[Gaussa]

Hola.

Me gustaría que alguien me mirara los siguientes problemas de combinatoria y que me dijera si los tengo bien. De los que tenga mal, no me digan la solución, yo lo intento de nuevo.

Calcular:

a) El número de palabras de 3 letras del alfabeto \( \{ A, B, ..., J \} \) que tienen todas sus letras distintas y en orden alfabético. \( V_{10,3} \)

b) El número de palabras de 8 letras del alfabeto \( \{A,B,C \} \) que contiene 3 Aes. \( VR_{2,5} \).

c) El número de distribuciones de 5 bolas distintas en 3 cajas distintas si no puede quedar ninguna caja vacía. \( V_{5,3} \)

d) El número de formas de repartir 40 cartas iguales entre 4 personas. \( PR_{43}^{40,3} \)

e) El número de maneras de distribuir 5 bolas rojas y 5 azules en 3 cajas distintas. \( VR_{2,3} \)

f) El número de maneras de distribuir 5 bolas idénticas en 3 cajas distintas si cada caja tiene que tener al menos una bola. \( PR_{4}^{2,2} \)

g) El número de maneras de distribuir una clase de 25 estudiantes en grupos de 5. \( C_{25,5} \)

h) Calcula el número de permutaciones de (AABBCCDDEE) tales que:
- Las 2 Aes aparecen juntas \( 9 PR_{8}^{2,2,2,2} \)
- Las 2 Aes aparecen separadas \( PR_{10}^{2,2,2,2,2}-9 PR_{8}^{2,2,2,2} \)
- LAS 4 vocales están separadas \( PR_{10}^{2,2,2,2,2}-8 PR_{6}^{2,2,2} \)

i) ¿Cuántos números naturales tienen en su expresión en base 10 todos sus dígitos distintos? \( 10! \)

Espero que no haya muchos mal.
Saludos y muchas gracias.

[pierrot]

Hola Gaussa. A ver.. te digo algunos, otros ni los pensé.

a) A priori, no estoy tan seguro de que el resultado sea ése, ya que las letras deben estar en orden alfabético.
b) De acuerdo.
c) Ése está equivocado. Puede pensarse como la cantidad de funciones sobreyectivas de un conjunto de 5 elementos en otro de 3.
d) ¿Qué es \( PR_{43}^{40,3} \)? Ahí lo que iría para mí es la cantidad de soluciones enteras de \( x_1+x_2+x_3+x_4=40 \) donde las \( x_i\geq 1\ \forall i=1,\dots, 4 \) representan el número de cartas recibidas por cada una de las personas. Pongo la condición de que sean mayores o iguales que 1 ya que por "repartir" entiendo que todos los jugadores deben recibir por lo menos una carta. Puede pensarse por inclusión-exclusión.
e) En éste puedes calcular todas las formas de distribuir las rojas y luego todas las maneras de distribuir las azules y por último multiplicarlas por regla del producto. La cantidad de formas de distribuir las rojas son: \( CR^3_5 \). Ídem para las azules. Creo que da \( 441 \).
f) Igual al apartado d). Fíjate que en d) también había que repartir objetos indistinguibles (las cartas) en "cajas" distinguibles (los jugadores) y todos los jugadores debían recibir por lo menos una carta. Acá es lo mismo solo que con bolas.
g) Correcto.
h) \( \dots \)
i) \( \dots \)

¡Un saludo!

[Gaussa]

Muchísimas gracias PabloN, he entendido todo lo que me has explicado y corregido.

Me quedan por saber el a), h), i).

Para el i) lo he vuelto a pensar  y me parece que lo que he escrito está mal.

Saludos y gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 (a) Fíjate que sólo tienes que contar las formas de escoger tres letras distintas entre las \( 10 \) que tienes; una tal elección corresponde a una sóla palabra en la que las letras están en orden alfabético. Serían por tanto \( \displaystyle\binom{10}{3} \).

 Por otro lado en general, en los errores que indica PabloN, tu problema está en que confundes variaciones con repeteción con combinaciones con repetición; la diferencia entre una caso y otra es si importa o no el orden en que escogemos los elementos.

 Por ejemplo en el caso de la colocación de bolas en cajas distintas, no importa que bola mandamos a cada caja (si la primera, si la segunda, si la tercera,...). Sólo cuántas bolas hemos metido al final en cada caja.

 (h) El último apartado está mal. No estoy seguro de lo que has restado.

 (i) Debes de contar por separado los números de una cifra; de dos cifras; de tres cifras; etcétera...

Saludos.

[Gaussa]

Hola.

Muchas gracias el_manco.

h) Último apartado.

Lo que he hecho ha sido lo siguiente (tengo un error en la parte que resto, me acabo de dar cuenta)

Lo calculo por el complementario. Para que las vocales estén juntas considero AAEE como si fueran una sola. Entonces serían \( 7 PR_{6}^{2,2,2} \). Y me quedaría por el complementario \( PR_{10}^{2,2,2,2,2}-7 PR_{6}^{2,2,2} \).

i) A la hora de contar las cigras por separado, ¿sería así? \( 9\cdot{9!}+9V_{9,8}+9V_{9,7}+9V_{9,6}+9V_{9,5}+9V_{9,4}+9V_{9,3}+9V_{9,2}+9V_{9,1}+10 \).

Saludos y muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Es que en el apartado (h) no entiendo porque te preocupas de que \( AAEE \) sean una sola letra. Eso sería los casos en los que las cuatro estén juntas. Pero el enunciado parece indicar que has de restar aquellas en las que cualquier par de letras esté junto.

 El (i) es correcto salvo un matiz; si el cero NO lo consideramos natural sólo habría nueve números de una cifra; si el cero SI lo consideras natural, habría diez como has puesto.

Saludos.

[Gaussa]

Hola.

Ahora entiendo que h) lo hacía mal, pero de todas formas no sé cómo calcularlo. En un principio lo iba a hacer igual teniéndolo en cuenta para dos vocales, luego 3 y por último 4. Pero al dejar las vocales juntas como hay 2 A y 2 E como cada vez fijo un par de ellas cambia...

El i) es cierto lo que me has comentado, hasta ahora siempre he estado considerado el cero como número no natural, por lo que sólo hay 9 números de una cifra.

Saludos y gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Para el (h) utiliza el principio de inclusión-exclusión.

 Si llamas respectivamente \( A_1,A_2,A_3,A_4,A_5 \) a los conjuntos de palabras en los que las correspondientes vocales \( A,B,C,D,E \) están juntas, tienes que:

\(  card(\displaystyle\cup_{i=1}^5A_i)=\displaystyle\sum_{i=1}^ncard(A_i)-\displaystyle\sum_{1\leq i<j\leq n}card(A_i\cap A_j)+ \)

\( +\displaystyle\sum_{1\leq i<j<k\leq n}card(A_i\cap A_j\cap A_k)-\displaystyle\sum_{1\leq i<j<k<l\leq n}card(A_i\cap A_j\cap A_k\cap A_l)+ \)

\( +card(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4\cap A_5) \)

Saludos.

[mitor]

¿La respuesta para la pregunta c es correcta?

¿El resultado es, por tanto, 60?

Porque estaba haciendo este mismo ejercicio, y me ha surgido también la duda. Lo que yo hago es:



Clasifico:

Primero, como todas las cajas han de tener al menos una bola, considero las posibles formas de meter una sola bola en cada caja, de las cinco bolas.(i.e. sucesiones de 3 elementos tomados de un conjunto de 5):

\( V_{5,3} \)

Ahora, para cada una de estas posibles situaciones, tenemos:(Excluyendo ya los elementos de antes)

-Tipo 1: 1 caja tiene 2 elementos.

3 posibilidades, puesto que sólo quedan dos elementos por distribuír, pudiendo ponerlos en cualquiera de las tres cajas.

-Tipo 2: Dos cajas tienen un elemento cada una.

Por cada posible combinación de cajas, tenemos que permutar dos elementos. Tenemos tres cajas, luego

6 posibilidades.


Así, el resultado es \( 3V_{5,3}+6V_{5,3}=540 \)

[Luis Fuentes]

Hola

 No da 60 pero tampoco está bien como lo has hecho.

 El número de distribuciones que llamas de tipo 1 serían:

 - \( 3 \) opciones para elegir la caja con \( 3 \) bolas.
 - Fijada la caja triple elegimos las bolas que irán en las simples: \( 5\cdot 4  \) opciones.

 En total: \( 3\cdot 5\cdot 4=60 \).

 Las que llamas de tipo 2:

 - 3 opcioens para elegir la caja simple.
 - Fijada la caja simple, elegimos dos bolas para la primera doble (no importa el orden): \( \displaystyle\binom{5}{2} \)
 - Las otras dos para la otra doble:  \( \displaystyle\binom{3}{2} \)
 - La restante irá a la simple:

 En total: \( 3\displaystyle\binom{5}{2}\displaystyle\binom{3}{2}=90 \)

 En definitiva:

\(  60+90=150 \)

Saludos.