Hola
¡Muchas gracias por la explicación, Gaussa! Ahora sí entendí perfectamente. No había podido contestar antes, porque quería leer tus definiciones con tiempo, y casi siempre ando medio apurado.
Supuse que el \( x_i \) que utilizas es porque ya está multiplicado por el \( n_i \) que yo uso. ¿O me equivoco?
Estamos tomando los \( x_i \) distintos, de alguna manera. Pongamos el siguiente ejemplo: supongamos que estamos midiendo la altura de los jugadores de un plantel de basketball (5 titulares y 7 suplentes) y tenemos las siguientes medidas:
\( \begin{tabular}{c|c}
i & x_i \\
\hline
1 & 1,87\\
2 & 1,85\\
3 & 1,90 \\
4 & 1,79 \\
5 & 1,81\\
6 & 1,90\\
7 & 1,98\\
8 & 1,93\\
9 & 1,87\\
10 & 1,90\\
11 & 1,83\\
12 & 1,90
\end{tabular} \)
Para mi la muestra es ésa, no importa que haya valores repetidos. El promedio será:
\( \begin{align*}\bar{x}=\frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12}x_i&=\frac{x_1+x_2+x_3+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}+x_{10}+x_{11}+x_{12}}{12}\\&=\frac{1,87+1,85+1,90+1,79+1,81+1,90+1,98+1,93+1,87+1,90+1,83+1,90}{12}\\&=1,8775\end{align*} \)
Observa que bajo mi interpretación, \( n \) representa la cantidad total de datos, sean éstos repetidos o no.
En cambio para ustedes \( n \) representa la cantidad de
datos no repetidos. Supongo que construirían una tabla parecida a ésta:
\( \begin{tabular}{c|c|c}
i & x_i & n_i \\
\hline
1 & 1,87 & 2 \\
2 & 1,85 & 1\\
3 & 1,90 & 4\\
4 & 1,79 & 1\\
5 & 1,81 & 1\\
6 & 1,98 & 1\\
7 & 1,93 & 1\\
8 & 1,83 & 1
\end{tabular} \)
O sea, el dato \( x_1 \) está repetido \( n_1 \) veces en la muestra, el dato \( x_2 \) está repetido \( n_2 \) veces, el dato \( x_3 \) está repetido \( n_3 \) veces, y así sucesivamente.
Hummm hay un problema. No me había dado cuenta hasta aquí. De ésto no estoy seguro:
En cambio para ustedes \( n \) representa la cantidad de datos no repetidos.
Cuando pones \( a_2=\displaystyle\sum_{i=1}^{{\blue n}}{\displaystyle\frac{x_i^2n_i}{\red n}} \) los \( n \) que están en distinto color son diferentes. El \( n \) que está en azul es la cantidad de datos no repetidos, en nuestro ejemplo, \( {\blue n}=8 \) pero el \( n \) que aparece en rojo debiera ser interpretado como \( {\red n}=\displaystyle \sum_{i=i}^{{\blue n}}n_i \). En nuestro ejemplo, \( {\red n}=12 \). Pero habría que distinguirlos de alguna manera. La convención del color no me parece mal, pero en un examen habría que tener lapiceras de distinto color para no confundirse. Si se respeta esta notación, el promedio sería:
\( a_1=\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{{\red n}}\sum_{i=1}^{{\blue n}}x_in_i \)
Y también se cumple que:
\( s=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{\red n}\sum_{i=1}^{{\blue n}} (x_i-\bar{x})^2\cdot{n_i}}=\sqrt{a_2-a_1^2} \)
En efecto, \( {\displaystyle\frac{1}{\red n}\sum_{i=1}^{{\blue n}} (x_i-\bar{x})^2\cdot{n_i}=\frac{1}{\red n}\sum_{i=1}^{{\blue n}}(x_i^2-2x_i\bar{x}+\bar{x}^2)\cdot n_i=\frac{1}{\red n}\left(\sum_{i=1}^{{\blue n}}x_i^2n_i-2\bar{x}\sum_{i=1}^{{\blue n}}x_in_i+\bar{x}^2\sum_{i=1}^{{\blue n}}n_i\right)=\frac{1}{\red n}\sum_{i=1}^{{\blue n}}x_i^2n_i-2\bar{x}\cdot \bar{x}+\bar{x}^2\cdot \frac{n}{n}=\frac{1}{\red n}\sum_{i=1}^{{\blue n}}x_i^2n_i-\bar{x}^2=a_2-a_1^2} \)
Gracias de nuevo, Gaussa, por la paciencia de continuar con un tema que está ya acabado, y por aclarar mis dudas. Espero no confundirte. Con este nuevo enfoque, sigue valiendo la prueba de la desigualdad de Chebyshev que di al principio, sólo habría que cambiar detalles mínimos pero que no afectan en nada.
¡Saludos!
