Hola
set. Continúo un poco aquí para dejar planteadas algunas ideas.
Antes de proceder a calcular las distribuciones de \( L_1 \), \( L_2 \) y \( L_3 \), llamemos para abreviar \( X_1^*=\min\{X_1,X_2\} \) y \( X_2^*=\max\{X_1,X_2\} \) y determinemos su distribución.
\( F_{X_1^*}(t)=P(X_1^*\leq t)=1-P(X_1^*> t)=1-P(\min\{X_1,X_2\}>t)=1-P(\{X_1>t\}\cap{}\{X_2>t\})\underbrace{=}_{X_1, X_2\ iid}1-P(X_1>t)^2=1-(1-F_{X_1}(t))^2=\left\{\begin{array}{ll} 0, & t<0\\1-(1-t)^2, & 0\leq t< 1\\1, & t\geq 1 \end{array}\right. \)
\( F_{X_2^*}(t)=P(X_2^*\leq t)=P(\max\{X_1,X_2\}\leq t)=P(\{X_1\leq t\}\cap{}\{X_2\leq t\})\underbrace{=}_{X_1, X_2\ iid}P(X_1\leq t)^2=F_{X_1}(t)^2=\left\{\begin{array}{ll} 0, & t<0\\t^2, & 0\leq t< 1\\1, & t\geq 1 \end{array}\right. \)
1) Segmento \( \mathbf{L_1} \) Alcanza con observar que \( L_1=X_1^* \). Ya calculamos su distribución, simplemente debemos derivar para hallar la densidad \( f_{L_1}(x) \) y determinar la longitud media definida como \( \displaystyle \mathbb{E}(L_1)=\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot f_{L_1}(x)\ dx \). Corrobora que \( \mathbb{E}(L_1)= \frac{1}{3} \).
2) Segmento \( \mathbf{L_2} \)Puede resolverse de dos maneras distintas. Voy a plantear aquí la que me parece más fácil. Nota que \( L_2=\max\{X_1,X_2\}-\min\{X_1,X_2\}=\left |{X_1-X_2}\right | \). Primero hallemos la distribución de \( Z=X_1-X_2=X_1+(-X_2) \) donde \( X_1, -X_2 \) son independientes siendo \( X_1\sim U[0,1] \) y \( -X_2\sim U[-1,0] \). Como \( X_1 \) y \( -X_2 \) son absolutamente continuas, sabemos de antemano que \( Z \) lo es, y su densidad \( f_Z \) es conocida y está dada por:
\( \displaystyle f_Z(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X_1}(s)\cdot f_{-X_2}(t-s)\ ds \)
\( f_{X_1}(s)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & s\notin [0,1]\\ 1, & s\in [0,1]\end{array}\right. \)
\( f_{-X_2}(t-s)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & t-s\notin [-1,0]\\ 1, & t-s\in [-1,0]\end{array}\right. \)
Pero \( -1\leq t-s\leq 0\Leftrightarrow{}-t-1\leq -s\leq -t\Leftrightarrow{}t\leq s\leq t+1 \), es decir, si \( s\in [t,t+1] \) así que:
\( f_{-X_2}(t-s)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & s\notin [t,t+1]\\ 1, & s\in [t,t+1]\end{array}\right. \)
Y la integral será:
\( \displaystyle f_Z(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathbf{1}_{s\in [0,1]}\cdot \mathbf{1}_{s\in [t,t+1]}\ ds=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathbf{1}_{s\in [0,1]\cap{}[t,t+1]}\ ds=\left\{\begin{array}{ll} 0, & t<-1\\ \displaystyle \int_0^{t+1}1\ ds=t+1, & -1\leq t<0\\ \displaystyle \int_t^1 1\ ds=1-t, & 0\leq t< 1\\ 0, & t\geq 1\end{array}\right. \)
Por lo que la distribución de \( Z \) resulta:
\( \displaystyle F_Z(t)=\int_{-\infty}^{t}f_Z(s) ds=\left\{\begin{array}{ll} 0, & t<-1\\ \displaystyle \int_{-1}^t s+1\ ds=\frac{(1+t)^2}{2}, & -1\leq t<0\\ \displaystyle \int_{-1}^0 s+1\ ds + \int_0^t 1-s\ ds=\frac{-t^2+2t+1}{2}, & 0\leq t< 1\\ 1, & t\geq 1\end{array}\right. \)
Pero no nos interesa saber la distribución de \( Z \) sino la de \( \left |{Z}\right |=L_2 \):
\( F_{L_2}(t)=P(L_2\leq t)=P(\left |{Z}\right |\leq t)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & t< 0 \\ P(-t\leq Z\leq t) & t\geq 0\end{array}\right. \)
Para terminar, nota que como \( Z \) es AC, \( P(-t\leq Z\leq t)=F_Z(t)-F_Z(-t) \) que habíamos calculado previamente. Una vez que tengas \( F_{L_2}(t) \) halla la densidad y determina \( \mathbb{E}(L_2)=\frac{1}{3} \).
3) Segmento \( \mathbf{L_3} \)Este último es más fácil.
\( F_{L_3}(t)=P(L_3\leq t)=P(1-X_2^*\leq t)=P(-X_2^*\leq t-1)=P(X_2^*\geq 1-t)=1-P(X_2^*<1-t) \). Nuevamente como \( X_2^* \) es AC, \( P(X_2^*<1-t)=P(X_2^*\leq 1-t)-\underbrace{P(X_2^*=1-t)}_{=0}=F_{X_2^*}(1-t) \), así que \( F_{L_3}(t)=1-F_{X_2^*}(1-t) \). Creo que se llega a \( F_{L_3}(t)=F_{L_1}(t) \) así que \( \mathbb{E}(L_3)=\frac{1}{3} \).
Intenta completar los detalles con estas ideas.
Saludos
