se ocupó de la medida de la tierra (claro, también de los objetos que en ella están). De ahí sale la etimología de la palabra geometría y, a partir de ella, nacen las subdisciplinas de la geometría: La más famosa es la Euclídea (en honor a Euclides), pero ya en el siglo XIX (si mal no recuerdo) ya hubo alguien que trató de refutar los postulados que propuso Euclides (Lobachevski).

La geometría analítica se ocupará más de la geometría euclideana, pero viéndolo desde el punto de vista algebraico y ocupando el análisis matemático; Por lo tanto, según el matemático Felix Klein, la geometría analítica no es una geometría como tal.
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 20 Septiembre, 2012, 04:08 am
CAPÍTULO 1:
TRIGONOMETRÍA BÁSICA

Definición 1.1: Sean dos conjuntos \( A,B \neq \emptyset \), se define el producto cartesiano entre \( A \) y \( B \) al conjunto \( A \times B = \left\{{(a,b): a \in A \wedge b \in B }\right\} \). En particular, si \( A=B \), se define \( A^2  = A\times A =\left\{{(a,b): a \in A \wedge b \in A }\right\} \).

Ya saben a lo que me refiero con \( \mathbb{R}^2 \), son pares ordenados \( (a,b) \) donde \( a \in \mathbb{R} \) y \( b \in \mathbb{R} \).

En \( \mathbb{R}^2 \) se considera un conjunto \( C=\left\{{(u,v): u^2+v^2=1}\right\} \)

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=60954.0;attach=10938)
Figura 1

A partir de esto daremos una definición formal de una circunferencia trigonométrica:

Definición 1.2: La circunferencia trigonométrica es la circunferencia unitaria con centro en el origen O de un plano coordenado.

Sea \( x \in \mathbb{R} \). Se construye un arco \( AP \), partiendo de A, cuya longitud es \( \left |{x}\right | \) (ver Figura 2).

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=60954.0;attach=10939)
Figura 2

Definición 1.3: Sea \( A \) el punto \( (1,0) \) y \( P(u,v) \) un punto en la circunferencia trigonométrica tal que \( \angle AOP = x \), se definen \( \sin x =v \) y \( \cos x =u \).
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 20 Septiembre, 2012, 05:30 am
Una aclaración: La unidad de medición angular que utilizaremos es el radián, que se define como el arco cuya longitud equivale a la del radio de la circunferencia a la que dicho arco pertenece. Por ejemplo, para el ángulo central, que mide 360º, nosotros damos una vuelta de circunferencia; entonces el arco en este caso es \( 2 \cdot \pi \cdot r \), pero la longitud del arco de circunferencia es equivalente al ángulo subtendido por el arco multiplicado por la longitud del radio, por lo cual (despejando el ángulo subtendido) nos resulta:

\( 360 \textdegree =\displaystyle\frac{2 \pi r}{r}=2 \pi  \) radianes

Las equivalencias son:

\( 180 \textdegree = \pi \) rad.
\( 90 \textdegree = \displaystyle\frac{\pi}{2} \) rad.
\( 45 \textdegree = \displaystyle\frac{\pi}{4} \) rad.

A. REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

PARA EL ÁNGULO COMPLEMENTARIO

En una Circunferencia Trigonométrica se dibujan dos puntos: \( A(1,0) \) y \( B(0,1) \). Sean dos puntos en la circunferencia \( P(u,v) \) y \( P'(u',v') \) tales que \( \angle AOP = \angle P'OB =x \).

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=60954.0;attach=10940)
Figura 4

Se puede ver que \( \angle AOP' = \displaystyle\frac{\pi}{2} - x \).

Entonces, se deduce que \( \sin (\displaystyle\frac{\pi}{2} - x)= \cos x \) y que \( \cos (\displaystyle\frac{\pi}{2} - x)= \sin x \)

PARA EL ÁNGULO SUPLEMENTARIO

En una Circunferencia Trigonométrica se dibujan dos puntos: \( A(1,0) \) y \( B(-1,0) \). Sean dos puntos en la circunferencia \( P(u,v) \) y \( P'(u',v') \) tales que \( \angle AOP = \angle P'OB =x \)

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=60954.0;attach=10941)
Figura 3

Se puede ver que \( \angle AOP' = \pi - x \). Entonces, se deduce que \( \sin (\pi - x)= \sin x \) y que \( \cos (\pi - x)= \cos x \)

Ejercicio 1.4: Deduzca las reducciones al primer cuadrante para los ángulos \( \pi + x \), \( \displaystyle\frac{\pi}{2} +x \) y \( -x \) (si gustan pueden ocupar el mismo método anteriormente expuesto).
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 20 Septiembre, 2012, 06:18 am
Definición 1.5 Se define que:

\( \tg x = \displaystyle\frac{\sin x}{\cos x} \) (Tangente)

\( \cotg x = \displaystyle\frac{\cos x}{\sin x} \) (Cotangente)

\( \sec x = \displaystyle\frac{1}{\cos x} \) (Secante)

\( \csc x = \displaystyle\frac{1}{\sin x} \)

B. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Considere un triángulo \( ABC \) recto en C y sea \( \alpha \) un ángulo agudo. Sean \( a  \)el cateto opuesto a \( \alpha \), \( b \) el cateto adyacente a \( \alpha \) y \( c \) la hipotenusa.

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=60954.0;attach=10942)
Figura 5

Definiremos el seno de \( \alpha \) como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, es decir:

\( \sin \alpha = \displaystyle\frac{a}{c} \)

Definiremos el coseno de \( \alpha \) como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa, es decir:

\( \cos \alpha = \displaystyle\frac{b}{c} \)

En base a la definición 1.5, se tiene que :

\( \tg \alpha = \displaystyle\frac{\sin x}{\cos x} = \displaystyle\frac{a}{b} \)

\( \cotg \alpha = \displaystyle\frac{\cos x}{\sin x} = \displaystyle\frac{b}{a} \)

\( \sec \alpha = \displaystyle\frac{1}{\cos x} = \displaystyle\frac{c}{b} \)

\( \csc \alpha = \displaystyle\frac{1}{\sin x} = \displaystyle\frac{c}{a} \)
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 20 Septiembre, 2012, 07:08 am
C. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN ÁNGULOS NOTABLES

Para el ángulo \( \displaystyle\frac{\pi}{4} \)

Considere un tríangulo \( ABC \) (como el de la figura 5) isósceles rectángulo, es decir, que \( \overline{AC}=\overline{BC} \).

Ocupando Teorema de Pitágoras, se tiene que:

\( \overline{AB}^2 = \overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 \)

\( \Leftrightarrow{\overline{AB}^2 = 2 \overline{AC}^2}  \)

\( \Leftrightarrow{AC=\sqrt{\displaystyle\frac{\overline{AB}^2}{2}}} \)

\( \Leftrightarrow{AC=\displaystyle\frac{\overline{AB}}{\sqrt{2}}} \)

Por lo tanto \( a=b=\displaystyle\frac{c}{\sqrt{2}} \)

Por las definiciones dadas se tendrá que:

\( \sin \alpha = \displaystyle\frac{a}{c}=\displaystyle\frac{c}{\sqrt{2}} \cdot \displaystyle\frac{1}{c}= \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \)

\( \cos \alpha= \displaystyle\frac{b}{c} = \displaystyle\frac{c}{\sqrt{2}} \cdot \displaystyle\frac{1}{c}= \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \)

\( \tg \alpha = \displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}=1 \)

Para los ángulos \( \displaystyle\frac{\pi}{3} \) y \( \displaystyle\frac{\pi}{6} \)

Considere un triángulo \( ABC \) equilátero y considere la altura \( \overline{AD} \)

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=60954.0;attach=10943)

Nótese que \( \overline{AD}=\overline{BD}=\displaystyle\frac{a}{2} \).

Para \( \displaystyle\frac{\pi}{6} \), ocupamos teorema de Pitágoras:

\( \overline{AC}^2 = \overline{AD}^2 + \overline{CD}^2 \)

\( \Leftrightarrow{a^2 = \displaystyle\frac{a^2}{4} + \overline{CD}^2} \)

\( \Leftrightarrow{\sqrt{\displaystyle\frac{3a^2}{2}}=\overline{CD}} \)

\( \Leftrightarrow{\overline{CD}=\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}}  \)

Se tendrá entonces:

\( \sin \alpha = \displaystyle\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}= \displaystyle\frac{a}{2}\cdot{\displaystyle\frac{1}{a}} = \displaystyle\frac{1}{2}  \)

\( \cos \alpha = \displaystyle\frac{\overline{CD}}{\overline{AC}}= \displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot{\displaystyle\frac{1}{a}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \tg \alpha = \displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}}{\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \)

Pero sabemos que \( \displaystyle\frac{\pi}{3} \) y \( \displaystyle\frac{\pi}{6} \) son ángulos complementarios. Por reducción se tiene que:

\( \sin \displaystyle\frac{\pi}{3}= \cos \displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \cos \displaystyle\frac{\pi}{3}= \sin \displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{1}{2}  \)

\( \tg \displaystyle\frac{\pi}{3}= \displaystyle\frac{\\sin \displaystyle\frac{\pi}{3}}{\cos \displaystyle\frac{\pi}{3}}=\sqrt{3} \)
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 20 Septiembre, 2012, 07:42 pm
D. SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Previamente:

Llámese Sentido Positivo si el ángulo se mide en sentido Antihorario
Llámese Sentido Negativo si el ángulo se mide en sentido Horario

(Definición mía) Se llama cuadrante a cualquier "cuarto de plano" limitado por los ejes de las abscisas (o X) y de las ordenadas (o Y)

Entonces se tendrá que:

El eje de las abscisas  será positivo tanto en el primer cuadrante como en el cuarto cuadrante, en el segundo y en el tercer cuadrante, este será  negativo

El eje de las ordenadas será positivo tanto en el primer cuadrante como en el segundo cuadrante, en el tercer y cuarto cuadrante este será negativo

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=60954.0;attach=10957)

Llamaremos radio al segmento que une el centro de la circunferencia y cualquier punto de la circunferencia. ¿Por qué digo "cualquier"? Pues porque la longitud del radio permanece constante en cualquier punto de la circunferencia. Por convención, este radio será siempre positivo.

Entonces:


Hay una regla mnemotécnica para recordarse de los signos de las razones trigonométricas:

TODO - SIN - TA - COS
  I      -   II   -  III -  IV

Quiere decir: si yo me ubico en el primer cuadrante, TODOs son positivos. Si me ubico en el segundo, SINo (seno) es positivo. Si me ubico en el tercer cuadrante, TAngente es positivo. Y si me ubico en el cuarto cuadrante, COSeno es positivo...
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 21 Septiembre, 2012, 08:14 pm
E. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Tomando como referencia la figura 5, vemos que se cumple el teorema de Pitágoras:

\( a^2 + b^2 =c^2 \)

Ahora bien, si los dos miembros de la igualdad los divido por \( c^2 \) nos quedará la igualdad:

\( \displaystyle(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 =1 \)

Pero sabemos que \( \displaystyle\frac{a}{c}=\sen \alpha \) y \( \displaystyle\frac{b}{c}= \cos \alpha \), entonces:

\( \sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha=1 \)
(1)

Esta igualdad se llama fundamental (porque de ella se obtienen la mayoría de las identidades trigonométricas) o pitagórica (pues se obtiene del teorema de Pitágoras). Si hacemos el mismo procedimiento, pero ahora dividiendo por \( a^2 \) o por \( b^2 \), se obtienen:

\( \tg ^2  \alpha + 1 = \sec ^2 \alpha \)
(2)

\( \cotg ^2 \alpha + 1 = \csc ^2 \alpha \)
(3)

Ejemplo 1.6: Demuestre que:

\( \displaystyle\frac{\tg \alpha}{\sec \alpha -1} + \displaystyle\frac{\tg \alpha}{\sec \alpha +1} = 2 \csc \alpha \)

Nótese que:

\( \displaystyle\frac{\tg \alpha}{\sec \alpha -1} + \displaystyle\frac{\tg \alpha}{\sec \alpha +1} \Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\tg \alpha (\sec \alpha +1) + \tg \alpha (\sec \alpha - 1)}{\sec ^2 \alpha - 1}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\tg \alpha (\sec \alpha + 1 + \sec \alpha -1)}{\tg ^2 \alpha}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{2 \sec \alpha}{\tg \alpha}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{2\displaystyle\frac{1}{\cos \alpha}}{\displaystyle\frac{\sen \alpha}{\cos \alpha}}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{2}{\sen \alpha}}\Leftrightarrow{2\csc\alpha} \)
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 22 Septiembre, 2012, 01:15 am
Ejemplo 1.7: Demostrar que:

\( \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha = 1-3 \sen ^2 \alpha \cos ^2 \alpha  \)

Recuerda que \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab + b^2) \)... con eso tenemos "listo" el ejercicio, pues yo se que \( \sin ^6 \alpha = (\sin ^2 \alpha)^3 \) (así mismo con el coseno).

Entonces:

\( \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha \Leftrightarrow{(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha) (\sin ^4 \alpha - \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha + \cos ^4 \alpha) \)}

Se nos apareció la identidad fundamental (¡Qué bueno...!), pero tengo los senos y cosenos a la cuarta... ¡muy simple! completamos cuadrados... vamos a reordenar términos para que quede más claro...

\( \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha \Leftrightarrow{(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha) (\sin ^4 \alpha - \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha + \cos ^4 \alpha)}\Leftrightarrow{\sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha  + 2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 -2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha- \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha }\Leftrightarrow{(\sin ^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 -3 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha }\Leftrightarrow{1 - 3 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha} \)

Ejemplo 1.8: Demostrar que:

\( 3(\cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha)-2 (\cos ^6 \alpha + \sin ^6 \alpha)= 1 \)

Previamente: Tal como hicimos en el ejemplo 1.7, para encontrar una expresión equivalente a \( \cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha \) es necesario completar cuadrados...

\( \cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha \Leftrightarrow{\cos ^4 \alpha +2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha+ \sin ^4 \alpha - 2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha}\Leftrightarrow{(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha)^2 -2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha}\Leftrightarrow{1 - 2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha} \)

Volviendo al ejemplo... En el ejemplo anterior vimos que \( \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha = 1-3 \sen ^2 \alpha \cos ^2 \alpha  \) y en lo previo \( \cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha =1 - 2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha \), entonces:

\( 3(\cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha)-2 (\cos ^6 \alpha + \sin ^6 \alpha)\Leftrightarrow{3(1-2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha)-2(1-3 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha)}\Leftrightarrow{3-6\sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha -2 +6\sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha}\Leftrightarrow{1} \)

Ejemplo 1.9: Demostrar que:

\( \sin ^8 x - \cos ^8 x = (\sin ^2 x- \cos ^2 x)(1- 2 \sin ^2 x \cos ^2 x) \)

Indicación: Como sugerencia, acuérdense de algunas factorizaciones (o factoraciones) conocidas, como por ejemplo: \( a^8 - b^8 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2)(a^4 + b^4) \)...

Volviendo al problema, es evidente que la factorización que les di les ayuda bastante... veamos:

\( \sin ^8 x - \cos ^8 x \Leftrightarrow{(\sin ^2 x + \cos ^2 x) (\sin ^2 x - \cos ^2 x) (\cos ^4 x + \sin ^4 x)}\Leftrightarrow{1 \cdot (\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\cos ^4 x + \sin ^4 x)} \)

Pero yo sé que \( \cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha =1 - 2 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha \), entonces:


\( \sin ^8 x - \cos ^8 x \Leftrightarrow{(\sin ^2 x + \cos ^2 x) (\sin ^2 x - \cos ^2 x) (\cos ^4 x + \sin ^4 x)}\Leftrightarrow{1 \cdot (\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\cos ^4 x + \sin ^4 x)}\Leftrightarrow{(\sin ^2 x - \cos ^2 x)(1- 2 \sin ^2 x \cos ^2 x)} \)


Ejemplo 1.10: Demostrar que:

\( \displaystyle\frac{\tg x + \cotg y}{\cotg x + \tg y}= \displaystyle\frac{\tg x}{\tg y} \)

Nótese que:

\( \displaystyle\frac{\tg x + \cotg y}{\cotg x + \tg y}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\tg x + \displaystyle\frac{1}{\tg y}}{\displaystyle\frac{1}{\tg x }+ \tg y}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{\tg x \tg y +1}{\tg y}}{\displaystyle\frac{\tg x \tg y +1}{\tg x }}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\tg x}{\tg y}}  \)
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 22 Septiembre, 2012, 06:18 am
Ahora, veremos las identidades de adición de ángulos... estas son:

\( \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha \)
(4)

\( \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha \)
(5)

\( \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \beta \sin \alpha \)
(6)

\( \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \beta \sin \alpha \)
(7)

Ejemplo 1.11: Encontrar una expresión equivalente para \( \tg (\alpha + \beta) \)

Yo sé que:

\( \tg (\alpha + \beta) \Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)}}  \)

Ocupamos entonces las identidades para la suma de ángulos:

\( \tg (\alpha + \beta) \Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha}}  \)

Algunos diran: "¡Pero nos queda peor!"... No está todo perdido, chicos. Unos cuántos años estudiando matemática me han enseñado una cosa que cualquiera que se mete con matemática un poco más avanzada debe saber... ¡Multiplicar por 1!

Pero me dirán entonces: "¿Qué?... ¡Estás enfermo!... Si yo sé multiplicar por 1"... ¡OJO! el 1 por el cual multiplico va camuflado... ¡ese es el famoso truco!... veamos: Multiplicaremos la expresión por secante sobre secante, de esta forma:

\( \tg (\alpha + \beta) \Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \beta \sin \alpha}\cdot \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}}{\displaystyle\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\displaystyle\frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{1-\displaystyle\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}}  \)

Una expresión mucho más amigable, y es lo que buscábamos...

Ejercicio 1.12 Haga lo mismo con \( \tg (\alpha - \beta) \)

Ejemplo 1.13: Demuestre que:

\( \cos (x+y) \cos y + \sin (x + y) \sin y = \cos x \)

Notar que:

\( \cos (x+y) \cos y + \sin (x + y) \sin y \Leftrightarrow{(\cos x \cos y - \sin x \sin y) \cos y + (\sin x \cos y + \sin y \cos x) \sin y \Leftrightarrow{\cos x \cos ^2 y - \sin x \cos y \sin y + \sin x \sin y \cos y + \sin ^2 y \cos x}}\Leftrightarrow{\cos x (\sin ^2 y + \cos ^2 y)}\Leftrightarrow{\cos x} \)
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 22 Septiembre, 2012, 11:34 pm
Ejemplo 1.14: Encuentre los valores de las razones trigonométricas para \( \displaystyle\frac{\pi}{2} \).

Yo sé que \( \displaystyle\frac{\pi}{2} =\displaystyle\frac{\pi}{4}+ \displaystyle\frac{\pi}{4} \), entonces:

\( \sin \displaystyle\frac{\pi}{2} = \sin (\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{4})= \sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4}+\sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4}=2 \sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4}= 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}=1  \)

\( \cos \displaystyle\frac{\pi}{2}= \cos (\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{4})= \cos ^2 \displaystyle\frac{\pi}{4}- \sin ^2 \displaystyle\frac{\pi}{4}= \displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}= 0 \)

\( \tg (\displaystyle\frac{\pi}{2})=\displaystyle\frac{\sin \displaystyle\frac{\pi}{2}}{\cos \displaystyle\frac{\pi}{2}}= \displaystyle\frac{1}{0}=\infty \)

Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 24 Septiembre, 2012, 04:55 am
Ejemplo 1.15: Deduzca la fórmula correspondiente para \( \cos (x-y) \).

Hay muchas formas de deducir ésta fórmula, yo solo daré la que me enseñaron.

Sea C una circunferencia trigonométrica (de radio 1). Trazamos el punto \( A(1,0) \) (solamente para simplificar un poco) y otros dos puntos en la circunferencia \( B \) y \( P \), arbitrarios.

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=60954.0;attach=10975)

Supongamos que \( \stackrel{\textstyle\frown}{AB} = y \) y \( \stackrel{\textstyle\frown}{AP} = x \), por lo tanto \( \stackrel{\textstyle\frown}{PB} = y - x \).

En otra circunferencia trigonométrica, fijamos el mismo punto A, y trazamos un punto R tal que \( \stackrel{\textstyle\frown}{PB} = \stackrel{\textstyle\frown}{AR}= y - x \)

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=60954.0;attach=10976)

Como \( P(\cos x, \sin x) \), \( B(\cos y, \sin y) \) y  \( R(\cos (y-x), \sin (y-x)) \), queda:

\( {\left| {PQ} \right|^2} = {\left( {\cos x - \cos y} \right)^2} + {\left( {\sin x - \sin y} \right)^2} \)

\( {\left| {AR} \right|^2} = {\left( {1 - \cos \left( {y - x} \right)} \right)^2} + \sin ^2 \left( {y - x} \right)} \)

Como \( \stackrel{\textstyle\frown}{PB} = \stackrel{\textstyle\frown}{AR}= y - x \), entonces

\( {\left| {PQ} \right|^2} = {\left| {AR} \right|^2} \Leftrightarrow {\left( {\cos x - \cos y} \right)^2} + {\left( {\sin x - \sin y} \right)^2} = {\left( {1 - \cos \left( {y - x} \right)} \right)^2} + {\sin ^2}\left( {y - x} \right) \)

\( \[ \Leftrightarrow {\cos ^2}x - 2\cos x\cos y + {\cos ^2}y + {\sin ^2}x - 2\sin x\sin y + {\sin ^2}y = 1 - 2\cos \left( {y - x} \right) + {\cos ^2}\left( {y - x} \right) + {\sin ^2}\left( {y - x} \right)\] \)

\( \[ \Leftrightarrow 2 - 2\cos x\cos y - 2\sin x\sin y = 2 - 2\cos \left( {y - x} \right)\] \)

\( \[ \Leftrightarrow 2\cos x\cos y + 2\sin x\sin y = 2\cos \left( {y - x} \right)\] \)

\( \[ \Leftrightarrow \cos \left( {y - x} \right) = \cos \left( {x - y} \right) = \cos x\cos y + \sin x\sin y\] \)
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 24 Septiembre, 2012, 05:38 am
Razones trigonométricas de ángulo duplo (o doble)

Son muy fáciles de deducir por suma de ángulos, asumiendo que dichos ángulos son iguales.

\( \sin (2 \alpha) = \sin (\alpha + \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \)
(8)

\( \cos (2 \alpha) = \cos (\alpha + \alpha) = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha = \cos ^2 \alpha - \sin \alpha \)
(9)

\( \tg (2 \alpha) = \tg (\alpha + \alpha) = \displaystyle\frac{\tg \alpha + \tg \alpha}{1- \tg \alpha \tg \alpha}= \displaystyle\frac{2 \tg \alpha}{1 - \tg ^2 \alpha} \)
(10)

En el caso del coseno, por la identidad fundamental se obtiene que

\( \[\cos \left( {2\alpha } \right) = {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1\] \)

De estas fórmulas, específicamente del coseno,  obtenemos:

Razones trigonométricas de ángulo medio

Yo sé que \( \cos \alpha = \cos \left( {2 \cdot \frac{\alpha }{2}} \right)=\[2{\cos ^2}\frac{\alpha }{2} - 1\] \)

Despejando \( \cos \displaystyle\frac{\alpha}{2} \):

\( \[\cos \dfrac{\alpha }{2} =  \pm \sqrt {\dfrac{{\cos \alpha  + 1}}{2}} \] \)
(11)

También sé que \( \[\cos \alpha  = \cos \left( {2 \cdot \dfrac{\alpha }{2}} \right) = 1 - 2 {\sin ^2}\dfrac{\alpha }{2}\] \)

Despejando \( \sin \displaystyle\frac{\alpha}{2} \):

\( \[ \pm \sqrt {\dfrac{{1 - \cos \alpha }}{2}}  = {\sin}\dfrac{\alpha }{2}\] \)
(12)

Ahora bien, tenemos que:

\( \tg \displaystyle\frac{\alpha}{2} = \[\dfrac{{\sin \dfrac{\alpha }{2}}}{{\cos \dfrac{\alpha }{2}}} = \dfrac{{\sqrt {\dfrac{{1 - \cos \alpha }}{2}} }}{{\sqrt {\dfrac{{1 + \cos \alpha }}{2}} }} = \pm \sqrt {\dfrac{{1 - \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}} \] \)
(13)

El signo de (11), (12) y (13) depende del cuadrante donde esta el ángulo.

Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 25 Septiembre, 2012, 06:01 am
Ejemplo 1.16: Demuestre que \( \displaystyle\frac{\cos 3 \alpha}{\cos \alpha}=-4 \sin ^2 \alpha +1 \)

Para empezar la demostración, primero debemos saber cuánto equivale \( \cos 3 \alpha \).

\( \cos 3 \alpha = \cos (\alpha + 2 \alpha)=\cos \alpha \cos 2 \alpha + \sin \alpha \sin 2 \alpha = \cos \alpha (2 \cos ^2 \alpha - 1) + \sin \alpha (2\sin \alpha \cos \alpha)=2 \cos ^3 \alpha - \cos \alpha + 2 \sin ^2 \alpha \cos \alpha = 4 \cos ^3 \alpha - 3 \cos \alpha \)

Entonces:

\( \displaystyle\frac{\cos 3 \alpha}{\cos \alpha}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{4 \cos ^3 \alpha - 3 \cos \alpha}{\cos \alpha}}\Leftrightarrow{4 \cos ^2 \alpha - 3} \)

Pero se que \( \cos ^2 \alpha = 1 - \sin ^2 \alpha \), entonces:

\( \displaystyle\frac{\cos 3 \alpha}{\cos \alpha}\Leftrightarrow{4(1 - \sin ^2 \alpha)-3}\Leftrightarrow{4-4\sin ^2 \alpha -3}\Leftrightarrow{1-4 \sin ^2 \alpha} \)

Ejercicio 1.17: Demuestre las siguientes igualdades:

A) \( \[\dfrac{{\left( {\sin 2x - 2} \right)\cos 2x}}{{2\cos x\left( {{{\cos }^3}x + {{\sin }^3}x} \right)\left( {\sec x - \csc x} \right)}} = \sin x\] \)

B) \( \[\dfrac{{\cos x + \sin x}}{{\cos x - \sin x}} = \tg 2x + \sec 2x\] \)
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 28 Septiembre, 2012, 03:22 am
Prostaféresis

Corresponde a diversas identidades trigonométricas que me permiten transformar una suma en producto o viceversa.

A) Prostaféresis de producto a suma:

- Sea el sistema siguiente:

\( \[\left. {\underline {\,
 {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta }\\
{\sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta  - \cos \alpha \sin \beta }
\end{array}} \,}}\! \right| \] \)

Sumando las dos ecuaciones nos queda:

\( \[\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) + \sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = 2\sin \alpha \cos \beta \] \)

Y, por lo tanto:

\( \[\dfrac{{\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) + \sin \left( {\alpha  - \beta } \right)}}{2} = \sin \alpha \cos \beta \] \)
(14)

Así, se tendrá:

\( \[\dfrac{{\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) - \sin \left( {\alpha  - \beta } \right)}}{2} = \cos \alpha \sin \beta \] \)
(15)

- Sea el sistema siguiente:

\( \[\left. {\underline {\,
 {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta  - \sin \alpha \sin \beta }\\
{\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta  + \sin \alpha \sin \beta }
\end{array}} \,}}\! \right| \] \)

Sumando las ecuaciones, nos queda:

\( \[\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha  - \beta } \right) = 2\cos \alpha \cos \beta \] \)

Entonces:

\( \[\dfrac{{\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha  - \beta } \right)}}{2} = \cos \alpha \cos \beta \] \)
(16)

Asimismo, restamos las ecuaciones:

\( \[\dfrac{{\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha  + \beta } \right)}}{2} = \sin \alpha \sin \beta \] \)
(17)
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 28 Septiembre, 2012, 03:36 am
B) Prostaféresis de suma a producto:

Sabemos que:

\( \[\sin \underbrace {\left( {\alpha  + \beta } \right)}_x + \sin \underbrace {\left( {\alpha  - \beta } \right)}_y = 2\sin \alpha \cos \beta \] \)

Formaremos el siguiente sistema:

\( \[\left. {\underline {\,
 {\begin{array}{*{20}{c}}
{\alpha  + \beta  = x}\\
{\alpha  - \beta  = y}
\end{array}} \,}}\! \right| \] \)

De donde obtenemos que \( \[\alpha  = \dfrac{{x + y}}{2} \wedge \beta  = \dfrac{{x - y}}{2}\] \)

Reemplazando en la primera ecuación:

\( \[\sin x + \sin y = 2\sin \dfrac{{x + y}}{2}\cos \dfrac{{x - y}}{2}\] \)
(18)

Haciendo el mismo procedimiento, obtenemos que:

\( \[\sin x - \sin y = 2\sin \dfrac{{x - y}}{2}\cos \dfrac{{x + y}}{2}\] \)
(19)

\( \[\cos x + \cos y = 2\cos \dfrac{{x - y}}{2}\cos \dfrac{{x + y}}{2}\] \)
(20)

\( \[\cos x - \cos y = 2\sin \dfrac{{x - y}}{2}\sin \dfrac{{x + y}}{2}\] \)
(21)
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 28 Septiembre, 2012, 05:50 am
Ejemplo 1.18: Demostrar que:

\( \[\alpha  + \beta  + \gamma  = \pi  \Rightarrow \sin \alpha  + \sin \beta  + \sin \gamma  = 4\cos \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\beta }{2}\cos \dfrac{\gamma }{2}\] \)

se tiene que:

\( \[\sin \alpha  + \sin \beta  = 2\sin \dfrac{{\alpha  + \beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha  - \beta }}{2}\] \)

Ahora:

\( \[\dfrac{{\alpha  + \beta }}{2} = \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\gamma }{2}\] \)

Entonces:

\( \[\sin \dfrac{{\alpha  + \beta }}{2} = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\gamma }{2}} \right) = \cos \dfrac{\gamma }{2}\] \)

Reemplazando en la expresión a demostrar:

\( \[\sin \alpha  + \sin \beta  + \sin \gamma  = 2\cos \dfrac{\gamma }{2}\cos \dfrac{{\alpha  - \beta }}{2} + \sin \gamma \] \)

Notar también que:

\( \[\sin \gamma  = \sin \left( {2 \cdot \dfrac{\gamma }{2}} \right) = 2\sin \dfrac{\gamma }{2}\cos \dfrac{\gamma }{2}\] \)

Entonces:

\( \[\sin \alpha  + \sin \beta  + \sin \gamma  = 2\cos \dfrac{\gamma }{2}\cos \dfrac{{\alpha  - \beta }}{2} + 2\sin \dfrac{\gamma }{2}\cos \dfrac{\gamma }{2} = 2\cos \dfrac{\gamma }{2}\left( {\cos \dfrac{{\alpha  - \beta }}{2} + \sin \dfrac{\gamma }{2}} \right)\] \)

Pero habíamos dicho que

\( \[\cos \dfrac{{\alpha  + \beta }}{2} = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\gamma }{2}} \right) = \sin \dfrac{\gamma }{2}\] \)

Entonces:

\( \[\sin \alpha  + \sin \beta  + \sin \gamma  = 2\cos \dfrac{\gamma }{2}\left( {\cos \dfrac{{\alpha  - \beta }}{2} + \sin \dfrac{\gamma }{2}} \right) = 2\cos \dfrac{\gamma }{2}\left( {\cos \dfrac{{\alpha  - \beta }}{2} + \cos \dfrac{{\alpha  + \beta }}{2}} \right) = 4\cos \dfrac{\gamma }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\beta }{2}\] \)
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 02 Octubre, 2012, 04:59 am
GUÍA Nº 1 - TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
TRIGONOMETRÍA BÁSICA PARTE 1

P1. Encuentre un valor aproximado a las siguientes razones trigonométricas (no ocupe calculadora, utilice todos los recursos dados hasta ahora ¡Aunque le de flojera!):

A) \( \sin \displaystyle\frac{\pi}{7} \)

B) \( \cos \displaystyle\frac{2\pi}{15} \)

C) \( \sin \displaystyle\frac{3\pi}{10} \)

P2. Para \( \alpha \) y \( \beta \) ángulos de un triángulo rectángulo, donde \( \sin \alpha = \displaystyle\frac{4}{13} \) calcule el valor de :

\( \displaystyle\frac{\cos 3\alpha - 15\cos 2\beta + 1}{\sec (\alpha + 2) - 1 } \)

P3. Exprese la expresión \( \displaystyle\frac{\sin 3\alpha - \csc 2\alpha}{\cos 3\alpha} \) en función de \( \tg \alpha \)

P4. Demuestre las siguientes identidades:

A) \( \displaystyle\frac{\sin ^2 x}{\sec x - \tg x} - \sec x = \tg x - \displaystyle\frac{\cos ^2 x}{\sec x - \tg x}  \)

B) \( \displaystyle\frac{1}{8}(1- \cos 4x)= (\sin x \cos x)^2 \)

C) \( \displaystyle\frac{\sin ^2 x}{1+ \sec ^2 x}+\displaystyle\frac{\cos ^2 x }{1 + \csc ^2}=\displaystyle\frac{3 \tg ^2 x}{2 \tg ^4 x + 5\tg ^2 x + 2 } \)

D) \( \displaystyle\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}= \tg ^2 (\displaystyle\frac{\pi}{4} + \displaystyle\frac{x}{2}) \)

P5. Si \( \[\alpha  + \beta  + \gamma  = \pi \] \), demostrar que:

A) \( \[\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma  \le \dfrac{{3\sqrt 3 }}{8}\] \)

B) \( \[\sin \dfrac{\alpha }{2} \sin \dfrac{\beta }{2}  \sin \dfrac{\gamma }{2} \le \dfrac{1}{8}\] \)

P6. Pruebe que \( \[\cos \dfrac{\pi }{7} - \cos \dfrac{{2\pi }}{7} + \cos \dfrac{{3\pi }}{7} = \dfrac{1}{2}\] \)
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 04 Octubre, 2012, 04:52 am
En base a lo anterior, nótese que:

\( \[\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin p = \sin q}& \Leftrightarrow &{\sin p - \sin q = 0}\\
{}& \Leftrightarrow &{2\sin \left( {\dfrac{{p - q}}{2}} \right)\cos \left( {\dfrac{{p + q}}{2}} \right) = 0}\\
{}& \Rightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin \left( {\dfrac{{p - q}}{2}} \right) = 0}& \vee &{\cos \left( {\dfrac{{p + q}}{2}} \right) = 0}
\end{array}}
\end{array}\] \)

Ahora, nos preguntaremos lo siguiente:

¿En qué ángulos el seno se hace 0? ¿y en qué ángulos ocurre lo mismo con el coseno?

Recordemos pues la circunferencia trigonométrica: Si el punto \( P(\cos x, \sin x) \) recorre toda la circunferencia, veremos que los valores notables se dan en los puntos \( (1,0) \) ; \( (0,1) \) ; \( (-1,0) \) y \( (0,-1) \), que son respectivamente cuando x vale \( \displaystyle\frac{\pi}{2} \), \( \pi \), \( \displaystyle\frac{3\pi}{2} \) y \( 2\pi \). Los casos a observar son los siguientes:

\( \[x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x = 0}& \wedge &{\sin x = 1}
\end{array}\] \)

\( \[x = \pi  \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x =  - 1}& \wedge &{\sin x = 0}
\end{array}\] \)

\( \[x = \dfrac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x = 0}& \wedge &{\sin x =  - 1}
\end{array}\] \)

\( \[x = 2\pi  \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x = 1}& \wedge &{\sin x = 0}
\end{array}\] \)

En particular:

\( \[\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin x = 0}& \Leftrightarrow &{x = k\pi }
\end{array}\] \) con \( k \in \mathbb{Z} \)

\( \[\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x = 0}& \Leftrightarrow &{x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi }
\end{array}\] \) con \( k \in \mathbb{Z} \)

Volviendo al problema, se tiene que:

\( \[\sin \left( {\dfrac{{p - q}}{2}} \right) = 0 \Rightarrow \dfrac{{p - q}}{2} = k\pi  \Rightarrow p - q = 2k\pi \] \)

\( \[\cos \left( {\dfrac{{p + q}}{2}} \right) = 0 \Rightarrow \dfrac{{p + q}}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \Rightarrow p - q = \pi  + 2k\pi  = \left( {2k + 1} \right)\pi \] \)

Ahora, el otro caso a analizar sería el siguiente:

\( \[\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos p = \cos q}& \Leftrightarrow &{\cos p - \cos q = 0}\\
{}& \Leftrightarrow &{2\sin \left( {\dfrac{{p + q}}{2}} \right)\sin \left( {\dfrac{{p - q}}{2}} \right) = 0}\\
{}& \Rightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin \left( {\dfrac{{p + q}}{2}} \right) = 0}& \vee &{\sin \left( {\dfrac{{p - q}}{2}} \right) = 0}
\end{array}}
\end{array}\] \)

De esto:

\( \[\sin \left( {\dfrac{{p \pm q}}{2}} \right) = 0 \Rightarrow \dfrac{{p \pm q}}{2} = k\pi  \Rightarrow p \pm q = 2k\pi \] \)

Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 09 Octubre, 2012, 05:49 am
F. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

En vista a lo anterior, solo hemos visto identidades trigonométricas, es decir, que se cumplen en todos los ángulos correspondiente al dominio de cada función trigonométrica. Ahora bien, decimos función trigonométrica indistintamente de las razones trigonométricas; pero para entenderla como se debiera, debemos precisar éste análisis como funciones.

F.1. Función Seno

Recordemos la circunferencia trigonométrica. Si nos damos cuenta, \( \[-1 \le \sin x \le 1\] \), por lo tanto:

Definición 1.19: Se define la función seno como:

\( \[\begin{array}{*{20}{c}}
f&:&\mathbb{R}& \to &{\left[ { - 1,1} \right]}\\
{}&{}&x& \to &{\sin x}
\end{array}\] \)

La función seno es una función periódica, y su período es \( 2 \pi \). También es una función impar, es decir, que \( \[\sin \left( { - x} \right) =  - \sin x\] \). Se deja como ejercicio demostrar lo último. Entonces, su gráfica será la siguiente:

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=60954.0;attach=11055)

F.2. Función Coseno

Si nos damos cuenta, \( \[-1 \le \cos x \le 1\] \), por lo tanto:

Definición 1.19: Se define la función coseno como:

\( \[\begin{array}{*{20}{c}}
f&:&\mathbb{R}& \to &{\left[ { - 1,1} \right]}\\
{}&{}&x& \to &{\cos x}
\end{array}\] \)

La función coseno es una función periódica, y su período es \( 2 \pi \). También es una función par, es decir, que \( \[\cos \left( { - x} \right) =  \cos x\] \). Se deja como ejercicio demostrar lo último. Entonces, su gráfica será la siguiente:

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=60954.0;attach=11056)

Como este curso no se preocupará de mayores detalles con estos tipos de funciones, se deja como ejercicio de investigación lo que pase con las otras razones trigonométricas.
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 10 Octubre, 2012, 06:32 am
G. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Sea \( y_0 \in \mathbb{R} \) con \( \left |{y_0}\right |\leq{1} \)

A) La ecuación \( y_0=\sin x \) posee una solución \( x_0 \in [-\displaystyle\frac{\pi}{2}, \displaystyle\frac{\pi}{2}] \). Pero recordar que \( \sin (\pi - x)=\sin x \), por lo que \( \pi - x_0 \) es una solución distinta. En resumen, si C.S. es el conjunto solución de la ecuación:

\( \[C.S. = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_0} + 2k\pi }&{k \in \mathbb{Z}}\\
{\left( {\pi  - {x_0}} \right) + 2k\pi }&{k \in Z}
\end{array}} \right.\] \)

Esta solución se reescribe \( \[C.S. = {\left( { - 1} \right)^k}{x_0} + k\pi \] \)

B) La ecuación \( y_0=\cos x \) posee una solución \( \[{x_0} \in \left[ {0,\pi } \right]\] \), pero la paridad del seno me dice que \( \cos x = \cos (-x) \), por lo que \( -x_0  \) es otra solución distinta. En resumen, si C.S. es el conjunto solución de la ecuación:

\( \[C.S. = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_0} + 2k\pi }&{k \in \mathbb{Z}}\\
{\left( {- {x_0}} \right) + 2k\pi }&{k \in Z}
\end{array}} \right.\] \)

Esta solución se reescribe \( C.S.=\pm x_0 + 2k \pi \)

C) La ecuación \( y_0=\tg x \) posee una única solución \( x_0 \in [-\displaystyle\frac{\pi}{2}, \displaystyle\frac{\pi}{2}] \).

\( C.S.=\left\{{x_0 +k \pi : k \in \mathbb{Z}}\right\} \)
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 16 Octubre, 2012, 06:02 am
Ejemplo 1.21: Resolver la ecuación \( (2 \sin x - 1)(2 \cos x +3)=0 \)

\( (2 \sin x - 1)(2 \cos x +3)=0 \)

\( 2 \sin x - 1=0 \vee 2 \cos x +3=0 \)

\( \sin x=\displaystyle\dfrac{1}{2} \vee  \cos x = \displaystyle\dfrac{-3}{2} \)

\( x=(-1)^k \cdot \displaystyle\frac{\pi}{6} + 2k \pi \vee \emptyset \)

\( x=(-1)^k \cdot \displaystyle\frac{\pi}{6} + 2k \pi \)
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 17 Octubre, 2012, 05:49 am
Ejemplo 1.22 Analice las soluciones de la ecuación \( a \sin x + b \cos x =c \)

\( a \sin x + b \cos x =c \)

\( \Rightarrow{a \sin x=c-b \cos x} \)

\( \Rightarrow{a^2 \sin ^2 x=c^2 - 2bc \cosx +b^2 \cos ^2 x} \)

\( \Rightarrow{a^2 (1 - \cos ^2 x)=c^2 - 2bc \cosx +b^2 \cos ^2 x} \)

\( \Rightarrow{(a^2 + b^2) cos^2 x -2bc \cos x - a^2 + c^2=0} \)

Se forma una cuadrática, por lo que la ecuación tendrá solución real ssi \( \Delta \geq{} 0 \)(discriminante)

Entonces: \( \Delta = 4b^2 c^2 - 4(a^2 +b^2)(a^2 - c^2) \geq{0} \)

Nos queda finalmente que \( 4a^2 (a^2+b^2 - c^2)\geq{0} \), por lo tanto, la ecuación tiene solución sin \( c^2\leq{a^2 + b^2} \)
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 01 Noviembre, 2012, 03:40 am
Ejemplo 1.23:Resolver \( \tg x + \cotg x =5 \)

\( \tg x + \cotg x =5\\
\Rightarrow \tg x + \dfrac{1}{\tg x}  =5\\
\Rightarrow \tg ^2 x + 1 =5 \tg x\\
\Rightarrow \tg ^2 x - 5 \tg x+ 1 =0\\
 \)

Es una cuadrática en tangente, por lo tanto:

\( \tg x = \dfrac{5 \pm \sqrt{25-4}}{2}=\dfrac{5 \pm \sqrt{21}}{2} \)

Luego

\( x=\arctg \left(\frac{5+\sqrt{21}}{2} \right) \vee x=\arctg \left(\frac{5-\sqrt{21}}{2} \right)\\
\Rightarrow x=78,21º \vee x=11,79º \)

\( S=\left\{{11,79º+k\pi; 78,21º+k\pi}\right\} \)
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 01 Noviembre, 2012, 04:31 am
Ejemplo 1.24: Resolver \( \left(1+\tg x \right)\left(\sin x + \cos x \right)^2=1+\tg x \)

\( \left(1+\tg x \right)\left(\sin x + \cos x \right)^2=1+\tg x\\
\Rightarrow \left(1+\tg x \right)\left(1+2\sin x \cos x \right)=1+\tg x\\
\Rightarrow \left(1+\dfrac{\sin x}{\cos x} \right)\left(1+2\sin x \cos x \right)=1+\dfrac{\sin x}{\cos x}\\
\Rightarrow 1+2\sin x \cos x+ \dfrac{\sin x}{\cos x}+ 2 \sin ^2 x=1+\dfrac{\sin x}{\cos x}\\
\Rightarrow 2\sin x \cos x+  2 \sin ^2 x=0\\
\Rightarrow 2\sin x \left(\sin x + \cos x \right)=0\\
\Rightarrow \sin x =0 \vee \sin x + \cos x=0\\ \)

Para la segunda ecuación, ocupamos el análisis hecho en el ejemplo 1.22, donde \( a=1, b=1, c=0 \)

\( \sin x + \cos x=0 \Leftrightarrow \left(1^2 + 1^2\right)\cos ^2x + 2\cdot 1\cdot 0 \cos x -1^2+0^2=0\\
\Rightarrow 2\cos ^2 x-1=0\\
\Rightarrow \cos 2x = 0\\
\Rightarrow 2x= \arccos 0\\
\Rightarrow 2x=\dfrac{\pi }{2}\\
\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}\\
 \)
Entonces \( S=\left\{{k \pi; \pm  \dfrac{\pi}{4}+2k\pi}\right\} \)
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 01 Noviembre, 2012, 04:51 am
H. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Si se dieron cuenta ocupamos indistintamente en las ecuaciones trigonométricas las funciones "arco" o trigonométricas inversas, pero sin definirlas.

Definición 1.25: Sea \( y= \sin x \), se define la función arcoseno de x como:
 
\( \begin{matrix}
f :&\left[-1,1 \right] &\rightarrow   &  \mathbb{R} \\
 &x  & \rightarrow  & \arcsin x &
\end{matrix}  \)

Es decir \( y= \sin x \Leftrightarrow x= \arcsin y \).

Definición 1.26: Sea \( y= \cos x \), se define la función arcocoseno de x como:
 
\( \begin{matrix}
f :&\left[-1,1 \right] &\rightarrow   &  \mathbb{R} \\
 &x  & \rightarrow  & \arccos x &
\end{matrix}  \)

Es decir \( y= \cos x \Leftrightarrow x= \arccos y \).

Definición 1.27: Sea \( y= \tg x \), se define la función arcotangente de x como:
 
\( \begin{matrix}
f :&\mathbb{R} &\rightarrow   &  \mathbb{R}-\left\{{\displaystyle\frac{(2k+1)\pi}{2}}; k\in{\mathbb{Z}}\right\} \\
 &x  & \rightarrow  & \arctg x &
\end{matrix}  \)

Es decir \( y= \tg x \Leftrightarrow x= \arctg y \).
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 10 Noviembre, 2012, 05:09 pm
Algunas expresiones que ayudarán a hacer ecuaciones con trigonométricas inversas:

\( \cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2} \)

\( \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} \)

\( \tg(\arcsin x)=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \)

\( \tg(\arccos x)=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1-x^2}}{x} \)

\( \sin(\arctg x)= \displaystyle\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \)

\( \cos(\arctg x)= \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \)
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 15 Noviembre, 2012, 04:41 am
Ejercicio 1.28: Resuelva la ecuación \( \arctan \left(\dfrac{x+1}{x-1} \right)=\arcsin \left(\dfrac{3}{5} \right) \)

\( \arctan \left(\dfrac{x+1}{x-1} \right)=\arcsin \left(\dfrac{3}{5} \right)\\
\Rightarrow \arctan \left(\dfrac{x+1}{x-1} \right)- \arcsin \left(\dfrac{3}{5} \right)=0\\
\Rightarrow \tan \left(\arctan \left(\dfrac{x+1}{x-1} \right)- \arcsin \left(\dfrac{3}{5} \right) \right)=0\\
\Rightarrow \dfrac{\tan \left(\arctan \left(\dfrac{x+1}{x-1} \right)-\tan \left(\arcsin \left(\dfrac{3}{5} \right) \right)}{1-\tan \left(\arctan \left(\dfrac{x+1}{x-1} \right) \right)\tan \left(\arcsin \left(\dfrac{3}{5} \right) \right)}}=0  \)
\( \Rightarrow \dfrac{\dfrac{x+1}{x-1}-\tan \left(\arcsin \left(\dfrac{3}{5} \right) \right)}{1-\dfrac{x+1}{x-1}\tan \left(\arcsin \left(\dfrac{3}{5} \right) \right)} \)

Sea \( u=\displaystyle\frac{x+1}{x-1} \), entonces:

\( \dfrac{u-\dfrac{3}{4}}{1-\dfrac{3}{4}u}=0\Rightarrow \dfrac{4u-3}{4-3u}=0
 \)

Imponemos que \( u\neq{\displaystyle\frac{4}{3}} \), entonces nos queda:

\( \dfrac{4u-3}{4-3u}=0\Longrightarrow{4u-3=0\Longrightarrow{u=\displaystyle\frac{3}{4}}} \)

Esto implica que \( \displaystyle\frac{x+1}{x-1} =\displaystyle\frac{3}{4} \)

\( \Rightarrow{4\left(x+1 \right)=3\left(x-1 \right)\Rightarrow 4x+4=3x-3\Rightarrow x=-7} \)

¿Será este la única solución o habrá otra? si hay otra solución trate de encontrarla.

Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 16 Noviembre, 2012, 03:09 am
GUÍA Nº 2 -  TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

P1. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas:

Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 26 Enero, 2013, 01:49 am
I. EL TRIÁNGULO GENERAL Y LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

Muy bien, luego de meses de estudio he podido volver para dictar el curso. Lamento lo sucedido con mi ausencia, pero espero que me entiendan.

Sea un triángulo \( ABC \).

Se cumplirá:

A) Teorema del Seno: \( \displaystyle \frac{\sin \alpha }{a}=\frac{\sin \beta }{b}=\frac{\sin \gamma }{c} \)

B) Teorema del Coseno:

\( a^2=b^2+c^2-2bc \cos \alpha  \)
\( b^2=a^2+c^2-2ac \cos \beta \)
\( c^2=a^2+b^2-2ab \cos \gamma \)

De la igualdad \( \cos \alpha =\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \) y de \(  2 \sin ^2 \left(\dfrac{\alpha }{2} \right)=1-\cos \alpha  \) se tiene:

\( 1-\cos \alpha =1-\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{a^2-\left(b+c \right)^2}{2bc}=\dfrac{\left(a+b-c \right)\left(a-b+c \right)}{2bc} \)

Definición 1.29: Se define el semiperímetro de un triángulo de lados \( a \), \( b \) y \( c \) como:

\( s=\dfrac{a+b+c}{2} \)

Entonces: \( 2 \sin ^2\left(\dfrac{\alpha }{2} \right)=\dfrac{\left(a+b+c-2c \right)\left(a+b+c-2b \right)}{2bc}=\dfrac{4\left(s-c \right)\left(s-b \right)}{2bc} \)

Por lo tanto: \( \sin \left(\dfrac{\alpha }{2} \right)=\sqrt{\dfrac{\left(s-b \right)\left(s-c \right)}{bc}} \)

De esto se extiende que: \( \cos \left(\dfrac{\alpha }{2} \right)=\sqrt{\dfrac{s\left(s-a \right)}{bc}} \)
Título: Re: Dictado del curso: Trigonometría y Geometría Analítica en R^2 y R^3
Publicado por: einstenio16 en 22 Octubre, 2013, 11:54 pm
Disculpen la demora enorme... pero la verdad este semestre que pasó fue uno de los más difíciles que he tenido... entre tanto estudio y ajetreo, vuelvo a retomar el curso.

Continuando, podemos decir sin sentimiento de culpa que:

\( \sin(\alpha)=2\sin(\dfrac{\alpha}2)\cos(\dfrac{\alpha}2)=2\sqrt{\dfrac{s(s-a)(s-b)(s-c)}{b^2c^2}} \)

Por lo que \( \sin \alpha =\dfrac{2}{bc} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)

Pero el área de un triángulo viene dado por \( A= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) (la famosa y conocidísima fórmula de Herón), por lo que:

\( A=\dfrac{bc\sin \alpha}{2} \)