[Gaussa]

Hola.

Tengo dos ejercicios de la desigualdad de Tchebychev.

El primero de ellos es demostrarla. Lo único que viene explicado en mis apuntes es

"En el intervalo \( (\bar{x}-ks,\bar{x}+ks) \) contiene al menos el \( 100(1-\displaystyle\frac{1}{k^2}) \)% de las observaciones. Así, si \( k \) es tal que \( 1-\displaystyle\frac{1}{k^2} \) está próximo a 1, observaciones fuera de dicho intervalo pueden ser declaradas como outliers"

Para demostrarlo, me han dicho que parta de \( \displaystyle\frac{|\{x_i:|x_i-\bar{x}|<ks\}|}{n}>1-\displaystyle\frac{1}{k^2} \) y que tengo que llegar a que \( \displaystyle\frac{|\{x_i:|x_i-\bar{x}|\geq{}ks\}|}{n}\leq{\displaystyle\frac{1}{k^2}} \).

Pero no entiendo por qué.

El otro ejercicio dice:

De una distribución se sabe que \( \bar{x}=5 \) y que \( a_2=29 \). Obtenga una cota inferior del porcentaje de observaciones que se encuentre en el intervalo \( (2,8] \).

Con los datos que me dan sé que \( s=2 \). Y ahora supongo que tendré que calcular \( k \). Hago \( 2=5-2k \), de donde \( k=1.75 \). ¿Qué me piden exactamente?

Saludos y muchas gracias

[pierrot]

Observa que \( n=|\{x_i:|x_i-\bar{x}|<ks\}|+|\{x_i:|x_i-\bar{x}|\geq ks\}| \).

[Gaussa]

Muchas gracias PabloN.

Ya veo lo de \( n \), pero no termino de entender que \( \displaystyle\frac{|\{x_i:|x_i-\bar{x}|<ks\}|}{n}>1-\displaystyle\frac{1}{k^2} \)

[pierrot]

Ya veo lo de \( n \), pero no termino de entender que \( \displaystyle\frac{|\{x_i:|x_i-\bar{x}|<ks\}|}{n}>1-\displaystyle\frac{1}{k^2} \)

Claro, es que partir de eso es como partir de la desigualdad de Chebyshev ya que son afirmaciones equivalentes. Cuando en tus apuntes se dice:

"En el intervalo \( (\bar{x}-ks,\bar{x}+ks) \) contiene al menos el \( 100(1-\displaystyle\frac{1}{k^2}) \)% de las observaciones. Así, si \( k \) es tal que \( 1-\displaystyle\frac{1}{k^2} \) está próximo a 1, observaciones fuera de dicho intervalo pueden ser declaradas como outliers"

Yo no veo que esa afirmación sea trivial. Al contrario, llegaría a esa conclusión como consecuencia de la desigualdad de Chebyshev. Es decir, son la misma cosa. Si se prueba una, la otra está probada y viceversa. Desde mi punto de vista, no hay nada que haga evidente que se cumpla \( \displaystyle\frac{|\{x_i:|x_i-\bar{x}|<ks\}|}{n}>1-\displaystyle\frac{1}{k^2} \). Si alguien viene y me dice esto es trivialmente cierto por tal y tal cosa, ahí sí se puede probar la desigualdad de Chebyshev tomando como cierta esta desigualdad, pero para mí son esencialmente la misma. ¿No dice nada al respecto en tus apuntes?

Una forma de probar la desigualdad de Chebyshev es la siguiente. Sea \( g:\mathbb{R}\rightarrow{}\mathbb{R}^+\cup{}\{0\} \) y \( a>0 \). Entonces para cualquier dato \( x_i \) se cumple la siguiente desigualdad:

\( g(x_i)\geq a\cdot \mathbf{1}_{\{g(x_i)\geq a\}} \)

¿Cómo lo probamos? Bueno, distinguimos los dos posibles casos de la indicatriz.

1. Si \( g(x_i)\geq a \) la desigualdad se convierte en \( g(x_i)\geq a \) lo cual es cierto por hipótesis.

2. Si \( g(x_i)< a \) la desigualdad es \( g(x_i)\geq 0 \) lo cual es verdadero pues la función \( g:\mathbb{R}\rightarrow{}\mathbb{R}^+\cup{}\{0\} \) toma valores positivos o cero.

Si sumamos obtenemos que \( \displaystyle\sum_{i=1}^ng(x_i)\geq a\cdot |\{x_i: g(x_i)\geq a\}| \). Dividiendo entre \( n>0 \) se tiene que:

\( \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ng(x_i)\geq a\cdot \frac{|\{x_i: g(x_i)\geq a\}|}{n} \)

Ahora usa esta desigualdad con \( g(x_i)=(x_i-\bar{x})^2\geq 0 \) y \( a=(ks)^2 \) donde \( s=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2} \) y \(  k>0 \) una constante arbitraria.

Saludos

[Gaussa]

Muchas gracias PabloN.

¿No dice nada al respecto en tus apuntes?

Sólo viene lo que he escrito.

Y, ¿podrías ayudarme con el ejercicio? Creo que está casi, debe ser sencillo

Saludos y muchas gracias

[pierrot]

Muchas gracias PabloN.

De nada. Observa que una vez probada la desigualdad de Chebyshev es fácil llegar a la afirmación que está en tus apuntes. Si \(  k>0 \) entonces (*):

\( \displaystyle\frac{|\{x_i:|x_i-\bar{x}|\geq{}ks\}|}{n}\leq{\displaystyle\frac{1}{k^2}} \)

Pero en virtud de la observación de mi primer post:

\( \displaystyle\frac{|\{x_i:|x_i-\bar{x}|\geq{}ks\}|}{n}=1-\displaystyle\frac{|\{x_i:|x_i-\bar{x}|<ks\}|}{n} \)

Por lo tanto:

\( 1-\displaystyle\frac{|\{x_i:|x_i-\bar{x}|<ks\}|}{n}\leq{\displaystyle\frac{1}{k^2}}\Longleftrightarrow{}\displaystyle 1-\displaystyle\frac{1}{k^2}\leq \frac{|\{x_i:|x_i-\bar{x}|<ks\}|}{n} \)

Por eso decía yo que son afirmaciones equivalentes y que no debiera demostrarse una a partir de la otra.

Y, ¿podrías ayudarme con el ejercicio? Creo que está casi, debe ser sencillo.

Si, pero no sé qué significa \( a_2 \) .

Saludos

PD. (*) Si \( k<0 \) podría no cumplirse pues en dicho caso \( |\{x_i:|x_i-\bar{x}|\geq{}ks\}|=n \) y la desigualdad sería \( \displaystyle 1\leq \frac{1}{k^2} \) la cual sólo se cumple si \( -1\leq k<0 \).

[Gaussa]

¡Muchas gracias, PabloN!

Ya lo tengo claro, y el ejercicio también.

Y, ¿podrías ayudarme con el ejercicio? Creo que está casi, debe ser sencillo.

Si, pero no sé qué significa \( a_2 \) .

Por definición, \( s=\sqrt[ ]{a_2-a_1^2} \)

\( a_2 \) es el momento no centrado de orden 2

\( a_2=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\frac{x_i^2n_i}{n}} \)

Tenía hallada \( k \), lo que me faltaba por hacer era sustituir en \( 100(1-\displaystyle\frac{1}{k^2}) \), era lo que me pedían, me despisté.

Saludos y muchas gracias.

[pierrot]

¡Muchas gracias, PabloN!

De nada. Me alegro mucho que te haya servido mi aporte  .

Tengo algunas dudas... Veo que manejan una notación que desconozco por completo, y me interesa conocerla. ¿Qué denota \( n_i \)? Por otro lado dices que \( s=\sqrt{a_2-a_1^2} \). ¿Pero coincide esa definición con \( s=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2} \)? Pues ese es el significado que yo manejé de \( s \) al referirme a la desigualdad de Chebyshev. En otro caso no sé...

En realidad, lo que yo conozco como desigualdad de Chebyshev es lo siguiente:

Si \( X\in L^2 \) y \( a>0 \) entonces:

\( P(\left |{X-\mathbb{E}(X)}\right |\geq a)\leq \displaystyle \frac{1}{a^2}\mathbb{V}(X) \)

Aquí, \( X \) es una variable aleatoria real para la cual existe lo que llaman momento de orden 2 que es \( \mathbb{E}(\left |{X}\right |^2) \). Justamente que \( X\in L^2 \) significa que \( \mathbb{E}(\left |{X}\right |^2)<\infty \). Eso lo ponen en las hipótesis para asegurar que existe la varianza \( \mathbb{V}(X) \).

Ahora, teniendo eso en mente, por la similitud de la desigualdad que expusiste aquí, deduje que \( s=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2} \).

Yo lo que interpreté al comienzo de todo es que, dada una muestra \( x_1,x_2,\dots, x_n \), puedes cacular los estimadores \( s \) (definido como en el párrafo anterior) y el promedio \( \bar{x}=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \). Entonces la desigualdad de Chebyshev en este contexo lo que te asegura es lo que dice en tus apuntes. O sea, que fijada una constante \( k>0 \), la cantidad de observaciones que caen fuera del intervalo \( (\bar{x}-ks,\ \bar{x}+ks) \) es a lo sumo \( \displaystyle\frac{1}{k^2} \) del total.

Saludos

[pierrot]

Aquí tienes una aplicación de la desigualdad de Chebyshev entendida como en mi post anterior, no como tú la has planteado aquí. De todas maneras, son completamente análogas. Es fácil "intuir" una a partir de la otra.

[Gaussa]

Hola PabloN.

Ayer intenté responderte al mensaje, pero lo problemas de conexión me lo impedían. Ahora parece que me va mejor el foro, a ver si consigo enviarlo.

¡Muchas gracias, PabloN!

De nada. Me alegro mucho que te haya servido mi aporte  .

Tengo algunas dudas... Veo que manejan una notación que desconozco por completo, y me interesa conocerla. ¿Qué denota \( n_i \)? Por otro lado dices que \( s=\sqrt{a_2-a_1^2} \). ¿Pero coincide esa definición con \( s=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2} \)?

Sí, hace unos días busqué más apuntes y ejercicios por Internet, y me di cuenta de que la notación que me enseñan a mí es algo distinta.

Definición: La frecuencia ordinaria o absoluta del valor \( x_i \) de la variable es el número de veces que se presenta dicho valor en el conjunto de datos y se representa por \( n_i \).

Por otro lado dices que \( s=\sqrt{a_2-a_1^2} \). ¿Pero coincide esa definición con \( s=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2} \)?

Sí, coincide, sólo faltaría el multiplicarlo por \( n_i \). Sería así: \( s=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2\cdot{n_i}} \)

Supuse que el \( x_i \) que utilizas es porque ya está multiplicado por el \( n_i \) que yo uso. ¿O me equivoco?

Este tipo de notación no me la explicaron a mí \( P(\left |{X-\mathbb{E}(X)}\right |\geq a)\leq \displaystyle \frac{1}{a^2}\mathbb{V}(X) \), pero estoy intentando aprenderla también. Por lo que he visto, es más común que la mía.

Si no has visto lo que son los momentos centrados y no centrados, quizás te interese saber que la covarianza también se puede escribir en función de éstos.

Momentos no centrados \( a_{rs}=\displaystyle\sum_{i=1}^k{\displaystyle\sum_{j=1}^h{\displaystyle\frac{x_i^ry_j^s n_{ij}}{n}}} \), \( r,s=0,1,2... \)

Momentos centrados \( m_{rs}=\displaystyle\sum_{i=1}^k{\displaystyle\sum_{j=1}^h{\displaystyle\frac{(x_i-\bar{x})^r (y_j-\bar{y})^s n_{ij}}{n}}} \),  \( r,s=0,1,2... \)

Y la covarianza se puede escribir entonces de las dos siguientes formas:

\( S_{xy}=\displaystyle\sum_{i=1}^k{\displaystyle\sum_{j=1}^h{\displaystyle\frac{(x_i-\bar{x}) (y_j-\bar{y}) n_{ij}}{n}}}=m_{11} \)

Sabiendo que la covarianza coincide con \( m_{11} \) también se puede expresar así (a mí me mandaron hacer esta demostración. Es muy sencilla, sale directamente)

\( S_{xy}=a_{11}-a_{10}a_{01}=\displaystyle\sum_{i=1}^k{\displaystyle\sum_{j=1}^h{\displaystyle\frac{x_i y_jn_{ij}}{n}}}-\bar{x}\bar{y} \)

Muchas veces resulta mucho más útil utilizar esta fórmula para hacer los cálculos. Es la que suelo usar en los ejercicios.

Muchas gracias de nuevo, PabloN. He estado mirando el tema de la aplicación de la desigualdad de Tchebychev. Todavía no lo llego a comprender muy bien, pero porque no he dado probabilidad. Empiezo dentro de unos días. En cuanto que dé más temario volveré a leer el tema para enterarme mejor.

Saludos