Si \( X \) representa la cantidad de veces que se obtiene cara, entonces \( X\sim Bin(40000,\frac{1}{2}) \) y \( R_X=\{1,2,3,\cdots,40000\} \). Como ya dijo hector manuel, la proporción de caras puede considerarse como una nueva variable aleatoria que sea \( \displaystyle Y=\frac{X}{40000} \) cuyo rango será \( R_Y=\{\frac{1}{40000},\frac{2}{40000},\cdots, 1\} \). Lo que voy a decir es trivial, pero vale la pena tenerlo presente. Y es que las variables aleatorias \( X \) e \( Y \) están relacionadas de la siguiente manera:
\( \displaystyle P(Y=k)=P\left(\frac{X}{40000}=k\right)=P(X=k\cdot 40000),\quad \forall\ k\in R_Y \)
Nos piden mostrar que \( P(0.475\leq Y \leq0.525)\geq 0.99 \). Pero por lo dicho anteriormente,
\( P(0.475\leq Y \leq0.525)=P(19000\leq X\leq 21000) \). Sabemos que \( \displaystyle \mathbb{E}(X)=40000\cdot \frac{1}{2}=20000 \) y que \( \displaystyle \mathbb{V}(X)=40000\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(1-\frac{1}{2}\right)=10000 \). Por otra parte,
\( {\displaystyle P(19000\leq X\leq 21000)=P(\left |{X-20000}\right |\leq 1000)=1-P(\left |{X-20000}\right |>1000)} \)
Ahora es la parte en que usamos la desigualdad de Chebyshev: \( \displaystyle P(\left |{X-\mathbb{E}(X)}\right |>a)\leq \frac{1}{a^2}\mathbb{V}(X) \). Como aplicación inmediata de esta desigualdad se tiene que:
\( \displaystyle P(\left |{X-20000}\right |>1000)\leq \frac{1}{1000^2}\cdot 10000=0,01 \)
En consecuencia,
\( \displaystyle P(0.475\leq Y \leq0.525)=P(19000\leq X\leq 21000)\geq 1-0,01=0,99 \)
Saludos
