Hasta ahora lo que veo es que en el caso \( n=2 \) las longitudes son idénticamente distribuidas con distribución \( \beta(1,2) \).(la esperanza para una variable aleatoria con distribución \( \beta(a,b) \) es \( \dfrac{a}{a+b} \)).
Ahí va. De hecho, las cuentas de mi segundo post conducen a que la densidad de todas las longitudes es:
\( f_{L_i}(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, & t<0\\ 2(1-t), & 0\leq t<1\\0 & t\geq 1\end{array}\right. \)
Y como tú dices, si \( L_i\sim \beta(1,2) \), entonces la densidad en el intervalo [0,1] está dada por \( \displaystyle \frac{\Gamma(1+2)}{\Gamma(1)\cdot \Gamma(2)}t^{1-1}(1-t)^{2-1}=\frac{2!}{0!1!}t^0(1-t)^1=2(1-t) \).
(...)entonces si definimos las variables aleatorias \( X^{(k)} \) como aquellas que se obtienen ordenando los \( X_{k} \) de manera creciente(estas variables se denominan estadísticos de orden), (...)
Si, yo para los estadísticos de orden usé la notación del * por eso al mínimo le puse \( X_1^* \) y al máximo \( X_n^* \).
(...)se tiene que \( L_{1}=X^{(1)}=min\{X_{k}\}\;,L_{2}=X^{(2)}-X^{(1)}\;\ldots,L_{n+1}=1-X^{(n)}=1-max\{X_{k}\} \).
Una sencilla cuenta revela que \( L_{1}\sim L_{n+1}\sim \beta(1,n) \).
Habría que ver como calcular las distribuciones de las otras longitudes,o como probar que están idénticamente distribuidas.
Ése era mi problema. Para el caso \( n=2 \), supe calcular \( F_{L_2} \) pero ya para \( n>2 \) se me complicaba para hallar la distribución de las longitudes intermedias. Pensé en una fórmula recursiva, pero no avancé mucho. Por ejemplo, para hallar \( F_{L_2} \) se precisa la distribución de \( X_1^* \) (que la tenemos) y la \( X_2^* \) que nos es desconocida. Habría que avanzar por los extremos (pero no veo cómo puede ser posible), es decir, con \( X_1^* \) y \( X_n^* \) determinar \( X_2^* \) y \( X_{n-1}^* \) y continuar... pero no sé, creo que es imposible. Si no, probar que son idénticamente distribuidas pero sin hallar las distribuciones, pero tampoco sé seguir por ese camino.
numbsoul, muchas gracias por tu tiempo y tus valiosos aportes, que han ayudado a plantear en mejores términos el problema, y ¡a reconocer la distribución!, que yo no me había dado cuenta de que las longitudes eran beta.
Saludos
